GeoGebra绘制炫酷动态旋转体
吕同富
【摘 要】GeoGebra是一款动态的二维几何代数绘图软件,适合几何代数微积分概率统计等数学教学演示,简单易学,非常受广大数学老师喜爱,但是要想在GeoGebra中画出漂亮的三维动态图形,还需努力钻研一些时间才能达到目的,为节省各位数学老师的学习时间,文中给出了GeoGebra二维环境画三维动态图形的关键技术,用数学的方法给出了二维坐标变换为三维坐标的原理,同时文中利用这一技术绘制了各种漂亮炫酷的动态空间旋转图形.
【期刊名称】《软件》
【年(卷),期】2019(040)003
【总页数】7页(P6-12)
【关键词】GeoGebra;二维空间变换三维空间;三维动态旋转图形;信息化教学
【作 者】吕同富
【作者单位】漳州职业技术学院,福建漳州 36300;闽南师范大学数学学院,福建漳州 363000
【正文语种】中 文
【中图分类】TP311.52
GeoGebra是一款动态的二维几何代数绘图软件，适合几何代数微积分概率统计等数学教学演示，简单易学，非常受广大数学老师喜爱，但是要想在GeoGebra中画出漂亮的三维动态图形，还不是一件容易的事情，下面给出在GeoGebra中绘制三维图形的方法[5-6]。
GeoGebra 是一个集几何、代数与微积分于一体的动态数学软件，由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter设计。GeoGebra可以画点、向量、线段、直线、多边形、圆锥曲线，函数图像，可以处理变数（这些变数可以是一个数字、角度、向量或点坐标），可以对函数作微分与积分，求方程的根，计算函数的极大极小值，还可以计算矩阵，概率统计等[7-8]。
坐标平面上一点对原点旋转角后得到，则
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考察空间中一点，先对原始轴逆时针旋转角，到达点，故
而再对原始轴顺时针旋转角，到达点，故
所以得
原始的三个单位向量，经过对原始轴逆时针旋转角，再对原始轴顺时针旋转角后得到，
如果我们的眼睛在原始轴正向上方向原点看，此时无法看出坐标，所以投影到面时，坐标均为0。最后可设定平面向量
在GeoGebra 中设定好两个参数角和后，直接设定式（6），即可得到两参数（角）的三维 坐标。
①增加两个滑条（和，范围从0~360度，增量缺省）
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②建立原点为O，增加三维的三个单位向量分别为
绘图结果如图1所示。
根据这样的GeoGebra设计，输入方式如下：例如要输入三维坐标（1,2,3），在命令栏输入： 。
先看一下整体运行效果，如图2所示。
①在轴上取两点，添加滑条（在绘图区）“Parts”，变量名是Parts，范围是1~30，增量是1
②添加输入框，并输入：
③添加滑条“Move-x”变量名是（矩形或梯形个数），范围是0~Parts-1，增量是0.1；添加滑条“RT”变量名是（0代表矩形，1代表梯形），范围是0~1，增量是1
④绘制函数图像虚线，定义域全体实数，在视窗底部命令栏输入：
⑤ 6，并与绘图2区输入框关联上。
⑥绘制函数图像红色实线，定义域。在命令栏输入：函数(f, x(A), x(B))
绘制小矩形。在命令栏输入：序列(多边形(A + k / Parts (B - A), A + (k + 1) / Parts (B - A), (x(A + (k + 1) / Parts (B - A)), f(x(A + (k + i) / Parts (B - A)))), (x(A + k / Parts (B - A)), f(x(A + k / Parts (B - A))))), k, 1, j, 1)
绘制结果如图3图4所示。
先看一下绘图区的整体效果，如图5所示。
① 先用本文开头方法建立三维坐标系，已经有了3个滑条，再添加3个滑条。目标网阅
② 滑条“Rotation”变量名是Rotation，范围是0°~360°，增量是1°；滑条“n”变量名是n，范围是0~360，增量是1；滑条“step”变量名是step，范围是5~10，增量是1
③绘制曲线h，在命令栏输入：曲线(x(O + t u + f(t) v), y(O + t u + f(t) v), t, x(A), x(B))
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绘制曲线m，在命令栏输入：曲线(x(O + t u + f(t) cos(n) v + f(t) sin(n) w), y(O + t u + f(t) cos(n) v + f(t) sin(n) w), t, x(A), x(B))
绘制虚线b，在命令栏输入：曲线(x(O + t u + f(t) cos(Rotation) v + f(t) sin(Rotation) w), y(O + t u + f(t) cos(Rotation) v + f(t) sin(Rotation) w), t, -L_{Axis}, L_{Axis})
绘制虚线a，在命令栏输入：曲线(x(O + t u + f(t) v), y(O + t u + f(t) v), t, -L_{Axis}, L_{Axis})
驾驶的意思④绘制绕轴旋转一周端点所产生的圆。在命令栏输入：曲线(x(O + x(A) u + f(x(A)) cos(s) v
+ f(x(A)) sin(s) w), y(O + x(A) u + f(x(A)) cos(s) v + f(x(A)) sin(s) w), s, 0, Rotation)
⑤绘制绕轴旋转一周端点所产生的圆。在命令栏输入：曲线(x(O + x(B) u + f(x(B)) cos(s) v + f(x(B)) sin(s) w), y(O + x(B) u + f(x(B)) cos(s) v + f(x(B)) sin(s) w), s, 0, Rotation)
⑥绘制绘图区2中带阴影的小矩形或小梯形绕轴旋转一周，在绘图区中产生的圆柱或圆台。如图6，图7所示。在命令栏输入：{曲线(x(O + (x(A) + (j + 1) / Parts (x(B) - x(A))) u + f(x(A) + (j + i) / Parts (x(B) - x(A))) cos(s) v + f(x(A) + (j + i) / Parts (x(B) - x(A))) sin(s) w), y(O + (x(A) + (j + 1) / Parts (x(B) - x(A))) u + f(x(A) + (j + i) / Parts (x(B) - x(A))) cos(s) v + f(x(A) + (j + i) / Parts (x(B) - x(A))) sin(s) w), s, 0, 6.28319), 曲线(x(O + (x(A) + j / Parts (x(B) - x(A))) u + f(x(A) + j / Parts (x(B) - x(A))) cos(s) v + f(x(A) + j / Parts (x(B) - x(A))) sin(s) w), y(O + (x(A) + j / Parts (x(B) - x(A))) u + f(x(A) + j / Parts (x(B) - x(A))) cos(s) v + f(x(A) + j / Parts (x(B) - x(A))) sin(s) w), s, 0, 6.28319), 序列(线段(O + (x(A) + j / Parts (x(B) - x(A))) u + f(x(A) + j / Parts (x(B) - x(A)))cos(s) v + f(x(A) + j / Parts (x(B) - x(A))) sin(s) w, O + (x(A) + (j + 1) / Parts (x(B) - x(A))) u + f(x(A) + (j + i) / Parts (x(B) - x(A))) cos(s) v + f(x(A) + (j + i) / Parts (x(B) - x(A))) sin(s) w), s, 0, 6.28319, 0.17453)}
⑦绘制旋转体的经线，如图8所示。在命令栏输入：序列(曲线(x(O + t u + f(t) cos(s) v + f(t) sin(s) w), y(O + t u + f(t) cos(s) v + f(t) sin(s) w), s, 0, Rotation), t, x(A), x(B), (x(B) - x(A)) / Parts)
⑧添加旋转角度序列“L”在命令栏输入：序列(θ, θ, 0, 360°,°)
绘制旋转体的纬线，如图9所示。在命令栏输入：序列(曲线(x(O + t u + f(t) cos(元素(L, i)) v + f(t) sin(元素(L, i)) w), y(O + t u + f(t) cos(元素(L, i)) v + f(t) sin(元素(L, i)) w), t, x(A), x(B)), i, 1, n, step)
⑨最终效果如图10，图11所示。
修改绘图区2中的函数可绘制不同的空间旋转体图形。在输入框中输入：6(0.5x)³ ℯ^(-(0.5x)²)，可得如图12所示的美丽陀螺，在输入框中输入：x^(1/2)，可得如图13所示的旋转抛物面。
在输入框中输入：0.3x，可得如图14所示的圆锥面，在输入框中输入：3(0.5x)³ ℯ^(-(0.5x)²)，可得如图15所示的高脚杯。
我的好朋友怎么写在绘图区2输入框中可以输入形式的显函数，可得绕轴旋转所得的三维动态旋转图形[9-10]。
平面曲线绕旋转，实际上是空间的曲线 转换为绕轴旋转，在空间中表示为
如果平面曲线绕旋转，实际上是空间的曲线 转换为绕轴旋转，在空间中表示为
。
还可以推广到空间任意曲面（如图16所示），设空间任意曲面为大鱼小鱼
在空间中表示为
武则天一生。
【相关文献】
[1] 吕同富. 高等数学及应用[M]. 3版. 北京:高等教育出版社, 2018.
[2] 吕同富. 数值计算方法[M]. 2版. 北京:清华大学出版社, 2013.
