基于DDE 的PI 控制器设计及其在气化炉温度控制中的应用 Ya-li Xue,Dong-hai Li,Jing-gong Liu
清华大学热能工程系电力系统国家重点实验室 中国北京，清华大学东成西就插曲
摘要：本文讨论了一种基于预期动态方程的PI 控制器的整定方法。通过使用乃奎斯特稳定判据，对基于DDE 方法计算出的控制器的参数的稳定域和传统PI 控制器的计算结果进行了比较。基于DDE 的PI 整定方法应用在了气化炉的温度控制上。仿真结果显示出了整定的代价更低，性能更好，从而验证了该方案的可行性。
关键字：PI 控制；稳定性；预期动态方程；气化炉控制
1. 概况介绍
尽管从上世纪以来，大量的PID 控制器的整定方法被提出来，新的整定方法依然在不断涌现以提高控制系统的性能，促进设计过程，或者延伸系统可用的范围。大部分PID 控制器的整定都是基于理论分析，经验公式或者数值优化。一些有名的PID 整定公式，例如Ziegler-Nichols ，GPM ，IMC 极点分布等等，由于它的简单易行，广泛的应用于实际的工业系统中。但是这些公式经常被限定于一些特殊的过程系统中，比如一阶或二阶带有时滞的系统。对于时间的滞后需要采取一些模型简化或者近似处理，这些会带
来模型误差，最终导致难以获得理想的系统性能。在以较大的代价进行精确的模型辨识和数值计算的前提下，数值优化可以获得最优的性能。
最近这几年，一种基于动态预期方程的方法被提了出来（本文中用DDE-PID 表示）。这种方法已经应用在六种使用相同整定过程的典型系统中，证明了它的可行性和有效性。另外，这种DDE-PID 的方法中的待定参数有其独特的物理意义，并且这些参数可以被单独整定。本文将讨论DDE-PID 控制器中参数的稳定域。并且将此方法用于气化炉的温度控制中，以验证它的可行性。
2.DDE-PID 控制器的整定方法
考虑下图（Fig1）的一个闭环反馈系统。
图中，是过程输出的所对应的理想输入，是控制变量。是一个稳定的线性时不变系统，
r y y u ()p G s 0101()m Ls
m p n
n a a s a s G s e b b s b s −++=++L L ， （1）
此式中和是实系数，，是个PI 控制器
(0,i a i m =L ))(0,i b i n =L n m >0.()c L G s ≥()c Ki
G s Kp s
=+
(2) DDE-PI 控制器的整定方法源于一个非线性控制器的一阶公式：
粉红女郎主题曲2
ˆ()ˆ
()
()r r r u h y y f
f k y y k k y y k ξξξ⎧=−−⎪⎪=−−⎨⎪=−+−−⎪⎩
&u祛湿吃什么食物
这个式子中，ˆf
是扩展的状态观测器，它用来估计和补偿过程的不确定性。决定了系统的响应速度并且选取的值要符合预期动态方程h r y
hy y +=&，ξ是一个中间变量。是待整定的参数，它决定了系统的稳定性。通过求解方程(3)-(5)，可得
k （3）
（4） （5）
()()()r u k h y y kh y y =+−+−∫.r h
火把节的火把) （6）
它和传统的PI 控制器是等价的，只要下面的关系式成立：
p i k k k k h
=+⎧⎪⎨
=∗⎪⎩ （7） 通过整定参数控制器(3)-(5)中的和，就可以很容易的得到方程（2）中的PI 控制器的参数。
按照预期动态方程，这里的参数要先被整定。并且对于一个实际系统而言，参数应该在一个可用的范围内选择。然后，再选择合适的参数以满足系统的稳定性和性能指标的要求。以上的PI 整定方法就是基于DDE 的，因此在本文中用DDE-ID 来表示。
k h h k 为了改善系统的性能，引入了一个比例因子，进而方程（7）可以被重新写为
(0L L >()kp k h L
ki k h L
=+⎧⎨
=∗⎩ （8） 这里有三个待整定的参数同样，依据DDE 先整定参数，再去确定更多的仿真例子可以再参考文献[3]中找到。
,,.h k L h ,.k L 3..DDE-PID 控制器参数的稳定域
尽管DDE-PID 的参数是单独整定的，提前获取参数的取值范围还是有用的。事实上，DDE 的参数是不可以任意给定的，否则就找不到控制策略可以让系统稳定。参数也是一样。这里，通过已知的频率响应去计算稳态过程的DDE-PID 参数。
h ,k L 3.1 和的稳定域 h k 过程（1）的频率响应为
()p G j R jI ωωω=+ （9）
这个式子里面R ω和I ω是分别代表实部和虚部。
由于开环传函G s （10）
()()()k p c G s G s =除了原点外不存在不稳定的极点。依据Nyquist 稳定判据，闭环反馈系统是稳定的条件是：当且仅当Nyqiust 曲线顺时针绕过(1,0)j −的净圈数是0。
方程（10）中的Nyquist 轮廓线包含3个部分： ()k G s (a) Re ,,2 2.j s R ππΦ
=→∞−≤Φ≤
很容易发现此时。就是平面的原点。
()0k G s →()k G s （b ）s j ω=, 。
()
爱心包裹,00,ω−+
⎤⎡∈−∞+∞⎦⎣U 只需要研究 的部分就足够了（另一部分可以根据对称原则求得）。对于方程（7）中的关系式
(
,0ω−⎤∈−∞⎦ ()()(k p c G j G j G j )ωω=ω
[]()[()R k h I kh j I k h R k h ωωωω]ωω=++++− （11） (c) ,0,/2/j s re
r ϕ
2πϕπ=→−≤≤
G 是个半圆形的无限长的圆弧，相角是()k s )sign a kh b 00(/.ϕ−×00/0a kh b >当时，它的变化轨迹如下图Fig2..(b)所示。
因而当ω从变到时，如果下面的两个条件都满足的情况下，G 的Nyquist 轮廓线不会包括−∞+∞()k s (1,0)j −点。
(1) 00/a kh b >01
（12）
（13） （14）
(2)
()/0
()/I k h R kh R k h I kh ωωωωωω+−=⎧⎨
++>−⎩
对于一个给定的参数，能够使闭环系统稳定的的取值范围（用来表示）可以用下面的步骤来计算：
h k k S 1） 计算并且由等式（12）形成一个对于的约束方程。用来表示。 0/a b 0k 1S 2） 如果约束方程没有解，那么1S ;k S =∅否则，扫描中的参数。
1S k a) 对于每个1,s k S ∈解方程（13）来获得{}12,,l ;ωωωL
b) 对与每个{}12,,i l ωωωω∈L ，计算出,i i ,R I ωω把它们代入不等式（14）来形成对于s k 的l 个
约束方程。
c) 如果所有的个关于l s k 的约束方程都成立的话，则s k k S ∈。 对于一个纯比例控制器，（13），（14）的约束方程有一个简化形式：
1
I R h ωω=⎧⎨
>−⎩
通过求解等式再把它的根p ω代换到不等式之中，就可以得到一系列的关于h 的约束条件。比例控制器的的取值范围就是满足这些不等式的的交集。 h h 例1：考虑一个传递函数如下所示的系统 0.13
21(),(1)s
p s G s
（15） （16）
e s −−+=
+i 通过上面的计算方法，可以得到和的稳定域，如图Fig.3(a)所示。其通过等式（7）对应的的区域是Fig.3(b)中的蓝色区域。Fig.3(b)中的粗红线显示了以DDE 为基础的能让系统稳定的PI 控制器参数的范围。这只是标准PI 控制器可取的参数范围的一部分。
k h p K K
−
这也就可以解释在引入比例因子L 以后系统性能提高的原因了。
3.2和k L 的稳定域
遵循同样的分析方法，对于一个给定的，方程(13)-(14)可以重新写成下面的形式：
h 22
()I h k R h I R I kh L I ωωωωωωωωω⎧=⎪−⎪
⎨+⎪>−⎪⎩
（17）
（18）
同样，对于比例控制器，有：
（19） （20）
季姬击鸡记
()/I R h k L ωω=⎧⎨
公斤和克+>⎩1
乡村风景图−
对于一个给定的，在控制器（8）的k 和h L 的稳定域可以用一下步骤求到：
1）计算并且由等式（12）形成一个对于的约束方程。用来表示。 0/a b 0k 1S 2）解（19-20）的式子，得到关于L 的约束条件。用表示。
2S 3）对于每个，解等式（19）得到1m k S ∈m ω，再将它们代入不等式（20）当中，得到一系列关于L 和的约束条件，亦即：
k 22(),m m m m R I k h
L I ωωωω
+>−
用表示。
3S k 和L 的稳定域可以从的交集中求得。
23,1S ,S S 通过引入比例因子L ，的稳定域可以得到扩展，并且相应的DDE-PID 控制器的参数可以覆盖稳定域中的大部分区域（即Fig.3(b)图中的第一象限）。
k h −由于参数对于k 和h L 的取值范围有很大的影响，因而它应该先被确定。一般而言，DDE 中的参数可以取为h (412)/,sd t −sd t 是调节时间。这样一来，方程（8）中独立的待定参数就是和k L 。并且他们可以独立的被整定。
4.气化炉温度控制的应用
从氧碳原子比到气化炉温度的传递函数可以从两阶浆料进给气化炉的动态模型中获得。
16.99/6
1976()(1 5.62)
s
O C T G s e s −−=
+
