Chapter 8 Vector Differential Calculus －梯度，散度，旋度
§ 1基本觀念
● Scalar （純量）：由大小加上適當的單位即可描述的量稱之，如：長度，溫度，電壓…等。 ● Vector （向量）：由大小及方向再加上單位來描述的量稱之，如：力，力矩，速度，電場…
等。
→ 用粗體字表示。
→ 圖示：帶箭頭之線段，(See Fig.147 in textbook 2, p.401)。
1. 長度(length or magnitude)：a ，又稱為範數(Norm)。 *長度 = 1之向量稱為單位向量。
● 向量的運算相等：大小及方向相同，i.e.各分量相等。 ● 向量的分量：
[]k j i a 321321,,a a a a a a ++==, where ⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=123
122121z
z a y y a x x a
大小：=
a =++2
32221a a a 212212212)()()(z z y y x x -+-+-
Ex.1 起始點P ：(4, 0, 2)，終點Q ：(6, -1, 2)。求a = ? (See Fig.151 in textbook 2, p. 402.)
(Sol.) []123642101a 2,1,0220a a a =-=⎫
⎪
=--=-⇒=-⎬⎪=-=⎭
⇒大小()501222
2=+-+=a
● Position Vector （位置向量）：由原點 (0, 0, 0) 至空間中任一點
A ：(x , y , z ) 所形成的向量稱之，記為r 。 ∴ r =[]z y x ,,
y
)
y
z
2, y 2, z 2)
Theorem1： 已知一固定的Cartesian Coordinate System （笛卡兒座標系統），則每一向量均可
由其分量的有序數對來唯一決定。相反地，每一有序數對 (a 1, a 2, a 3) 必對應於一向量a =[]321,,a a
a 。
* 其中 (0, 0, 0) 對應於零向量（Zero vector ）0，其長度= 0，且無方向。
向量加法，純量乘法
七月棋牌定義：向量加法方法近义词
兩向量a =[]321,,a a a 及 b =[]321,,b b b ，則a + b =[]332211,,b a b a b a +++。
*圖示法：1. 三角形法 ⇒ Fig.153 in textbook 2, p.404.
2. 平行四邊形法 ⇒ Fig.154 in textbook 2, p.404.
*向量加法的基本性質:
(a) a + b = b + a （交換性 Commutativity ）
(b) (u + v ) + w = u + (v + w ) (結合性Associativity) (c) a + 0 = 0 + a (d) a + (- a ) = 0
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Def. 純量乘法
向量a =[]321,,a a a 與純量c 的乘積定義為c a =[]321,,ca ca ca 。
* 純量乘積的基本性質：
(a) c (a + b ) = c a + c b (b) (c + k )a = c a + k a (c) c (k a ) = (ck )a (d) 1a = a (e) 0a = 0 (f)
(- 1)a = - a
Ex. 2 已知[]1,0,4=a 及⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-=31,5,2b ，則
[]
[]b
a b a b a a a 2234,10,432,5,22)(234,5,67,0,2871,0,4-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
=-⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡
-=+=--=-
* 單位向量（unit vector ）: i , j , k 。
i , j , k 分別代表在x , y , z 方向上且大小為1之向量，稱為單位向量。 * 向量a = [a 1, a 2, a 3]亦可表成a = a 1i + a 2 j + a 3 k ，此處 i = [1, 0, 0]，j = [0, 1, 0]，k = [0, 0, 1]。
Ex.3 在例題二中，a = 4 i + k ，b = 2 i - 5 j + (1/3)k 。
● 向量空間（Vector Space ）
已知向量a (1) , a (2) , … , a (m)的線性組合為一向量，可表成
c 1 a (1) + c 2 a (2) + c 3a (3) + … + c m a (m ) ---- (1)
其中c 1, c 2, … , c m 為任意純量。若且唯若c 1 = c 2 = … = c m = 0 時，(1)式變成 c 1 a (1) + c 2 a (2) + c 3a (3) + … + c m a (m ) = 0 ---- (2) 則稱a (1) , a (2) , … , a (m)互為線性獨立；反之，則稱為線性相依。 * m 稱之為維度（dimension ）。
§ 2內積（點積）
● Def.：兩向量a, b 的內積（inner product ）或點積（dot product ）定義為
a ．
b =γcos b a ，若a ≠0，b ≠0
a ．
b = 0，若a = 0或b = 0 其中 πγ≤≤0。
* 以分量表示：a = [a 1, a 2, a 3]，b = [b 1, b 2, b 3]，則a ．b = a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3。
● Theorem1：（正交性）已知a 及b 均為非零向量，則a ．b = 0 ⇔ a ⊥b 。
* 以內積來表示長度與角度:
1) a a a ⋅= 2) b
b a a b
a b a b a ⋅⋅⋅=
⋅=
γcos
关于包饺子的作文
Ex.1 已知a = [1, 2, 0]，b = [3, - 2, 1]，試問兩向量的inner product 、長度及其間的夾角。 <Sol> 1) a ．b = - 1
2) |a | =a a ⋅=5 |b | =b b ⋅=14
3) ︒=-=⋅=--865.96.))(rad 11952.0(cos |
|||cos 11b a b
a γ
含羞草的外形● 內積的一般性質
1. Linearity ： (k 1 a + k 2 b )．c = k 1 a ．c + k 2 b ．c → 分配性
2. Symmetry ： a ．b = b ．a → 具交換性
3. Positive definiteness ： a ．a ≥ 0 其中若且唯若a = 0時，a ．a = 0
4. Schwarz inequality ： |a ．b | ≤ |a ||b |
5. Triangle inequality ： |a + b | ≤ |a | + |b | ［84年成大航太所］［85年中央機械所］
clo的意思6. Parallelogram equality ： |a + b |2 + |a - b |2 = 2(|a |2 + |b |2)
* 性質4～6在Hilbert Space 扮演著重要角色，為量子力學的基礎。
H.W.1 試求向量 A = [2, 2]與 B = [3, 1]間之夾角。［82年高考］ <Ans> α= cos -1
5
2身份证提取年龄的公式
H.W.2 假設a , b , c 為相互垂直之單位向量，試證： |a + b + c |2 = 3
內積的應用
Ex.2 力做的功 → 內積
W = F ．d = |F ||d |cos α d ≡ 位移
Ex.3 在一特定方向上力的分量
如圖示，物體重5000(lb)，試問 拉力為何才能使物體平衡不動？ <Sol> 物重W = [ 0, - 5000]，
C 代表物體作用在斜坡上的力， 故知 W = C + F
()lb 2113
65cos 5000cos =︒==γW F
拉力的方向：
[][]
[]42262.0,9631.025tan ,125tan ,1+-=︒-︒-=
u
* 投影分量：向量a 在向量b 方向上的投影分量p ：
b
b a ⋅=p =
cos cos γ
γ=a b a b
Ex.4 See Textbook 2, p. 412。 Ex.5 已知直線022:2=+-y x L ，試求通過點P (1, 3) 而與2L 垂直之直線1L 方程式。
<sol> 直線方程式通式：
c y a x a L =+211: c =⋅⇒r a 不通過原點 其中，[]0,21≠=a a a ，[]y x ,=r 。
通過原點與1L 平行的直線r a r a L ⊥⇒=⋅*0:1
故a 稱之為1L 的法線向量 [normal vector]。 已知022:2=+
-y x L
25y
x
-
F C
W
b
x
2
