北师大版九年级下册数学综合复习试题含答案
第一章
三、解答题(共66分)
19．(8分)(1)计算：
2cos230°－sin30°＋；
解：原式＝2×－＋
＝1＋＋.
(2)先化简，再求代数式÷的值，其中a＝2sin 60°＋tan 45°.
解：原式＝·(a＋1)
＝·(a＋1)＝.
∵a＝2×＋1＝＋1.
∴原式＝＝.
20．(8分)如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.求：
(1)BC的长；
(2)sin ∠ADC的值．
解：(1)过点A作AE⊥BC于点E，
∵cos C＝，
∴∠C＝45°，
在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1，
∴AE＝CE＝1，
在Rt△ABE中，tan B＝，
即＝，∴BE＝3AE＝3，
∴BC＝BE＋CE＝4.
(2)∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1，
∵AE⊥BC，DE＝AE，
∴∠ADC＝45°，∴sin ∠ADC＝.
21．(8分)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A，B和点C，D，先用卷尺量出AB＝180 m，CD＝60 m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽(即CH的长).
解：过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，
∴HE＝CD＝60 m，
设CH＝DE＝x m，
在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，
∴BE＝x m，
在Rt△ACH中，∠BAC＝30°，
∴AH＝x m，由AH＋HE＋EB＝AB＝180 m，
得到x＋60＋x＝180，
解得x＝30，即CH＝30 m，
答：该段运河的河宽为30 m．
22．(8分)如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)
解： 过点A作AD⊥BC，交BC于点D，则点D 距观测点A最近．
依题意有∠BAD＝45°，
∠ACD＝60°，
BC＝30×0.5＝15(海里).
设AD＝x海里．
∵tan ∠ACD＝＝，
tan ∠BAD＝＝1，
∴CD＝x海里，BD＝x海里．
∴x＋x＝15，
解得x＝.
∵÷30＝(小时)，
答：渔船从B点开始行驶小时离观测点A的距离最近．
23.(10分)如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是 45°，沿斜坡走2米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B的仰角为 30° ，且斜坡AF的坡比为1∶2.则小明从点A走到点D的过程中，求：
(1)上升的高度；
(2)大树BC的高度(结果保留根号).
解：(1)过点D作DH⊥AC交CA的延长线于H，
延长BD，CE交于点G.
∵AD＝2，
＝，DH2＋AH2＝AD2，
∴5DH2＝20，∴DH＝2.
∴上升的高度为2米．
(2)由(1)可知，DH＝2，∠G＝30°，
∴AH＝4，∴GH＝2，AG＝4＋2，
设BC＝x，∵∠BAC＝45°，∠G＝30°，
∴AC＝x，CG＝x，
∵CG－AC＝AG，∴x－x＝4＋2，
解得x＝5＋3.
答：大树BC的高度为(5＋3)米．
24．(12分)如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架3米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米(结果保留根号)?
解：在Rt△BCE中，
∵BC＝3，
∠BEC＝90°，
∠BCE＝45°，
∴BE＝CE
＝BC·cos 45°
＝3×＝3，
在Rt△BDE中，DE＝BE·tan 30°＝，
