博弈论解的概念
1、合作博弈论解概念
合作博弈论解概念很多，但没有一种能够具有类似纳什均衡在非合作博弈中具有的核心地位（这大概也是最近一二十年当中以似什均衡为核心的非合作博弈理论发展的一个原因）。在这些解概念中，比较知名的有核心（core）、稳定集（stable t）、Shapley值、谈判集（bargaining t）、内核（Kernel）、核仁（nucleolus）及纳什讨价还价解（Nash bargaining solution）等。如前所述，合作博弈可分为转移支付联盟博弈（coalitional game with transferable payoff）和不可转移支付联盟博弈（coalitional game with nontransferable payoff），下面讨论的合作博弈解的概念是以可转移支付联盟博弈为基础的，但一般都可以推广到不可转移支付联盟博弈中去。
先说明合作博弈研究中经常提到的两个概念，即分配（allocation）和优超。合作博弈的局中人都从联盟的收入中分得各自的份额，这里用n维向量（x=，…，xn）∈Rn来表示，称为支付向量，其中,表示第i个局中人所得的份额。
满足
xi≥ (｛i｝)，I=1，2，…，n （1—1）
∑xi= v（N） （1—2）
的支付向量称为合作博弈的一个分配（allocation）。分配的全体用E（v）表示。式（1—1）称为个体合理性条件，它表明每个局中人所得至少不小于他单干时的所得。式（1—2）称为群体合理性条件，说明各人分配的收益之和正好是各种联盟形式总的最大收益。
对于分配x和y及联盟S，如果
xi>yi， i∈S （1—3）
Σxi≤ v（S） （1—4）
则称x关于S优超y，记为s﹥ 。
对于两个不同的分配x和y，如果存在联盟S使x ，则称x和y，记为x 。式（1—3）表示联盟中各局中以从分配x中得到的收益要大于从分配y中获得的收益。式（1—4）表示从分配x中得到的总和收益不超过联盟的特征函数值（也就是说是可行的）。一旦联盟S发现有x ，
它将放弃分配y而接受x。所以，只有不被优超的分配对局中人来说才会令人满意。
⑴核心（core）
核心（core）最早由D.B.Gililes于20世纪50年代早期引进作为研究稳定集合的一个工具，Lloyd S.Shapley和Martin shubik把它发展为一个解的概念。
对于可转移支付联盟博弈（N，v），分配集E(v)中不被任何分配优超的分配，其全体称为核心（core），记为C(v)。
核心（core）有一个简捷直观的表达式，即：
C(v)可表示为满足
x(S)≥v(S), S N （1—5）
x(N)≥v(N) （1—6）
的支付向量x的全体。
核心（core）是联盟型博弈中一种利益分配的集合。集合中的每一个利益分配方案，均使得没有任何一些局中人能够通过组成联盟而提高他们自己的总和收益。把核心中的分配作为博弈的解是可行的，因为即使有某联盟S喜欢另一分配y，也会由于y(S)>v(s)（超过了联盟S的特征函数值）而无法将x改变为y，也就是说，核心中的分配使得任何联盟都没有能力推翻它。但是，核心（core）概念存在一个致命的缺陷是它经常是空的，即通常找不到一种能够被所有联盟都接受的利益分配方案。
⑵稳定集（stable t）是由John von Meumann and Oskar morgenstern（1944）提出来的。
设V是可转移支付联盟博弈（N，v）中的一些分配的集合。
(a)如果V中任何两个分配都没有优超关系，则称之为内部稳定的（internal stable）.
(b)如果对于V之外的任一分配y，都有x∈V使得x优超y，则称V为外部稳定的（external stable）。
既是内部稳定又是外部稳定的分配集合称为稳定集（stable t）。
稳定集(stable t)的存在性比核心(core)要好一些，但也并不总是存在的。
⑶Shapley值
可转移支付联盟博弈的主要总是就是局中人如何分配联盟的收入。一个很自然的方法就是根据各局中人给联盟带来的增值来分配。Shapley值在直观上是所有边际贡献的平均值，这种边际贡献是一个局中人对他所能参与的各种联盟的做出的贡献，也就是由于他的加入各种联盟总和收益的增长。Lloyd S.Shapley于1953年建立了这一概念，并提出了明确的计算公式，即：
Φi(v)=∑ （v(SUi)-v(s)） （1—7）
式（1—7）中，Φi(v)称为Shapley值，s=|S|表示联盟S中所含局中人的个数，SU表示局中人ilk 入联盟S后的新联盟，v为特征函数，N=（1，2，…，n）是局中人集合。
Shapley值考虑到了各个局中人对联盟收益的贡献，具有一定的科学性，当然也存在反对意见，认为它没有体现出各局中人通过谈判达成协议结为联盟的过程。Lloyd S.Shapley提出的Shapley值计算方法简单，而且能得到合作博弈的唯一解，使用较为广泛。
⑷谈判集（bargaining t）
谈判集（bargaining t）的概念最早由Robeyt J.Aumann和Michael Maschler于1964年提出。
设x是一个分配。对于这个分配，可能有某两个局中人I和j尚有争议：I觉得自己应不止得这么多，现在却让j占了便宜。这时，I可以组织一个没有j参加的联盟S（支付向量为y），在这个联盟中，可以将其总收入分配得使各参加者所得比在分配x中的所得更多。这样一个二元偶（S，Y）就称为局中人I对y关于分配x的异议(objection)。局中人j针对I的异议（S，y）可能有一定的办法来对付，或者说j可能组织一个没有I参加的联盟D（支付向量为z）：D中各人所得至少有他们有参加联盟S时的所得那么多。这样一个二元偶（D，z）就称为局中人j对I关于异议（S，y）的反异议（counter-objection）。
