定价核和回报
1 定价方程
1.1 基本的定价方程
假设有一笔在t+1时刻的payoff为xt+1的资产，该如何计算它在t时刻的价值？
假如在今天买一只股票，那么下一期的payoff就是股票的价格加股息，即xt+1=pt+1+dt+1，xt+1是一个随机变量，投资者无法确切地知道他的投资在下一期会有多少收益，但他可以估算各种可能情况的概率。假设有一个代表性投资者，他的效用函数是
U(ct,ct+1)=u(ct)+βEt[u(ct+1)]
其中ct表示在t期的消费。假设效用函数是幂效用函数
u(ct)=11−γct1−γ
当γ→1时，u(c)=ln(c)。β是主观贴现因子（subjective discount factor），效用函数的曲率表示对风险和跨期替代的厌恶程度。
假设投资者可以以pt的价格自由买卖任意数量的资产xt+1，初始消费水平为e，他选择买入ξ数量的资产，那么可列出方程：
max{ξ}u(ct)+Et[βu(ct+1)]=et−ptξ,ct+1=et+1+xt+1ξ
将约束条件代入后求解最值问题，解得：
ptu′(ct)=Et[βu′(ct+1)xt+1]
上式可写为：
(1)pt=Et[βu′(ct+1)u′(ct)xt+1]
1.2 边际替代率与随机贴现因子
定义随机贴现因子（Stochastic Discount Factor，SDF）
mt+1=βu′(ct+1)u′(ct)
代入(1)式可得pt=Et(mt+1xt+1)。这里的mt+1可以叫作边际替代率（marginal rate of substi
tution），也叫定价核（pricing kernel），或者测度变换（change of measure）、状态价格密度（state-price density）等。在大多数时候，下标可以省略，条件期望和无条件期望也没必要区分，可以写作p=E(mx)。
如果不存在不确定因素，那么按照标准现值公式，应该有
pt=1Rfxt+1
其中Rf为毛无风险利率（gross risk-free rate），1/Rf为贴现因子。用大写的R表示毛收益率，小写的r表示净收益率，关系是r=R−1或r=ln(R)。
对于payoff相同的风险资产，风险越大，价格越低，因此风险资产的定价可用风险调整的贴现因子（risk-adjusted discount factors），它和某个资产有关：
pti=1RiE(xt+1i)
2 金融中的经典问题
本节以p=E(mx)为视角，来看一些金融中的经典问题。
2.1 无风险利率
现在研究无风险债券，它的payoff就是无风险利率Rf，它在t期的价格为1，因此有1=E(mRf)=E(m)Rf，因此，无风险利率为：
Rf=1E(m)
若效用函数取为u(ct)=11−γct1−γ，代入m的表达式中，并消除不确定性（拿掉期望符号），可得
Rf=1β(ct+1ct)γ
可以看出，在排除不确定因素后，无风险利率水平与β、消费增长率、效用函数曲率γ有关。
而如果存在不确定性呢？假设消费增长率是对数正态分布，定义对数无风险利率为rtf=lnRtf，定义主观贴现率δ=−lnβ，记Δlnct+1=lnct+1−lnct，Δ表示一阶差分算子。那么
Rf=1/Et[β(ct+1ct)−γ]
已知对于正态分布变量z，有E(ez)=eE(z)+(1/2)σ2(z)，代入上式后得
Rtf=[e−δe−γEt(Δlnct+1)+(γ2/2)σt2(Δlnct+1)]−1
两边取对数后得：
rtf=δ+γEt(Δlnct+1)−γ22σt2(Δlnct+1)
可以看到，在存在风险时，无风险利率水平依旧与不耐心程度δ、消费增长率、幂参数γ有关。
