⼩波去噪的基本知识
本篇是这段时间学习⼩波变换的⼀个收尾，了解⼀下常见的⼩波函数，混个脸熟，知道⼀下常见的⼏个术语，有个印象即可，这⾥就当是先作⼀个备忘录，以后若有需要再深⼊研究。
⼀、⼩波基选择标准
⼩波变换不同于傅⾥叶变换，根据⼩波母函数的不同，⼩波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使⽤哪⼀种⼩波的标准⼀般有以下⼏点：1、⽀撑长度
⼩波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的⽀撑区间，是当时间或频率趋向于⽆穷⼤时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从⼀个有限值收敛到0的长度。⽀撑长度越长，⼀般需要耗费更多的计算时间，且产⽣更多⾼幅值的⼩波系数。⼤部分应⽤选择⽀撑长度为5~9之间的⼩波，因为⽀撑长度太长会产⽣边界问题，⽀撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。
这⾥常常见到“紧⽀撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果⾃变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；⽽在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧⽀撑函数，⽽这个0附近的取值范围就叫做紧⽀撑集。总结为⼀句话就是“除在⼀个很⼩的区域外，函数为零，即函数有速降性”。
2、对称性
具有对称性的⼩波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该⼩波对应的滤波器具有线性相位的特点。
3、消失矩
在实际中，对基本⼩波往往不仅要求满⾜容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的⼩波系数为零或者产⽣尽量少的⾮零⼩波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越⼤，就使更多的⼩波系数为零。但在⼀般情况下，消失矩越⾼，⽀撑长度也越长。所以在⽀撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
⼩波的消失矩的定义为，若
其中，Ψ(t)为基本⼩波，0<=p<N。则称⼩波函数具有N阶消失矩。从上式还可以得出，同任意n-1阶多项式正交。在频域内表⽰就是Ψ(ω)在ω=0处有⾼阶零点（⼀阶零点就是容许条件）。
4、正则性
在量化或者舍⼊⼩波系数时，为了减⼩重构误差对⼈眼的影响，我们必须尽量增⼤⼩波的光滑性或者连续可微性。因为⼈眼对“不规则”(irregular)误差⽐“平滑”误差更加敏感。换句话说，我们需要强加“正则性”(regularity)条件。也就是说正则性好的⼩波，能在信号或图像的重构中获得较好的平滑效果，减
⼩量化或舍⼊误差的视觉影响。但在⼀般情况下，正则性好，⽀撑长度就长，计算时间也就越⼤。因此正则性和⽀撑长度上，我们也要有所权衡。
消失矩和正则性之间有很⼤关系，对很多重要的⼩波（⽐如，样条⼩波，Daubechies⼩波等）来说，随着消失矩的增加，⼩波的正则性变⼤，但是，并不能说随着⼩波消失矩的增加，⼩波的正则性⼀定增加，有的反⽽变⼩。
5、相似性
选择和信号波形相似的⼩波，这对于压缩和消噪是有参考价值的。
⼆、常见的⼩波基
以下列出的15种⼩波基是Matlab中⽀持的15种。
⼩波函数HaarDaubechies Biorthogonal Coiflets Symlets Morlet Mexican
Hat
Meyer
⼩波缩写
名
haar db bior coif sym morl mexh meyr
表⽰形式haar db N bior N r.N d coif N sym N morl mexh meyr 举例haar db3bior2.4coif3sym2morl mexh meyr 正交性有有⽆有有⽆⽆有双正交性有有有有有⽆⽆有紧⽀撑性有有有有有⽆⽆⽆
变换
可以可以可以可以可以可以可以可以
离散⼩波变换可以可以可以可以可以
不可
以
不可以
可以
但⽆
FWT
⽀撑长度12N-1
重构:2N r+1
分解:2N d+16N-12N-1有限
长度
有限长
度
有限
长度
滤波器长
度22N
Max(2N r,
2N d)+2
6N2N[-4, 4][-5, 5][-8, 8]
对称性对称近似对称不对称近似对
称
近似对
称
对称对称对称
⼩波函数
消失矩阶
数
1N N r-12N N---
尺度函数
消失矩阶
数
--2N-1----
⼩波函数Gaus Dmeyer ReverBior Cgau Cmor Fbsp Shan
⼩波缩写名gaus dmey rbio N r.N d cgau cmor fbsp shan
表⽰形式gaus N dmey rbio N r.N d cgau N cmor fbsp shan
举例gaus3dmey rbio2.4cgau3cmor fbsp shan
紧⽀撑正交性⽆⽆⽆⽆⽆⽆⽆
紧⽀撑双正交性⽆⽆有⽆⽆⽆⽆
连续⼩波变换可以不可以可以不可以不可以不可以不可以
离散⼩波变换不可以可以可以不可以不可以不可以不可以
对称性对称对称对称对称对称对称对称
⼩波函数
消失矩阶数
-------
尺度函数
消失矩阶数
--N r-1-----
1、Haar⼩波
Haar，⼀般⾳译为“哈尔”。
Haar函数是⼩波分析中最早⽤到的⼀个具有紧⽀撑的正交⼩波函数，也是最简单的⼀个⼩波函数，它是⽀撑域在t∈[0,1]范围内的单个矩形波。 Haar⼩波在时域上是不连续的，所以作为基本⼩波性能不是特别好。
在Matlab中输⼊命令waveinfo('haar')可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported
wavelet, the oldest and the simplestwavelet.
scaling function phi = 1 on [0 1] and 0otherwi.
wavelet function psi = 1 on [0 0.5], = -1on [0.5 1] and 0 otherwi.
Family Haar
Short name haar
Examples haar is the same as db1
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 1
Filters length 2
Regularity haar is not continuous
Symmetry yes
Number of vanishing
moments for psi 1
2、Daubechies(db N)⼩波(紧⽀集正交⼩波)
Daubechies，⼀般⾳译为“多贝西”。
Daubechies⼩波是由世界著明的⼩波分析学者Ingrid Daubechies(⼀般⾳译为英格丽·多贝西)构造的⼩波函数，我们⼀般简写成db N，N是⼩波的阶数。⼩波函数Ψ(t)和尺度函数φ(t)中的⽀撑区为2N-1，Ψ(t)的消失矩为N。db N⼩波具有较好的正则性，即该⼩波作为稀疏基所引⼊的光滑误差不容易被察觉，使得信号重构过程⽐较光滑。db N⼩波的特点是随着阶次（序列N）的增⼤消失矩阶数越⼤，其中消失矩越⾼光滑性就越好，频域的局部化能⼒就越强，频带的划分效果越好，但是会使时域紧⽀撑性减弱，同时计算量⼤⼤增加，实时性变差。另外，除N=1外，db N⼩波不具有对称性（即⾮线性相位），即在对信号进⾏分析和重构时会产⽣⼀定的相位失真。db N没有明确的表达式（除了N=1外，N=1时即为Haar⼩波）。
在Matlab中输⼊命令waveinfo('db')可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported
wavelets with extremal pha and highest
number of vanishing moments for a given
support width. Associated scaling filtersare
minimum-pha filters.
Family Daubechies
Short name db
Order N N strictly positive integer
Examples db1 or haar, db4, db15
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 2N-1
Filters length 2N
Regularity about 0.2 N for large N
Number of vanishing
moments for psi N
3、Symlet(sym N)⼩波(近似对称的紧⽀集正交⼩波)
Symlet⼩波函数是IngridDaubechies提出的近似对称的⼩波函数，它是对db函数的⼀种改进。Symlet⼩波系通常表⽰为sym N (N=2,3,…,8)。sym N⼩波的⽀撑范围为2N-1，消失矩为N，同时也具备较好的正则性。该⼩波与db N⼩波相⽐，在连续性、⽀集长度、滤波器长度等⽅⾯与db N⼩波⼀致，但sym N⼩波具有更好的对称性，即⼀定程度上能够减少对信号进⾏分析和重构时的相位失真。
在Matlab中输⼊命令waveinfo('sym')可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported wavelets with
least asymmetry and highest number ofvanishing moments
for a given support width.
Associated scaling filters are nearlinear-pha filters.
Family Symlets
Short name sym
Order N N = 2, 3, ...
Examples sym2, sym8
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 2N-1
Filters length 2N
Regularity
Symmetry near from
Number of vanishing
moments for psi N
4、Coiflet(coif N)⼩波
根据R.Coifman的要求，Daubechies构造了Coiflet⼩波，它具有coif N (N=1,2,3,4,5)这⼀系列。Coiflet的⼩波函数Ψ(t)的2N阶矩为零，尺度函数φ(t)的2N-1阶矩为零。Ψ(t)和φ(t)的⽀撑长度为6N-1。Coiflet的Ψ(t)和φ(t)具有⽐db N更好的对称性。
在Matlab中输⼊命令waveinfo('coif')可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported
wavelets with highest number of vanishing
moments for both phi and psi for a given
support width.
Short name coif
Order N N = 1, 2, ..., 5
Examples coif2, coif4
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 6N-1
Filters length 6N
Regularity
Symmetry near from
Number of vanishing
moments for psi 2N
Number of vanishing
moments for phi 2N-1
5、Biorthogonal(biorNr.Nd)⼩波
为了解决对称性和精确信号重构的不相容性，引⼊了双正交⼩波，称为对偶的两个⼩波分别⽤于信号的分解和重构。双正交⼩波解决了线性相位和正交性要求的⽭盾。由于它有线性相位特性，所以主要应⽤在信号与图像的重构中。通常的⽤法是采⽤⼀个函数进⾏分解，⽤另外⼀个⼩波函娄进⾏重构。
双正交⼩波与正交⼩波的区别在于正交⼩波满⾜<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,kδl,m，也就是对⼩波函数的伸缩和平移构成的基函数完全正交，⽽双正交⼩波满⾜的正交性为<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,k，也就是对不同尺度伸缩下的⼩波函数之间有正交性，⽽同尺度之间通过平移得到的⼩波函数系之间没有正交性，所以⽤于分解与重构的⼩波不是同⼀个函数，相应的滤波器也不能由同⼀个⼩波⽣成。
该⼩波虽然不是正交⼩波，但却是双正交⼩波，具备正则性，同时也是紧⽀撑的，其重构⽀撑范围为2Nr+1，分解⽀撑范围为2Nd+1。biorNr.Nd ⼩波的主要特征表现在具有线性相位特性。⼀般来说为了获得线性相位，需要降低对于正交性的局限，为此该双正交⼩波降低了对于正交性的要求，保留了正交⼩波的⼀部分正交性，使⼩波攻得了线性相位和较短⽀集的特性。
在Matlab中输⼊命令waveinfo('bior')可得到如下信息：
General characteristics: Compactly supported
biorthogonal spline wavelets for which
symmetry and exact reconstruction are possible
withFIR filters (in orthogonal ca it is
impossible except for Haar).
Family Biorthogonal
Shortname bior
OrderNr,Nd Nr = 1 , Nd = 1, 3, 5
r forreconstruction Nr = 2 , Nd = 2, 4, 6,8
d fordecomposition Nr = 3 , Nd = 1, 3, 5,7, 9
