做对称的描述方式
我们首先来看看，wiki上是怎么给具体的几何对称下定义的：
A geometric shape or object is symmetric if it can be divided into two or more identical pieces that are arranged in an organized fashion. This means that an object is symmetric if there is a transformation that moves individual pieces of the object, but doesn't change the overall shape. The type of symmetry is determined by the way the pieces are organized, or by the type of transformation.
你看，几何对称性最粗浅的认识，就还真是两个对象的对应性，如最典型的轴对称，就是所谓的翻折重合。但实际上，这个对象的数量可以更多，变换方式也可以多种多样，物理上合理即可。更重要的是，其更本质的特点是对称不变性，即以集合方式描述的像素点级别的不变性。而对应性仅仅是对称不变性的低阶特点而已，比如中心对称在中小学阶段比轴对称稍微难理解，就在于它更适合用旋转180度不变这样的对称性，而不是两个部分转180度互相重合的对应性来描述更符合直觉。
进一步来理解，一个几何对称图形一定是可以拆分成若干个部分的并集的，这个集合的元素就是群内元素，而且某个几何操作恰好能够生成它们，构成生成群。所以才有了，几何对称图案，其实是基础图案加上具有某性质的群操作构成的。这一切都符合上一讲中介绍的生成群的概念。那么在几何对称中，我们自然要研究的就是，对于一个基础图案，有哪些满足各种性质的双射几何操作，以及我们肉眼已见的图案，分别又可以看作哪些操作生成的呢？
空间几何对称类型介绍
1.反射对称(reflectionalsymmetry)：也叫线/轴对称（linesymmetry）或镜像/面对称（mirrorsymmetry），一般以2维还是3维对象来区分，自然也可以抽象到n维空间去，只是那就进入抽象几何的领域了。因为镜子的存在，这种对称深入人心，是最直观，简洁，一眼就能让人感受到安全感的那种美学对称。这里我给出抽象n维空间内的(n-1)维对象对称计算公式：
对称对象方程组：
x’=x+k*F
((x’+x)/2–A)T*F=0
F为法向量，A为平面内参考点，x为原空间的点，x为对称过去的点。
得：
k=2(A-x)T*F/(|F|^2)
x’=x+2(A-x)T*F/(|F|^2)*F
2.旋转对称（rotationalsymmetry）：平面旋转围绕点，空间内也可以围绕点，不过仍然会坍缩为平面，故是围绕直线，自然4维空间就得是围绕平面来旋转了（式子倒是不难列，不过有点难想象，因为没人见过）。其经典案例自然就是正n变形了，当我们以其边或者点去用旋转变换来生成它们时，对其认识可以说又近了一步。如果是圆，那就是任意旋转角都对称，n边形自然有其旋转角360/n的整倍数的对称。如果从生成角度，那一定得是一个有理数角度的旋转m/n（最简分数），才能转n*360/gcd(m，360)次之后真的回到原状，满足封闭性。否则，转根号2度很容易证明，永远都回不来。（注意这里用的是360角度度量制，弧度制结论类似）最后我们给出n维空间对象的点中心对称公式，即180度旋转的特例
（其余对称角度暂略），会发现选准对称公式随着维度增加也是对称不变的，仍然在给定平面内进行：
对称中心：A
x’=2A–x
自然有3维空间对象的1维旋转轴z轴的旋转arpha角后的对称结果公式：
xi’=sqrt(xi^2+xj^2)cos(arctan(xi/xj)+arpha)
xj’=sqrt(xi^2+xj^2)sin(arctan(xi/xj)+arpha)
