天 然 气 工 业Natural Gas Industry 第41卷第6期2021年6月
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形状因子及复杂结构井拟稳态流动阶段
井底压力渐近解的计算方法
徐有杰1 刘启国1 李晓平1 杨思涵1 张楷2 谭晓华1
1.“油气藏地质及开发工程”国家重点实验室·西南石油大学
2.中国石油西南油气田公司勘探开发研究院
摘要：寻求一种实用、有效的油气藏形状位置因子（以下简称形状因子）计算方法，对于准确获取复杂结构井拟稳态流动阶段井底压力渐近解及产能指数具有重要的意义。为此，针对不同形状封闭边界油气藏中的直井，根据试井分析曲线——压力及压力导数曲线之间的关系，重新计算形状因子，并且与Dietz形状因子进行对比；在此基础上，推导出复杂结构井拟稳态流动阶段井底压力渐近解并进行验证，进而绘制了Blasingame递减曲线典型图版。研究结果表明：①通过计算不同形状封闭边界直井拟稳态流动阶段无因次井底压力及压力导数，求得两者的差值，则可以反求形状因子，并且采用该方法计算的形状因
子与Dietz形状因子结果非常接近，验证了该方法的准确性；②通过求取复杂结构井拟稳态流动阶段无因次井底压力及压力导数之差，可以求得复杂结构井拟稳态流动阶段井底压力渐近解系数（b Dpss），进而可以获得任意复杂结构井拟稳态流动阶段井底压力渐近解；③基于新方法计算的大斜度井拟表皮因子与Ozkan等的计算结果相对误差在1%以内，验证了新方法的准确性；④对于矩形封闭边界油气藏中的常规直井，拟稳态流动阶段Blasingame递减曲线的无因次产量曲线斜率为－1，并且长宽比越大，晚期线性流特征越明显；⑤对于矩形封闭边界油气藏中压裂直井，在外边界长度一定的情况下，若长宽比越大，单井控制面积则越小，b Dpss越大，晚期线性流特征越明显，Blasingame递减曲线在非稳态流动阶段所处的位置越高，而在单井控制面积相同的情况下，若无因次裂缝导流能力越大，b Dpss则越小，Blasingame递减曲线在非稳态流动阶段所处的位置越高。结论认为，采用该新方法可以快速、准确地获取任意复杂结构井拟稳态流
动阶段井底压力渐近解，为复杂结构井Blasingame递减曲线典型图版的绘制提供了便捷有效的方法。
关键词：油气藏形状位置因子；Dietz形状因子；拟稳态流动阶段；井底压力渐近解；拟表皮因子；压裂井；Blasingame递减曲线DOI: 10.3787/j.issn.1000-0976.2021.06.008
A new method for calculating shape factor and asymptotic solution of bottom hole
pressure of complex-structure wells during the pudo-steady flowing period XU Youjie1, LIU Qiguo1,
LI Xiaoping1, YANG Sihan1, ZHANG Kai2, TAN Xiaohua1
(1. State Key Laboratory of Oil & Gas Rervoir Geology and Exploitation, Southwest Petroleum University, Chengdu, Sichuan 610500, China;
2. Exploration and Development Rearch Institute, PetroChina Southwest Oil & Gasfield Company, Chengdu, Sichuan 610041, China) Natural Gas Industry, Vol.41, No.6, p.74-82, 6/25/2021. (ISSN 1000-0976; In Chine)
Abstract: A practical and effective shape factor calculation method for the shape and position factor of oil and gas rervoirs (referred to as shape factor) is of great significance to calculate the asymptotic solution of bottom hole pressure and the productivity index in the pudo-steady flow-ing period of complex-structure wells. For vertical wells in oil and gas rervoirs with different shapes of clod boundaries, the shape factor was recalculated on the basis of well test analysis curves (i.e. the relationship between pressure and pressure derivative curves), and then compared with the Dietz shape factor. Bad on this, the asymptotic solution of bottom hole pressure of complex-structure wells during the pudo-steady flowing period was deduced and verified, and the typical chart of Blasingame decline curves was plotted. And the following rearch results are obtained. Firs
t, the shape factor can be calculated reverly from the difference between dimensionless bottom hole pressure and its derivative of vertical wells during the pudo-steady flowing period for oil and gas rervoirs with different shapes of clod boundaries. And its calculation result is quite clo to the Dietz shape factor, which verifies the accuracy of this calculation method. Second, by calculating the difference be-tween dimensionless bottom hole pressure and its derivative of complex-structure wells during the pudo-steady flowing period, the asymptotic solution coefficient of bottom hole pressure (b Dpss) of complex-structure wells during the pudo-steady flowing period can be obtained and then the asymptotic solution of bottom hole pressure of complex-structure wells during the pudo-steady flowing period can be worked out. Third, the relative error between the pudo skin factor of highly deviated well calculated by the new method and the calculation result by Ozkan is less than 1%, which proves the accuracy of the new method. Fourth, for the conventional vertical wells in the oil and gas rervoirs with rectangle clod boundaries, the slope of the dimensionless production curve of Blasingame decline curve in the pudo-steady flowing period is -1, and the larger the aspect ratio, the more obvious the linear flow characteristics in the late stage. Fifth, for the fractured vertical wells in the oil and gas rervoirs with rectangle clod boundaries, the larger the aspect ratio, the smaller the single-well control area, the greater the b Dpss, the more obvious the linear flow characteristics in the late stage and the higher the position of the Blasingame decline curv
e in the pudo-steady flowing period when the outer boundary length is constant. When the single-well control area is the same, the greater the dimensionless fracture flow conductivity, the smaller the b Dpss and the higher the position of the Blasingame decline curve in the pudo-steady flowing period. In conclusion, the asymptotic solution of bottom hole pressure in the pudo steady flowing period of any complex-structure well can be obtained quickly and accurately by this new method, which provides an effective and convenient method for plotting the typical chart of Blasingame decline curve of complex-structure wells. Keywords:Shape and position factor of oil and gas rervoir; Dietz shape factor; Pudo-steady flowing period; Asymptotic solution of bottom hole pressure; Pudo skin factor; Fractured well; Blasingame decline curve
基金项目：国家科技重大专项“深层碳酸盐岩气藏高效开发技术”（编号：2016ZX05015-003）、“低渗—致密油藏高效提高采收率新技术”（编号：2017ZX05009-004），中国石油—西南石油大学创新联合体科技合作项目“深层/超深层碳酸盐岩气田勘探开发基础理论与关键技术研究”（编号：2020CX010402），西南石油大学研究生科研创新基金项目“考虑岩石属性变化致密油气藏多段压裂水平井复杂裂缝Blasingame产量递减研究”（编号：2020cxyb046）。
作者简介：徐有杰，1990年生，博士研究生；主要从事渗流力学及试井分析方面的研究工作。地址：（610500）四川省成都市新都区新都大道8号。ORCID: 0000-0001-6133-6948。E-mail:***************
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通信作者：刘启国，1969年生，教授，博士；主要从事渗流力学及试井分析方面的研究工作。地址：（610500）四川省成都市新都区新都大道8号。E-mail:*****************
第6期· 75 ·徐有杰等：形状因子及复杂结构井拟稳态流动阶段井底压力渐近解的计算方法
0 引言
油气藏形状位置因子（以下简称形状因子）是
影响油气井拟稳态流动阶段井底压力渐近解及产能
指数的重要参数，从而会对油气井生产动态预测结
果产生直接影响。1954年，Matthews等[1]基于压
力恢复试井解释方法，得到了矩形封闭油藏平均地
层压力随时间的变化曲线。基于该方法，Dietz[2]推
导出不同边界形状因子计算式，并且确定了拟稳态
流动开始的时间。上述两位学者在计算形状因子时，
都是假定油气井以定产量进行生产。Ozkan等[3]针
对常规直井、水平井和无限导流压裂直井，采用解
析解的方法，得到了圆形和矩形封闭形状因子计算
式。然而，上述学者仅仅给出了油气井定产量生产条件下形状因子的计算方法。1998年，Helmy等[4]推导出油气井定压生产条件下的形状因子计算方法，并与Dietz[2]计算的形状因子（以下简称Dietz形状因子）进行对比，发现在油气井定产量生产条件下的形状因子大于定压生产条件下的形状因子。2005年，Haryanto[5]采用数值模拟方法计算了有限导流压裂直井定压生产条件下的形状因子，并且分析了形状因子与导流能力的关系。
对于一些简单井型，采用解析解的方法求取拟稳态流动阶段井底压力渐近解较容易，但是对于一些复杂结构井（多段压裂水平井、多分支水平井等）[6]，则难度较大。因此，寻求一种实用、有效的形状因子计算方法，对于准确获取复杂结构井拟稳态流动阶段井底压力渐近解及产能指数具有重要意义。为此，笔者针对不同形状封闭边界油气藏中直井，根据试井分析曲线——压力及压力导数曲线之间的关系，重新计算形状因子，并且与Dietz形状因子进行对比；在此基础上，推导出复杂结构井拟稳态流动阶段井底压力渐近解，并且进行验证，进而绘制Blasingame递减曲线典型图版。
1 矩形封闭边界油气藏直井井底压力解
假设矩形封闭边界油气藏中有一口定产量生产的直井，该井所处位置如图1所示，图中L1、L2、L3、L4分别表示井距离矩形封闭油气藏上、左、下、右边界的距离，x e、y e分别表示矩形封闭边界油气藏长度与宽度；流体在储层中的流动满足达西渗流规律，流体温度保持恒定；忽略毛细管力和重力的影响。
基于点源函数法，Ozkan等[7]推导出无限大外边界油气藏在Laplace
空间任意位置的压力解，即
（1）其中
式中s表示Laplace变量
的无因次压力（拟压力），对于油藏，采用无因次压力，对于气藏，则采用无因次拟压力；K0表示零阶二类虚宗量贝塞尔函数；r D表示计算点与作用点的无因次距离。
根据镜像反映法，得到矩形封闭边界油气藏所
有镜像井的井底压力解，即
（2）其中
Laplace空间镜像井无因次井底压力；i 表示y e方向镜像井数，取值为1,2,…,∞；j表示x e方向镜像井数，取值为1,2,…,∞；L B1、L B2、L B3、L B4分图1 矩形封闭边界油气藏直井位置示意图
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别表示上、左、下、右边界镜像井与生产井的距离，
m ；L D1、L D2、L D3、L D4分别表示与图1中L 1、L 2、L 3、L 4对应的无因次长度，无量纲。
矩形封闭边界油气藏中直井井底压力解为式（1）、（2
）之和，即
（3）
Laplace 空间直井井底压力，无量纲。
通过Stehfest 数值反演，计算得到矩形封闭边界油气藏中直井在实空间的井底压力解，进而绘制井底压力与压力导数曲线。
2 形状因子计算及验证
对于圆形封闭边界油气藏，处于拟稳态流动阶
段的直井井底压力渐近解为[4]
：
（4）
式中p wD ；t DA 表示基于油气藏面积定义的无因次时间；
A 表示油气藏面积，cm 2；
γ表示欧拉常数；C A 表示形状因子，无量纲；
r w 表示井筒半径，cm 。根据试井分析曲线——压力及压力导数曲线可以进行流动阶段划分。而由式（4）看出，可以将等式右边第2项看作油气井拟稳态流动阶段p wD 和p'wD t DA 之差，因此，对式（4）关于ln t DA 求导，p wD 和p'wD t DA
之差即是拟稳态流动阶段井底压力渐近解系数，即
（5）
式中b Dpss 表示拟稳态流动阶段井底压力渐近解系数，该数值与井结构、边界大小及形状等因素有关。
可以看出，通过计算拟稳态流动阶段p wD 和p'wD t DA 之差，可以反求圆形封闭边界形状因子。若井位于矩形封闭边界油气藏中，可以采取同样的方法求得形状因子。
下面以圆形封闭边界油气藏为例，验证笔者提出的形状因子计算方法的准确性。假设一口直井处于油气藏中心位置，外边界半径为5 000 m ，井筒半径为0.1 m 。
如图2所示，图中蓝色线对应拟稳态流动阶段，该阶段直井p wD 和p'wD t DA 的差值为10.070，则b D
pss 为10.070。对于圆形封闭边界油藏，Dietz 形状因子为31.600。基于本文方法，计算形状因子（C A ）
，有
（6）
口直井，采用本文方法计算得到的形状因子与Dietz 形状因子的相对误差在1%以内。然后，针对不同形状封闭边界油气藏中直井，将采用本文方法计算的形状因子与Dietz 形状因子对比，结果非常接近（表1），进一步验证了本文方法的准确性，同时计算出拟稳态流动阶段开始的无因次时间（t Dpss ），其计算式为：
（7）
式中K 表示储层渗透率，D ；
t 表示生产时间，s ；表示储层孔隙度；
μ表示流体黏度，mPa ·s ；C t 表示综合压缩系数，10MPa －1。
图2 圆形封闭边界油气藏中心直井p wD —t DA 、p'wD t DA —t DA 和（p wD －p'wD t DA ）—t DA 曲线图
3 复杂结构井拟稳态流动阶段井底压
力渐近解及其验证
计算形状因子的主要目的是为了计算拟稳态流动阶段井底压力渐近解，那么，既然利用p wD 和
p'wD t DA 之差可以计算形状因子，那么就可以利用p wD 和p'wD t DA 之差计算拟稳态流动阶段井底压力渐近解。对于常规直井（含压裂直井）、水平井，可以通过公式简化，得到实空间井底压力渐近解，但是对于复杂结构井（如多段压裂水平井、多分支井等），则无
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表1 不同形状封闭边界条件下形状因子计算结果对比表
注：表中红色圆点表示井。
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法通过解析反演的方法直接得到拟稳态流动阶段井
底压力渐近解，从而无法对Blasingame递减分析方
法的物质平衡时间进行准确计算，进而无法准确计
算复杂结构井的单井控制储量。
基于前面直井拟稳态流动阶段井底压力渐近解
结构，对于复杂结构井，可以采用同样的方法计算
复杂结构井拟稳态流动阶段井底压力渐近解。因此，
通过求取复杂结构井拟稳态流动阶段p wD和p'wD t DA
之差，即求得复杂结构井的b Dpss，从而可以获得复
杂结构井拟稳态流动阶段井底压力渐近解，即
（8）
式中p wDps表示拟稳态流动阶段无因次井底压力。
下面分别对不同边界油气藏中复杂结构井井底
压力渐近解进行验证。
3.1 圆形封闭边界油气藏＋大斜度井
Cinco-Ley等[8]、Ozkan等[9]分别给出了均质油气藏中大斜度井在实空间和Laplace空间的井底压力计算式。姜瑞忠等[10]考虑储层渗透率应力敏感和启动压力梯度等因素，建立双重介质大斜度井试井数学模型并分析各参数对试井曲线的影响。任俊杰等[11]建立三重介质油气藏大斜度井试井数学模型并且给出了对应的井底压力响应曲线。借鉴前人的研究成果，笔者此次计算得到均质、圆形封闭边界油气藏中大斜度井井底压力及其导数，求得两者之差，然后，通过拟稳态流动阶段无因次井底压力与压力导数差来验证本文方法的准确性，其中无因次变量的定义见本文参考文献[9]，此处不再赘述。
图3分别绘制出圆形封闭边界油气藏大斜度井（p wD－p'wD t DA）—t DA和（p wD－p wD ps）—t DA曲线，图中h D表示无因次储层厚度。可以看出，在压力波未到达封闭边界之前，（p wD－p'wD t D）随t DA 增大而增大，当压力波到达封闭边界以后，（p wD－p'wD t D）为一定值，该数值即对应式（8）中b Dpss的数值。求得b Dpss，即得到了大斜度井拟稳态流动阶段井底压力渐近解。绘制（p
wD－p wD ps）—t DA曲线，如图3所示，在压力波未到达封闭边界之前，（p wD－p wD ps）随t DA增大而减小，当压力波到达封闭边界以后，（p wD－p wD ps）为0，从而证实利用本文方法计算的拟稳态流动阶段井底压力渐近解（p wDps）是正确的。
另外，基于本文方法还可以计算大斜度井拟表皮因子。关于大斜度井拟表皮因子的计算，参见本文参考文献[12-14]。根据Rogers等[15]的研究，大斜度井拟稳态流动阶段井底压力解与完全射开的直井拟稳态流动阶段井底压力解的差即为大斜度井拟表皮因子。基于本文方法，分别计算井斜角为50°、60°、75°，h D为100、200、500、1000、2000、5000条件下大斜度井拟表皮因子（图4红点），然后将计算结果与Ozkan等[9]计算的大斜度井拟表皮因子（图4实线）相比，相对误差在1%以内，验证了本文方法的准确性。
图3 圆形封闭边界油气藏大斜度井（p wD－p wD ps）—t DA和
（p wD－p'wD t DA）—t DA 曲线图
图4 不同h D 条件下大斜度井拟表皮因子与井斜角关系曲线图3.2 圆形封闭边界油气藏＋有限导流压裂直井
Pratikno等[16]推导出圆形封闭边界油气藏中有限导流压裂直井拟稳态流动阶段井底压力渐近解，有限导流压裂直井的b Dpss计算式为
：
（9）
其中u=ln C fD
a1=0.93626800
a2=－1.00489000
a3=0.31973300
a4=－0.04235320
