层片结构共晶体的残余应力场
马英忱，倪新华，刘协权(军械工程学院，石家庄050003)
摘要：层片结构共晶体由同向平行的片状夹杂和基体构成，片状夹杂和基体之间为强约束化学结合界面。首先建立四相 模型，根据制备过程的温度变化，基于Esheby 里论得到基体内的残余应力和残余应变；然后在三相胞元应变均匀条件下， 通过有效自洽理论得到片状夹杂和界面相的残余应力场；最后在基体、界面相和片状夹杂为各向同性的条件下，得到层片 结构共晶体的残余应力分布规律，并分析其尺度效应。
关键词：层片结构共晶体；四相模型；Esheby 里论；有效自洽理论；残余应力场；尺度效应中图分类号：0 36
文献标志码:A
文章编号：1002-2333(2017)01-0039-04
Residual Stress Field of Schisto Structure Eutectic
MA Yingchen , NI Xinhua , LIU Xiequan
(Ordnance Engineering College , Shijiazhuang 050003, China )
Abstract : Schisto structure eutectics are compod of parallel lamellar inclusions distributed in the matrix. There are
strong restrain chemical interpha between lamellar inclusions and the matrix. The four-pha model is t up. According to the temperature change in preparation process, residual stress and residual strain in the matrix are obtained by Eshebly theory. The same strain in the three pha cell is applyed, the residual stress field in the lamellar inclusions and interphas are gotten by the effective lf-consistent theroy. The isotropy condition of matrix, interpha and lamellar inclusion is accounted for getting the residual stress distribution of schisto structure eutectic. The size dependence of residual stress is analyzed.
Keywords : schisto structure eutectic; four-pha model; Eshebly theory; effective lf-consistent theroy; residual stress
field; size dependence
0引言
近年来，含特殊界面复合材料得到了迅速发展，特别
是以纤维结构共晶体或层片结构共晶体为基的复合陶瓷 引起了材料学家和力学工作者的广泛关注。材料学家通 过共晶自生方法[1-5]，即在凝固过程中基体与第二相从熔 体中同时共生复合，消除了基体与第二相之间的人为界 面，使组成的复合共晶体具有热力学稳定性高、相分布均 匀规则（第二相以平行纤维或平行层片的形式均匀分布 在基体内）、界面结合牢固(化学结合界面)的特点。力学 工作者基于细观力学理论建立了微观组织与力学性能之 间的关系，分析了以纤维结构共晶体为基的复相陶瓷刚 度的尺度效应[6]；研究了纤维结构共晶体的细观应力场和 两相界面处位错塞积产生的应力集中，建立了以纤维结 构共晶体为基陶瓷复合材料的强度预报模型[7；分析了纤 维结构共晶体细观边界局部脱黏效应对复合陶瓷强度的 影响研究了纤维结构共晶体内微观界面损伤对复合陶
瓷强度的作用[9]；考虑纤维结构共晶体内部微观界面损伤 和纤维结构共晶体周围二相粒子的相变增韧效应，对以 纤维结构共晶体为基陶瓷复合材料的断裂韧性进行了预 报1]。但是，关于以层片结构共晶体为基的复合陶瓷的力 学性能研究还未见报道。实验表明，在裂纹扩展过程中， 由于层片结构共晶体的边界为弱界面，伴随着裂纹尖端 前移将引起张开位移增加，而层片结构共晶体内存在较 大的残余压应力，发生了带有摩擦性质的界面滑移，使裂 纹沿层片结构共晶体的晶界扩展。本文根据层片结构共 晶体的显微结构特性，通过四相模型法研究了层片结构 共晶体内的残余应力场及其尺度效应，为建立以层片结 构共晶体为基复合陶瓷的界面滑移模型奠定基础。1
层片结构共晶体内的残余应力场模型
层片结构共晶体由同向平行的片状夹杂和基体构 成，片状夹杂和基体之间为强约束化学结合界面，为表示 其界面性质，将其看作共晶界面相，残余应力场研究基于
器的工程设计[J ].声学技术，2006,25(2):160-164.
[14] 黄振伟，傅波，穆飞，等.夹心式压电起声换能器串并联传输矩
阵设计法[J ].应用声学，2008, 27(5):395-400.
[15]
张云电.夹心式压电换能器及其应用[M ].北京：科学出版社，
2006.
(编辑阳光）
作者简介：邓奸奸（1987—)，女，硕士研究生，助教，从事机电一体化
的教学和研究；
傅波（1969—)，男，博士，副教授，主要研究方向为机电液
一体化。
收稿日期：2016-07-30
四相模型：将含共晶界面相的片状夹杂嵌人到一个有限 基体材料区域，片状夹杂、共晶界面相和基体材料区域构 成三相胞元，然后将三相胞元放人有效介质，如图1所示，三相胞元的形状与片状夹杂相同，三相胞元内各相的含 量与层片结构共晶体内各相的含量相同；有效介质与层 片结构共晶体具有相同的弹性常数和热膨胀系数（可由 文献[11]和[12]的方法确定)。
基体、共晶界面相、片状夹杂和有效介质的刚度张量分别用C。，和C表示，基体、共晶界面相、片状夹杂和 有效介质的热膨胀系数张量分别用琢。，琢p，琢1和琢表示。当复合材料的温度变化AT时，由于层片结构共晶体内各相 的热膨胀系数不同而产生不同的热应力值。如果三相 胞元内的材料全部为基体，根据Eshebly理论可得到基体 内的残余应力和残余应变：
滓D-^赘d(，原^赘着T，着D=S。滓D。（i)其中，三相胞元的等效刚度张量^=C。(I-M)，M为三相胞 元的Eshebly张量；H为层片结构共晶体相对基体的柔度 增量，可由文献[11]中的公式计算出来;S o D c。)'为层片 结构共晶体内基体的柔度张量；琢-琢。)AT，其中层片结 构共晶体的热膨胀系数张量琢由文献[12 ]中的公式确定。
式（1)表示的基体内应力和应变是在三相胞元全部 由基体构成的假设条件下得到的，实际上在三相胞元内 还存在片状夹杂及界面相，为保证在整个三相胞元区域 具有均匀应变，需要在基体和界面相边缘施加面力滓'《，在界面相和片状夹杂边缘施加面力滓"n，其中滓'和滓义分别为界面相和片状夹杂内附加的应力，可表示为：
滓忆（厂^；滓W^d。⑵在基体和界面相间还存在热失配应变:e p T=(a p-a。) AT，根据有效自洽理论可知界面相的残余应力张量为
滓p=-赘(/+赘pH p)-1着p T+(/+赘pH p)原*1滓d。(3)其中，，2p=Cp(I-M)，Hp=Sp-S。，Sp= (Cp)原1为界面相的柔度 张量。
在界面相和片状夹杂之间也存在热失配应变：…=(琢1-琢。)AT。同理可得片状夹杂的残余应力张量为
滓i=-赘1(1+赘好1)-1着…+(/+赘《1)-1滓。。（4)其中，，2i=Ci (1-M)，Hi=S「S。，乂= (Ci)-1为片状夹杂的柔度张量。
式（1)、式(3)、式(4)构成了层片结构共晶体残余应 力场的计算模型。遥
2残余应力的尺度效应
若基体、界面相和片状夹杂都为各向同性，则对应的 弹性常数可表示如下：
Cijk l=姿。啄i j1啄k l+滋。啄i k啄]l+滋。啄i l啄jk>
Cijk l=姿p啄i j*啄k l+滋p啄i k啄jl+滋p啄i l啄jk>(5 )
1
Cijk l=姿l啄i j啄k l+滋l啄i k啄jl+滋l啄i l啄jk。
其中，A。、、。、Ap、、p和Al、、l分别为基体、界面相和片状夹杂 的拉梅常数。令基体、界面相和片状夹杂的线膨胀系数分 别为琢。，和〜则对应的热膨胀系数张量为：
。。。T
琢。=(琢，琢，琢，。，。，。)；
/p p p T
缮Q：p=(琢，琢，琢，。，。，。）；(6)
l l l T
Q；l=(琢，琢，琢，。，。，。）遥
设坐标轴1沿片状夹杂的对称轴（图1)，将式(5)和 式(6)代人式（1)，可得基体内沿片状夹杂轴向和横向的 残余应力为：
滓n=Lfp(琢-琢)Tu+fD琢-琢)JTU]AT；(7)
滓22=[p(琢P-琢）J^2+/l(琢-琢）JT22]驻T。（8)式中：/?^1=JTxnR n+2JTx12R22,J t22=JT x21R h+(JT x22+JT x23) R22,J T11= J Tx11R11+2JTx12R22,JT22=JTx21R11+ ( JTx22+JTx23)
R22JTX11二C11G11+2C12G21，JTx12=CuG12+C12(G22+G23)，JTx21= e ff e ff e ff e ff e f f e ff e f f
C21G11+ (C22+C23)G21，JT x22=C21G12+C22G22+C23G23,J TX23=C21
e f
f e f f
1223222223a
这里，c:C ff、C2f、C2f、C2f、g…、g12、g21、g22及g23为与界面相和片状夹杂的弹性常数、体积分量和形状有关的 参数，公式如下：
R,
Z22+Zp3-2Z12
,R2
z p1-z21
f u{222+^23)-2^12^!1 Z1( ^22+^23)-2^12^!1
，R11= Z22+Z23-2Z12R1 = Z11_Z21=1+A
Z11Z22+Z23)-2Z12Z21Z11(Z22+Z23)-2Z12Z21
11，2^^A12+-X12，^^2121+ -X21，^Z22^1+'A-22++X22，^Z23^~^A23++X23 111111111
^^11= 1+^^11+.^^11，^^12=-512+-^^12，^^21=-^21+-^^21，^Z22=1+-B22+X"22，523+尤23，4
K^-K,ef e ff滋。—滋，ef e ff K^-K
(C11+2C12)^^^(C11-C12)，A12^^-^
9从11⑵3滋。滋p11⑴129从
,ef e ff滋。一滋,e ff e ff Kq-K
(Cu+2C12)^^p(C12-C u)，A21^^-^
16滋。滋。12219K^p
e f
f e ff e f f
C21+C22+ C23)+
200
400 600 800 1000
片状夹杂厚度h/nm
图2
基体内残余应力与片状夹杂厚度之间的关系
滋0原滋P h Ce ir Ce ir A K 0_K P ,Ceff .Ceff .Ce '.滋0原滋p
、2〇21 22 23)，22= ^ 21+ 22+ 23) +6滋0滋p 9K 0KP 6滋0滋p , e ff e f f e ff Kq—K , e ff e f f e ff 滋 0—滋， e ff e f f (2C 22-C 2i -C 23)，4 23-7^(^21+€22+€23)^°^(2€23-€21原
9K 0Kp 6滋 0滋 p e f f K0-K e ff e ff 滋 0~滋 e ff e ff K —K e f f
C 22)，B … = ^^(C 11+2C 12) + ^(C 11-C 12)，B 12=^^(C 11 + 2 11 9K 0Kl 11 1y 3滋0滋 11 1^ 12 9K 0Kl 11f 滋0-滋i (r e ff Ce f f ) K 0-K (r eff .r eff .r e t t ).滋0-滋L(2Ce f f 2>12)+ (12 11)， 21= (21+ 22+ 23)+ (2°21
6滋0滋1 9W 6滋0滋1e ff e ff K0-K e ff e ff e ff 滋0~滋 ef e ff e f f -C 22-C 23)，B 22= (C21 + C 22+C 23)^：--- (2C 22-C 21-C 23)，
9K 0K 1 6滋滋K -K e ff e ff e ff 滋0一滋
e f
f e ff e ff e f f f
B 23=^K k L(
C 21 + C 22+C 23)+^(2C 23-C 2「C 22)，C 11=K 0(1-
9K 0K 1 6滋 0滋1
M 4
-M ,1111-2M2211)+了滋 0( 1-M1111+M2211)，C12=K0( 1-M 2222—irj 1122
_2 e f f
M 2233)+ 滋 0 ^ M 2233+M 2222-2M 1122-1)，C 21=K 0 ^ 1 -M 1111 -2M 2211).了滋0 ( M 1111-M 2211-1)，C 22=K 0 ( 1-M 2222-M 1122-M 2233)+ "3滋0 ( 2e f f 2(1-M 2222).M 1122.M 2233)，C 23=K 0(1—M 2222—M 1122—M 2233).~3滋(M 1122+M 2222-2M 2233- 1)，X 11 = W 11G 11+2W 12G 21，X 12=W 11G 12+ <2 (G22+G 23)，«^11 + (『22+『23)^21«^12+<2+ G 22 + W 23G 23，X 23=W 21G 12+W 23G 22+W 22G 23, X 11 = W 11G 11+2W 12 G 21，X 12=W 11G 12+W 12(G 22+G 23)，X 21 = W 21G 11+( W 22+W 23)G 21， ^22=W 21G12+W 22G 22+W 23G 23, ^23=W 21G 12+W 23G 22+W 22^23，Gn =
1-Cs22_C S 23
(1-Cs n )( 1-Cs 22_Cs 23)-2Cs 12CS 2Cs 1，
G "=-G 21：
G 22=
G 2：
(1-Cs u )( 1-Cs 22_Cs 23)-2Cs 12CS 21 Cs21(1-CSn )( 1-Cs 22-Cs 23)-2Cs 12C S21
(1-Cs 】1) 1-Cs22)_CS12CS21
(1-C S22+C S23) ( 1-Csn )( 1-Cs 22-Cs 23)-2Cs 12C S21 ]
(1-Cs n )Cs 23+Cs 12C S21
(1-CS22+CS23) ( 1-Csn )( 1-Cs 22-Cs 23)-2Cs 12Cs 21 ]e f f e f f e f f e f f Cs 11=C 11H 1111+2C 12H 2211，Cs 12=C 11H 1122+C 12(H 2222+H 2233)，Cs 21 = e f f e f f e f f e f f e f f e f f C 21H 1111+ ( C 22+C 23)H 2211，Cs 22=C 21H 1122+C 22H 2222+C 23H 2233，Cs 23=
e f f e ff e ff p
, 1 1C 21H 1122+C 23H 2222+C 22H 2233, 21)，W 12=/(1+411)T 12+412(T 22+T 23))，W 21=/1(421T 11 + ( 1+422+423) T 21)，W 22=/p +/l (4 21T 12+( 1+4 22)T 22+4 23 T 23)，W 23=/l (4 21T 12+( 1 + 422)^+423^2)，W;1=/1+/p ((1+B11)T：1+2B12Tp 1)，W 12=/p (( 1+B …) ^12+-^12( ^22+^23)), W 21=/l(B21T11 + ( 1+B 22+B 23)T 21)，W 22=/1+/P (B 21
T 12+( 1+B 22)T 22+B 23T 23)，W 23=/p (B21 ^12+( 1+B 22)T 23+B 23T 22)，
T ：1=-尺2:
1+4 22+4 23
(1+4 11) ( 1+4 22+4 23)-24 124 21 -4 12
(1+4 11) 1+4 22+4 23)-24 124 21
-4 21(1+4 11) 1+4 22+4 23)-24 124 21 (1+4 n ) (1+4 22)-4124 21
TL =
(1+4 22-4 23) ( ( 1+4 11) 1+4 22+4 23)-24 124 21 ]-(1+4 11)4 23+4 124 21
(1+4 22-4 23) ( ( 1+4 11) 1+4 22+4 23)-24 124 21 ]
l 1+召22+召23
(1+B n^ 1+^22+^23)-2^12^21l
T 12=-B 12
(1+B n^ 1+^22+^23)-2^12^21l T 21 =
-B 21(1+B n^ 1+^22+^23)-2^12^21(1+Bn )( 1+^2)-B12B21
"(1+^22-B23) [(1+B n) 1+^22+^23)-2^12^21 ]
-(1+B 11)B 23+B 12B 21
(1+B 22-召
23)[ ( 1+Bn )( 1+召22+523)-2召12召21 ]T 22：
l
T
其中:K 。和滋0、Kp 和滋p 、&和滋1分别为基体、界面相、片状夹 杂的体积弹性模量和剪切弹性模量，/p 和^分别为界面相 和片状夹杂的体积分量。对于片状夹杂，轴向尺寸远小于
横向尺寸，其中Eshebly 张量中的各分量为：Mnn = 1，M 2222=M 3333=0，M 2233=M 3322=0，M 2211=M 3311=0，M 1122=M 1133=自0 (1—自0)，M 2323=0, M 1212=M 1313= 1/2。
对于Al 2〇3-Zr 〇2层片结构共晶体，各相弹性常数与 热膨胀系数为：0=0.233, &=402 GPa ，a 0=8.3，，p =0.233, Ep =3216GPa，c ^p =0.08，，i =0.31，Ei =233 GPa ,(^i =10.6，/p = 24/；/h ，/
i =0.4，界面相厚度驻=1 nm ，制备过程的温差 驻T =-2816。基体内的残余应力随Zr 〇2片状夹杂厚度的变 化曲线如图2所示。可以看出，基体内残余应力为压应力， 最大残余压应力沿片状夹杂的横向，压应力数值随片状
一 1向残余应力滓01
一 2向残余应力滓22
200
400 600 800 1〇〇〇
片状夹杂厚度h/nm
片状夹杂内残余应力与片状夹杂厚度的关系
夹杂厚度的增大而增大，且片状夹杂越厚，压应力数值变 化越平缓，片状夹杂越薄，压应力数值变化越急剧。这是 因为共晶界面的强约束作用，当温度发生大幅度下降时， 共晶界面的变形量较小，而片状夹杂厚度增大时，共晶界 面的间距变小，所以基体内残余压应力随片状夹杂厚度 的增大而增大。
将式(5)〜式(8)代人式(4)，可得片状夹杂内的残余 应力分量：
滓!,=(T 11JZ 11+2T ；2JZ 22)AT ； (9)滓22=[ T 21 J Zll +( T 22+T 23)JZ 22]AT 。
（ ！0)
p 0 d l 0 l l 0 p 0
其中：双11=/；(琢原琢)jT !l +/l (琢原琢)JT !「(琢原琢)J 11 ;；Z 22=/p (琢原琢)p l 0 l l 0 e f f e ff e ff e ff e f f jT22+/琢原琢)JT22-(琢原琢)J22;;1「C11+2C12, J 22=C 21+C 22+C 23。
对于Al 2〇3-Zr 〇2层片结构共晶体，材料中界面相体积 含量为/p =2/d /h ，取驻「1 nm ，片状夹杂体积含量/「0.4，则 片状夹杂的残余应力随片状夹杂厚度的变化曲线如图3 所示。图中表明片状夹杂内残余应力均为拉应力，拉应力 数值随片状夹杂厚度的增大而减小，片状夹杂厚度较小 时，应力数值变化急剧，随厚度增大，变化趋势越来越平 缓，当h >500 nm 后，残余压应力数值基本不变。
对残余应力值进行综合分析可以得出以下结论：基 体内残余应力均为压应力，最大残余压应力平行片状夹 杂的直径方向，基体残余压应力数值随片状夹杂厚度的 增大而增大；片状夹杂内残余应力为拉应力，最大残余拉 应力沿片状夹杂厚度方向，残余拉应力数值随片状夹杂 厚度的增大而减小。从残余应力数值上看，片状夹杂内的 残余拉应力数值较大，基体内的残余压应力数值较小。3
结论1)
基于Eshebly 理论和有效自洽理论，应用四相模型
法建立了层片结构共晶体残余应力场的细观力学模型， 并应用此模型得到了以含片状夹杂共晶复合陶瓷残余应 力场的解析表达式。层片结构共晶体的残余应力场与各 组分的弹性常数及热膨胀系数、夹杂的形状以及体积含 量有关。
2) 分析了 Al 2〇3-Zr 〇2层片结构共晶体的残余应力的
分布规律，并发现其具有尺度效应：基体内最大残余压应 力平行片状夹杂的厚度方向，其数值随片状夹杂厚度的 增大而增大；片状夹杂内最大残余拉应力平行片状夹杂 横向，其数值随片状夹杂厚度的增大而减小。
[参考文献]
[1] SAYIR A , BERGER M H , BAUDIN C . Microstructural and
mechanical properties of Directionally Solidified Ceramic in Al 2O 3 -Al 2TiO 5 system [J ]. Ceramic Engineering & Science Proceedings ,2005, 26(2): 225-233.
[2] ECHIGOYA J . Structure of interface in directionally solidified
oxide eutectic systems [j ]. Journal ofthe European Ceramic Society ,2005, 25(8)： 1381-1387.
[3] PASTOR J Y , LORCA J L , POZA P . Mechanical properties of
melt -grown Al 2O 3 -ZrO 2 (Y 2O 3) eutectics with different microstructure [J ]. Journal of the European Ceramic Society , 2005,25(8)： 1215-1223.
[4] ZHAO Z M , ZHANG L , BAI H B . Fabrication of Nano-micron
Al 2O 3-ZrO 2 Ceramic Eutectic Composite from the Melts by the SHS Metallurgical Process [J ]. Key Engineering Materials , 2005, 280-283： 1053-1056.
[5] ZHAO Zhongmin , ZHANG Long , SONG Yigang , et al . Al 2O 3/
ZrO 2 (Y 2O 3) lf-growing composite prepared by combustion synthesis under high grevity [J ]. Scripta Materialia , 2008,58: 207-210.
[6] ZHENG J , NI X H , YAO Z J . Stiffness Prediction of Nano
Fibers Composite Ceramics [ J ]. Solid State Phenomena , 2007, 121-123:1171-1174.
[7] 倪新华，郑坚，刘协权，等.共晶基陶瓷复合材料的强度模型[J ].
固体力学学报,2009,30(2):116-121.
[ 8] NI Xinhua , LI Baofeng , ZHENG Jian , et al . Micromechanical
Strength of Composite Ceramic with Partially Debonding Interpha [J ]. Advanced Science Letters , 2011, 4(4/5): 16831686.
[9] 陈诚，倪新华，刘协权，等.含损伤共晶体复合陶瓷的损伤强度模
型与应用[J ].机械工程学报，2014,50(2):98-103.
[10] NI Xinhua , CHEN Cheng , ZHANG Shuqin.Fracture Toughness
Prediction of Eutectic Ceramic Composite Considering Damage Effect and Transformation Toughening [J]Journal of Vibroengineering ,2014,16(3):1510-1522.
[11]
赵磊，刘协权，钟国辉，等.含片状夹杂共晶复合陶瓷的有效
弹性性能及其尺度效应[J ]煤矿机械，2011，32(5):59-60.
[12]
倪新华，韩保红，程兆刚，等.含强约束界面片状夹杂复合陶瓷
有效热膨胀系数[J ].固体力学学报，2011,32(增刊1):20-24.
[13] ZHENG Q S , DU D X.An explicit and universally applicable
estimate for the effective properties of multipha composites which accounts for inclusion distribution [ J ].J . Mech . Phys . Solids , 2001, 49(11): 2765-2788.
(编辑黄荻)
作者简介：马英忱（1961—)，男，副教授，从事力学教学工作。 收稿日期：2016-07-26
.0.0.0.0
5.
4.
3.
2
.
M 0/§^
锻
-E
拄
_
图
