接触率依赖于总人数的传染病动力学模型

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２００７年３月

渭南师范学院学报

Ｍａｒｃｈ ２ｏｏ７

第２２卷第２期

Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｗｅｉｎａｎ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｖｏ１．２２ Ｎｏ．２

接触率依赖于总人数的传染病动力学模型

杨秀香

（渭南师范学院数学系，陕西渭南有关雪的谚语 ７１４０００）

摘要：讨论一类具有常数恢复率、接触率依赖于总人数的ＳＩＳ传染病动力学模型．分析了系统各类平衡点存在的阈

值，利用构造Ｌｉａｐｏｎｏｖ函数一Ｌａｓａｌｌｅ原理得到了平衡点渐近稳定的充分条件．

关键词：传染病模型；阈值；平衡点；全局渐近稳定性

中图分类号：０１７５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００９－－５１２８（２００７）Ｏ２—０ｏ１７—０３

收稿日期：２００６－－－０５—１Ｏ

基金项目：陕西省教育厅自然科学基金项目（０６ＪＫ３０１）’

作者简介：杨秀香（１９６６一），女，陕西富艳开头的成语 平人，渭南师范学院数学系副教授，主要从事生态数学的研究．

利用数学模型分析和研究传染病的传播已是数学应用的一个重要领域．在传染病模型里，一般的把人

口Ｎ分为：易感类（ｓ），染病类（Ｉ）和恢复者类（英语日记80字 Ｒ）．文［１—２］研究了人口不变的条件下且具有线性（双线

性）传染率的ＳＩ、ＳＩＲ模型，文［３］研究了具有非线性接触率的ＳＩＲ模型疾病消除平衡点和地方病平衡赚钱的工作 点的

稳定性．本文对一类接触率依赖于总人数的ＳＩＳ传染病动力学模型进行研究．

１ 模型建立

假设在时刻ｔ将人群分为两个种群：易感类和染病类的数量分别为ｓ（１），，（￡）．它们分别为时间的连

续可微函数，于是在时刻ｔ总人口数为：

Ｊ７ｖ（￡）＝Ｓ（￡）＋，（￡）．

我们对参数作以下说明：Ａ：单位时间内补充到总人群中的人数；ｄ：每一类的个体中的自然死亡率；

ｒ：染病类的恢复率；ｏｒ：染病类的病死率；ｃ（Ｊ７ｖ）：单位时间内每个染病者平均作ｃ（Ｊ７ｖ）次能引起传染的接

触，则其传染力依赖于总人群的有效接触率ｃ（Ｊ７ｖ）及易感类在人群中的比例Ｓ／Ｎ，易感类受传染的传染率

为，，这样传染率为ｃ（Ｊ７ｖ）ＳＩ／Ｎ．目前考虑依赖于总人数的接触函数ｃ（Ｊ７ｖ）在传染病模型的研究中特别重

要，且假设ｃ（Ｊ７ｖ）满足下列条件：ｃ（Ｊ７ｖ）＞０，（ｃ（Ｊ７ｖ））， ０，（ ）， ０，

Ｉｓｌ＝Ａ—Ｃ（Ｎ ｓｌ Ｎ—ｄｓ ｌ （１、．．

ｔｌ ：天麻怎么吃 Ｃ（Ｊ７ｖ）ＳＩ／Ｎ一（ ＋ｄ＋ ），

由Ｎ＝Ｓ＋，，贝ⅡＮ ＝Ｓ ＋Ｒ ＝Ａ—ｄＪ７ｖ一

将Ｓ＝Ｎ—Ｉ代入（１）的第二个方程，则上述方程组可简化为 ｊｊ

ｔ Ｎｔ＝Ａ（Ⅳ Ｊ＝ｖ一？ －（ ” ， 吴亦凡壁纸 ； 甜 ；（ 一

—

ｄＮ一 。 、

２ 模型分析

定理１ 对于系统（１）的所有正初值问题解始终为正且最终有界． ． 、 ， 、

证明 假设有某一时刻ｓ（ｔ０）＝０，由系统第一式得ｓ（ｔ０）＝Ａ＞０，矛盾，所以，对所有ｔ＞０有ｓ（ｆ）

是正的．因为边界，＝０是不变的，由解的唯一性得：对任意 ０－；｛恒有ｚ（毒） ， ｏ，因此系翻 １）的所有正

初值问题解始终为正・

，

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由Ｎ＝Ｓ＋，，则Ｎ ＝Ｓ ＋， ＝Ａ—ｄＮ—ａＩ Ａ—ｄＮ，因此Ｊ７ｖ（￡） 号＋（Ⅳ０一号）ｅ一 号，Ⅳ０

：

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