最速降线及其等时性

45

物理与工程

Vol.红豆杉的功效与作用 29

No.

6

2019

最速降

线及

其等时性

郑琦

(浙江省萧山中学

，

浙江杭州

311201

)

摘要本文通过类比光的折射定律求解最速降线的摆线轨迹方程

，

并用纯数学的方可爱漫画 式证明了

摆线的等时性

％

关键词最

线

；等时性

摆线

；

微分方程

；

THE

BRACHISTOCHRONE

AND

ITS

ISOCHRONOUS

ZHENG

Qi

(Xiaoshan

SchoolZhejiangZhejiang311201)

High

Hangzhou

of

Province

,

Abstract

Inequation

this

paper

,

the

cycloid

trajectory

ofdescent

the

steepest

line

is

solved

by

analogous light

refractiontheprov输入验证码 edby

law,andis

the

isochronism

of

cycloid

pure

mat莲藕排骨汤做法 hemat-

4cs.

Key

words

brachistochrone

；；

cycl代表颜色的词语 oid

curve

differential

equation

；

isochronous

摆线在物理和数学中的应用非常广泛

，

文

［［

1

+

文

2

］

中给岀了摆线的

［

3

］

则对这些性摆线问题

了相同的结论

：

最速降线就是摆线(也叫圆滚线

、

的性质

，

文

旋轮线

)

惠更斯

(Huggens

)

则从等时性上研究

，

发现等时降落的解

岀了物理上的解释

，

线

％

Johann

和

Jakob

的

最早来自于伽利略

(Galilei)

在

1630

年提出的最速

解法略有不同

，

Johann

利用费马原理来快速求解

，

Jakob

的解法较为复杂但更具一般性

，

兄弟两人为

降线问题

％

如图

1

所示

，，

小球从

A

点静止释放

沿光滑轨

道

AB

滑下到达

B

点

，

要求用时

0

最短

，

试确定轨

道

AB

的方程

％

此争执了许多年

，

后来

Johann

的护理学论文 学生

Leonhard

Euler

吸收了背后的思想和精华

，

创立了泛函分析

中极

要的变分法

。

本文尝试从一般的折射定律出发给出轨迹方

程

，

然后，

程的物理意义

最后通过轨

程的数学处理来证明等时性

％

1

轨迹方程的

求

解

图

1

如图

2

所示

，

当小球下降

y

时的速度为

1696

年约翰

•

伯努利

(Johann

Bernouli

)

就此

/

()

=

V

2

gy

将小球的运动类比

的

⑴

问题向全

(

提岀挑战

。、

牛顿

Newton

)

莱布尼

折射现象

。

将竖直

兹

(

Leibniz

)

、

雅

克比

•

伯努利

(Jakob

Bernouli

)

、

平面分割成无数个水平的小区域

，

每个区

的

折射率'

"

相同

。

在

,

处的折射

洛必达

(L'Hopital)

等人他们得岀

岀了答案

，

收稿日期修回日期

：；：

2019-03-22

2019-05-14

作者简介

：

郑琦、

，

女主要从事高中物理教学物理竞赛qq.

，

中学教师研究方向为高考改革

，、18267312com

，

自主招生等

，

@

.

引文格式

：

郑琦•最速降线及其等时性

*

+

物理与工程

，

2019,29(6

)

4546,51.