中世纪的中国数学及其数学家

中世纪的中国数学及其数学家

约公元前6、7世纪

陈子（公元前6-7世纪）对太阳的高和远进行了测量，这就是人们所乐于称

道的“陈子测日”。

但是，由陈子受当时科学水平的限制，误把椭球形的地球当作平面。所以，

求出的日高与实际距离相差很远。然而，他的测日法所反映的数学及测量水平却

是在世界上遥遥领先的，而且他的测量方法（后来叫做重差术）至今仍被使用着。

所以，人们称陈子为测量学之祖，毫不为过。

据《周髀算经》记载，有一次荣方和陈子问答，陈子说：“若求邪至日者，

以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并开方而除之，得邪至日者。”（古汉语“邪”

也作“斜”解）就是说，将勾、股各平方后相加，再开方，就得到弦长（图2）。

陈子的这段话，不仅解决了日远的计算问题，而且还最早表述了勾股定理。这充

分证明，我国至迟在陈子所处年代，已经发现并运用了勾股定理。

三国时期——公元3世纪

赵爽，又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代吴国人。他是我国

历史上著名的数学家与天文学家。生平不详，约生活于公元3世纪初。

用面积的出入相补证明勾股定理，其基本思想是图形经过割补后，面积不变。

刘徽在注释《九章算术》时更明确地概括为出入相补原理，这是后世演段术的基

础。赵爽在注文中证明了勾股形三边及其和、差关系的24个命题。他还研究了

二次方程问题，得出与韦达定理类似的结果，并得到二次方程求根公式之一。此

外，使用“齐同术”，在乘除时应用了这一方法，还在„旧高图论”中给出重差术的

证明。

赵爽的数学思想和方法对中国古代数学体系的形成和发展有一定影响。

魏晋南北朝——公元220年到581年

刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他

的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产刘徽思想敏捷，

方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来

论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生守望先锋辅助 ．他虽然地位低下，但

人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留

下了宝贵的财富。

刘徽的数学成就大致为两方面：

一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九

章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系。

二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表

性的创见：①割圆术与圆周率。②他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出

了关于多面体体积计算的刘徽原理。③“牟合方盖”说 ④方程新术 在《九章算

术?方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。

⑤重差术 在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和

累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，

发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次

测望的问题。

刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学吏

上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中

国数学史上的牛顿”。

南北朝——公元420年到589年

祖冲之和祖恒

祖冲之（ 公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北

朝时期人，汉族人，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。祖籍

范阳郡遒县（今河北涞水县）。为避战乱，祖冲之的祖父祖昌由河北迁至江南。

祖昌曾任刘宋的“大匠卿”，掌管土木工程；祖冲之的父亲也在朝中做官。祖冲之

从小接受家传的科学知识。青年时进入华林学省，从事学术活动。一生先后任过

南徐州（今镇江市）从事史、公府参军、娄县（今昆山市东北）中卷发发型图片 令、谒者仆射、

长水校尉等官职。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。

数学方面，他计算圆周率，取得当时世界最先进成就，900多年之后，其精

度方被人超过。他推算出圆周率”的真值在3．14l5926(肭数)与3．1415927(盈

22355



7113

，密率，其数)之间，并确定”的两个分数形式的近似值：约率

中密率是分母在33．102以内的表示圆周率的最佳近似分数。另外，他在球体积、

二次和三次方程、同余式(组)等方面，都做过深入研究并有杰出成就。

祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，适应了当时生产实践的

需要。他亲自研究过度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。

隋唐时期以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。

祖冲之的儿子祖暅，也是一位杰出的数学家，他继承他父亲的研究，创立了

球体体积的正确算法。在天文方面，他也能继承父业。他曾著《天文录》三十卷，

《天文录经要诀》一卷，可惜这些书都失传了。他父亲制定的《大明历》，就是

经他三次向梁朝政府建议，才被正式采用的。他还制造过记时用的漏壶造得很准

确，并且作过一部《漏刻经》。

祖冲之还与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们

当时采用的一条原理是：“幂势既同，则积不容异。”意即：位于两平行平面之间

的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，

则这接待函 两个立体的体积相等。在西方被称为“卡瓦列利原理”，但这是在祖冲之以后

一千多年才由意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）发现的。为了纪念祖氏父子发

现这一原理的重大贡献，数学上也称这一原理为“祖暅原理”。

祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿

子祖暅首先提出来的。祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，

被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这

两个几何体的体积相等。

祖冲之父子的工作，使我国传统数学在《九章算术》及其刘徽注的基础上得

以大步前进。

隋唐时期

李淳风（公元604——672），唐代杰出的天文学家、数学家。陕西岐山人。

李淳风的《推背图》以其预言的准确而著称于世。

李淳风在数学方面的主要贡献是编定和注释著名的十部算经。这十部算经后

被用作唐代国子监算学馆的数学教材。《隋书百官志》记载：“国子寺祭酒，统

国子、太学、四门、书（学）、算学，各置博士，助教、学生等员。”这是国家专

门数学苏氨酸缩写 教育的开始，唐代在隋的基础上继续举办幽香的意思 数学教育，并以算取士。显庆元

年（656）于国子监内设算学馆，同时着手选编算学教科书。据《旧唐书》卷七

九《李淳风传》载：“先是，太史监侯王思辩表称《五曹》 、 《孙子》十部算

经，理多踳驳，淳风复与国子监算学博士梁述、太学助教王真儒等受诏注《五曹》、

《孙子》十部算经。书成，高宗令国学行用。”《唐会要》卷一六称：“显庆元年

十二月十九日，尚书左仆射于志宁奏置，令习李淳风等注释《五曹》、《孙子》等

十部算经，分为二十卷行用。”

十部算经又称算经十书，是指《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、

《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《缀术》、《五曹算经》、《五经算术》、

《缉古算术》这十部数学著作。它们是唐代以前的主要数学著作，代表了中国古

代数学的光辉成就。 传本《周髀算经》，有赵爽注、甄鸾注等，当时虽被称为“算

经”。

宋元时期——公元960年到1368年

宋元四大家：秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。

杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。字谦光，钱塘(今杭州)人，

中国古代数学家和数学教育家，生平履历不详。由现存文献可推知，杨辉担任过

南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十

一卷。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。

杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展双一流学校 开后的系数构成的

三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。

杨辉著作大都注意应用算术，浅近易晓。其著作还广泛征引数学典籍和当时

的算书，中国古代数学的一些杰出成果，比如刘益的“正负开方术”，贾宪的“开

方作法本源图”“增乘开方法，”幸得杨辉引用，否则，今天将不复为我们知晓。

秦九韶（约公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今

山东曲阜一带人）。早年曾从隐君子学数术，后因其父往四川做官，即随父迁徙，

后也认为是普州安岳（今四川安岳县）人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋

元数学四大家。（安岳县于1998年9月正式开工建设秦九韶纪念馆，2000年12

月竣工落成。）

秦九韶聪敏勤学，宋绍定四年（公元1231），秦九韶考中进士，先后担任县

尉、通判、参议官、州守等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官。南宋

理宗景定元年（公元1260年）出任梅州（今广东梅县）守，翌年卒于梅州。据

史书记载，他“性及机巧，星象、音律、算术以至营造无不精究”，还尝从李梅亭

学诗词。他在政务之余，以数学为卡通粽子图片 主线进行潜心钻研，且应用范围至为广泛：天

文历法、水利水文、建筑、测绘、农耕、军事、商业金融等方面。

秦九韶算法

一般地，一元n次多项式的求值需要经过[n（n+1）]/2次乘法和n次加法，

而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。在人工计算时，一次大大简化了运算

过程。特别是在现代，在使用计算机解决数学问题时，对于计算机程序算法而言

秦九韶算法可以以更快的速度得到结果，减少了CPU运算时间。

该算法看似简单，其最大的意义在于将求n次多项式的值转化为求n个一次

多项式的值。在人工计算时，利用秦九韶算法和其中的系数表可以大幅简化运算；

对于计算机程序算法而言，加法比乘法的计算效率要高很多，因此该算法仍有极

大的意义，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比作一次加法运算要长

得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间。

李冶(公元1192年—1279年)是中国古代数学家，字仁卿，号敬斋，真定府

栾城县（今河北省栾城县）人，宋元数学四大家之一。

李冶在数学上的主要成就是总结并完善了天元术，使之成为中国独特的半符

号代数。这种半符号代数的产生，要比欧洲早三百年左右。他的《测圆海镜》是

天元术的代表作，而《益古演段》则是一本普及天元术的著作。

所谓天元术，就是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”相当于

今“设x为某某”是一致的。李冶则在前人的基础上，将天元术改进成一种更简便

而实用的方法。他讨论了在各种条件下用天元术求元宵放不放假 圆径的问题，写成《测圆海镜》

十二卷，这是他一生中的最大成就。

朱世杰（公元1249年－1314年），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）

人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。朱世杰在当时天元术的基础上

发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外

他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。

主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。

朱世杰的主要贡献是创造了一套完整的消未知数方法，称为四元消法．这种

方法在世界上长期处于领先地位，直到18世纪，法国数学家贝祖(Bezout)提出一

般的高次方程组解法，才超过朱世杰。除了四元术以外，《四元玉鉴》中还有两

项重要成就，即创立了一般的高阶等差级数求和公式及等间距四次内插法公式，

后者通常称为招差术．

从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一

项杰出的创造。

贾宪，北宋人，约于1050年左右完成《黄帝九章算经细草》，原书佚失，但

其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录，因能传世。杨辉《详解九章算

法》（1261）载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三

角”，或称“杨辉三角”。《详解九章算法》同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘

开方法”。

他的一些独到的数学思想和方法，主要有以下两点。

(一)抽象分析法

在研究《九章》过程中，贾宪使用了抽象分析法，尤其在解决勾股问题

是更为突出，他首先提出了“勾股生变十三图”。他完备了勾股弦及其和差的所有

关系，说这些关系“有用而取，无用不取，立图而验之”，说明他已经抛开《九章》

算题本身而对勾股问题进行抽象分析了。

例如“出南北门测邑方”问，《九章》的方法是：术曰：以出北门步数乘

西行步数，倍之为实，并出南门步数为从法，开方除之即邑方。贾宪的方法是：

术曰：余勾乘股，倍之为实并二余勾为从，开方除不。正是掌握了这一方法，才

使他能够使用纯数学的方法改写《九章》术文，给后人留下公式化的解题范例。

在方程术等其他章节的细草中，他也广泛运用了这种方法。

(二)程序化方法

程序化方法主要是指探究问题的思维程序、过程和步骤.适用于同一理论体

系下，同一类问题的解决。贾宪的“增乘开方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地体

现了这一方法，

当代学者研究发现，程序化的数学思想方法是中国古代数学的重要特点，而

贾宪的工作则使得开方程序系统化、规范化。贾宪的数学方法论，对宋元数学家

产生了深远影响，纵观“宋元四大家”，莫不从中汲取精髓。

首先，贾宪的“增乘开方法”开创了开高次方的研究课题，后经秦九韶“正负

开方术”加以完善，使高次方程求正跟的问题得以解决。加之从李冶的天元术(一

元一次或高次方程)到朱世杰的四元术(四元一次或高次方程组)的建立，终于在十

四世纪初建立起一套完整的方程学理论，使之成为宋元数学届最有成就的课题。

其次，贾宪三角的给出，开创了高阶等差级数求和问题的研究方向，朱世杰从“三

角”的每条斜线上发现了“三角垜”、“撒星形垜”等高阶等差级数求和公式。第三，

“增乘开方法”事实上简化了筹算程序，并使程序化更加合理，这对后世筹算、捷

算乃至于算具的改进是有启迪意义的。第四，“细草”这一著述形式开创了一种数

学研究方法，被后世数学家广为借鉴。乾嘉学派在保存和整理数学著作时，就曾

对一批算书或注释或细草图说。

元末之后，中国的传统传统数学骤转衰落，整个明清两代，中国的传统数学

研究不仅没有新的创造，反而倒退了。这是中国传统数学自身的弱点，缺乏演绎

论证，与创造演绎，这些都制约的其升华成现代数学。

中国中世纪的数学家的学习探索精神值得我们借鉴和学习，但是，我们也要

看到时间数学史的发展历程，有其实近代数学史，中国已经被甩在后头，这需要

我们清醒的认识!“取其精华去其糟粕”这是千古名言，需要我们牢记。