反证法及其应用

反证法及其应用

数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.证明的基本方法有直

接法和间接法，反证法是间接证明的一种基本方法.

认识反证法

王戎（晋朝人，竹林七贤之一）7岁时，与小伙伴外出游玩，看到路边的李

数上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站在原地没动.路人不解，

王戎回答道：“树在道边而多子，此比苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦

李.王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？

他的推理过程可简单的表述为：如果李子不是苦的，它就不可能长在道路旁，

且上面结了那么多李子.这种推理方法叫做反证法（归谬法）.

1.反证法的定义：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），

经过正确的推理，最后得到矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，

这样的证明方法叫做反证法（reduction to absurdity）.

2.反证法的实质：先否定结论，后导出矛盾，从而说明结论的反面是错误的，

故原命题成立.

3.反证法证明命题的一般步骤：

①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立.

注1.“推理论证”是指由假设结合所学知识进行分析、推理和论证；

注2.“导出矛盾”是指和已数学教学目标 知条件矛盾，或与假设矛心理主题班会 盾，或与无硝烟的战争 定义、定理、公

理、事实矛盾等；

4.一个反证法的范例

证明：素数有无穷多个。

这个古老的命题最初是由古希腊数学家紫薯营养价值 欧几里德(Euclid of Alexandria，生活

在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著

作《几何原本》里给出的一个反证法：

假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a10

这与a+b+c≤0矛盾，因此abc中至少有一个大于0

类型三.用反证法证明唯一性问题

例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a

平行

证明：假设过点A还有一条直线c与已知直线a平行.由于a∥b,c∥a，所以

b∥c,这与b∩c=A矛盾，所以假设错误，故原命题成立.

类型四.用反证法证明直接证明有困难的问题

例4 证明：■是无理数

证明：假设■不是无理数，那么它就是有理数.于是，存在互质的正整数m，

n，使得■=■（任意一个有理数都可以写成形如■（m,n互质，m∈Z,n∈N ））

从而m■n，因此m2=2n2，所以m为偶数.于是可设m=2k（k∈N） ,从而有

4k2=2n2，即n2=2k2，所以n也为偶数.这与m，n互质矛盾！

由上述矛盾可知假设错误，从而■是无理数。

注解：（1）反证法证明的第一步是否定结论

常见数学用语的正面叙述及其否定形式

（2）如何推理论证，找出矛盾

所谓“推理论证”是指由假设结合所学知识进行分析、推理和论证；

“导出矛盾”是指和已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、

事实矛盾等；

（3）反证法适用的题型：

1.否定性问题；

2.存在唯一性问题；

3.“至多”或“至少”问题；

4.结论的反面比原结论更具体，更容易研究女性成长 和掌握的题目；

5.原命题直接证明有困难时；

练习：（1）已知三个正数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，

求证■，■，■不成等差数列

（2）已知x>0，y>0,且x+y>2求证：■，■至少有一个小于2

（3）过平面内的一点A作直线a,使得a⊥，求证：直线a是唯一的反证

法常常是解决某些问题“疑难”问题的有力工具.英国近代数学家哈代

（Hardy,1877-1947）增经这样称赞它：“…归谬法（反证法）是数学家最有力的

一件武器，比起象棋开局时牺牲一字以取得优势的让棋法，它还要高明.春书法 象棋的

对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索科比的名言 性把全局拱手让予对方！”