高中数学 同步练习 课时分层作业2 圆柱、圆锥、圆台和球

课时分层作业(二)

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．下列说法正确的是( )

A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形

B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形

C．过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形

D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形

C [由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确．]

2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是( )

A．圆锥 B．圆台

C．圆柱 D．两个圆锥组合体

D [连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直,故绕其一条对角线旋转一周形成两个圆锥的组合

体．]

3．一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截面不可能的图形是( )

A B C D

D [当截面平行于正方体的一个侧面时得C,当截面过正方体的体对角线时得B,当截面不平行于任何

侧面也不过对角线时得A,但无论如何都不能截出D.]

4．线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是( )

A．圆台 B．圆锥

C．圆锥侧面 D．圆台侧面

C [由线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周,得到的是圆锥侧面,不含底面．]

5．已知球的两个平行截面的面积分别为5和8,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球

的半径为( )

A．9 B．3

C.5 D．22

半径分别为rB [如图所示,∵两个平行截面的面积分别为5,8,∴两个截面圆的

1

＝R－5－＝5,r＝22.∵球心到两个截面的距离d＝R－r,d＝R－r,∴d－d

22222

2112212

R－8＝1,∴R＝9,∴R＝3.先进个人总结 ]

二、填空题

22

6．在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是________．

一个六棱柱中挖去一个圆柱 [一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱．]

7．如图所示,将梯形ABCD绕底边AB所在直线调查报告 旋转一周,由此形成的几何体是由简单几何体__________

构成的．

圆锥、圆柱 [旋转体要注意旋转轴,可以想象一下旋转后的几何体,由旋转体的结构特征知它中间是

圆柱,两头是圆锥．]

8．若圆柱的轴截面是一个正方形,其面积为4S,则它的一个底面面积是__________．

S [因为圆柱的轴截面的一边是底面直径,另一邻边为圆柱的高,所以应满足4S＝2r(r为底面圆

半径),∴r＝S,故底面面积为S.]

三、解答题

9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm,求其底面周长和高．

[解]

2

如图所示,作出等边圆柱的轴截面ABCD,由题意知,四边形ABCD为正方形,设圆柱的底面半径为r,则AB

＝AD＝2r.

其面积S＝ABAD＝2r2r＝4r＝16 cm,解得r＝2 cm.

所以其底面周长C＝2r＝22＝4(cm),高h＝2r＝4 cm.

10.从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到

如图所示的几何体,如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面

积．

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[解] 轴截面如图所示,被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径

OC＝R,设圆锥的截面圆的半径OD为x.因为OA＝AB＝R,所以△OAB是等腰直角三角

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形．又CD∥OA,则CD＝BC,所以x＝l,故截面面积S＝R－l＝(R－l)．

[等级过关练]

1．下列命题中正确的是( )

A．圆柱上底面圆上任一点与下底面上任一点的连线都是圆柱的母线

B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台

C．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形

D．在空间中,到定点合作养鸡 的距离等于定长的点的集合是球

C [A错,由圆柱母线的定义知,圆柱的母线应平行于轴；B错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所

形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体；C正确；D错,点的集合应为球面．]

2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是( )

A．圆锥

B．两个圆锥组合体

C．圆台

D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥

D [如图,以AB为轴旋转所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．]

3．边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面,则从E点沿圆柱的侧九月九日是什么节日 面到点G的最短距

离是________cm.

5155

2

＋4 [如图所示,E′F＝2＝(cm),

2222

∴最短距离E′G＝5＋＝＋4(cm)．]

2222



5

5

22





2

2

2

4．在半径为13的球面上有A,B,C三点,其中AC＝6,BC＝8,AB＝10,则球心到经过这三个点的截面的距

离为________．

AB

12 [由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形,所以其外接圆的半径r＝＝5,所以d＝

2

R－r＝12.]

5．如图所示,已知圆锥SO中,底面半径r＝1,母线长l＝4,M为母线SA上的一个点,且SM＝x,从点M

拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A.背脸打一成语 求：

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(1)绳子的最短长度的平方f(x)；

(2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离；

(3)f(x)的最大值．

[解]

将圆锥的侧面沿SA展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA′的长度L就是圆O的周长,

∴L＝2r＝2.

L2

∴∠ASM＝360＝360＝90.

2l24

(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM,其值为AM保佑 ＝x＋16(0≤x≤4)．

f(x)＝AM＝x＋16(0≤x≤4)．

(2)绳子最短时,在展开图中作SR⊥AM,垂足为R,则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离,在△SAM中,

11

∵S＝SASM＝AMSR,

△SAM

22

SASM4x

∴SR＝＝(0≤x≤4),

2

AM

x＋16

即绳子最短时,顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4)．

(3)∵f(x)＝x＋16(0≤x≤4)是增函数,

∴f(x)的最大值为f(4)＝32.

2

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2

4x

x＋16

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