什么是多项式在生活中的应用

什么是多项式在生活中的应用

多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，

就是这个多项式的次数。那么你对多项式了解多少呢?以下是由店铺整

理关于什么是多项式的内容，希望大家喜欢!

什么是多项式

在数学中，多项式(polynomial)是指由变量、系数以及它们之间

的加、减、乘、幂运算(非负整数次方)得到的表达式。

对于比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。按这个

定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，

对单项式不起作用的定理。0作为多项式时，次数定义为负无穷大(或

0)。单项式和多项式统称为整式。

多项式中不含字母的项叫做常数项。如：5X+6中的6就是常数

项。

多项式的定理

基本定理

代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。

高斯引理

两个本原多项式的乘积是本原多项式。

应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数

较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多

项式的乘积。这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。关于

Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数

多项式,如果有一个素数p能整除n-1,n-2,…,1,0，但不能整除n,

且p2不能整除常数项0，那么(x)在Q上是不可约的。由此可知，

对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。因而，对任一自

然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。

分解定理

F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多

项式的乘积,而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一

的。

当F是复数域C时，根据代数基本定理，可证C[x]中不可约多项

式都是一次的。因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘

积。

当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即

虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。

所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式

的乘积。实系数二次多项式x2+bx+不可约的充分必要条件是其判

别式b2-4<0。

当F是有理数域Q时，情况复杂得多。要判断一个有理系数多项

式是否不居里夫人的资料 可约，就较困难。应用本原多项式理论，可把北京爬山推荐 有理系数多项

式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其

系数是互素的,则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一

个有理数及一个本原多项式的乘积。关于本原多项式有下述重要性质。

多项式的运算法则

加法与乘法

有限的单项式之和称为多项式。不同类的单项式之和表示的多项

式，其中系数不为零的单项式的最高次数，称为此多项式的次数。

多项式的加法,是指多项式中同类项的系数相加，字母保持不变(即

合并同类项)。多项式的乘法,是指把一个多项式中的每个单项式与另一

个多项式中的每个单项式相乘之后合并同类项。

F上x1，x2，…，杨善洲电影 xn的多项式全体所成的集合Fx【1,x2，…,xn】，

对于多项式的加法和乘法成为一个环，是具有单位元素的整环。

域上的多元多项式也有因式分解惟一性定理。

带余除法

若 f(x)和g(x)是F[x]中的两个多项式，且g(x)不等于0，则在F[x]

中有唯一的多项式 q(x)十一国庆节 和r(x)，满足(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)的

次数小于g(x)的次数。此时q(x) 称为g(x)除(x)的商式，r(x)称为余式。

当g(x)=x-时，则r(x)=()称为余元，式中的是F的元素。此时带

余除法具有形式(x)=q(x)(x-)+()，称为余元定理。g(x)是(x)的

因式的充分必要条件是g(x)除(x)所得余式等于零。如果g(x)是(x)的

因式，那么也称g(x) 能整除(x)，或(x)能被g(x)整除。特别地,x-是

(x)的因式的充分必要条件是()=0，这时称是(x)的一个根。

如果d(x)既是(x)的因式，又是g(x)的因式,那么称d(x)是(x)与

g(x)的一个公因式。如果d(x)是(x)与g(x)的一个公因式，并且(x)与

g(x)的任一个因式都是d(x)的因式，那么称d(x)是(x)与g(x)的一个最

大公因式。如果(x)=0，那么g(x)就是(x)与g(x)的一个最大公因式。

当(x)与g(x)全不为零时，可以应用辗转相除法来求它们的最大公因式。

辗转相除法

已知一元多项式环F[x][2] 中两个不等于零的多项式(x)与g(x)，

用g(x)除(x)得商式q1(x)、余式r1(x)。若r1(x)=0，则g(x)就是(x)

与g(x)的一个最大公因式。若 r1(x)≠0，则用 r1(x)除 g(x)得商式q2(x)、

余式r2(x)。若r2(x)=0,则r1就是(x)与g(x)的一个最大公因式。否则,

如此辗转相除下去,余式的次难四字成语 数不断降低,经有限s次之后，必有余式为

零次(即零次多项式)或余式为零(即零多项式)。若最终余式结果为零次

多项式，则原来f(x)与g(x)互素;若最终余式结果为零多项式，则原来

f(x)与g(x)的最大公因式是最后一次带余除法的是除式。

利用辗转相除法的算法，可将(x)与g(x表演英文怎么说 )的最大公因弘扬工匠精神 式rs(x)表成

(x)和g(x)的组合,而组合的系数是F上的多项式。

如果(x)与g(x)的最大公因式是零次多项式，那么称(x)与g(x)是

互素的。最大公因式和互素概念都可以推广到几个多项式的情形。

如果F[x]中的一个次数不小于1的多项式(x),不能表成 F[x] 中的

两个次数较低的多项式的乘积，那么称(x)是F上的一个不可约多项式。

任一多项式都可分解为不可约多项式的乘积。

形如 Pn(x)=a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a(1)x+a(0)的函数，叫

做多项式函数，它是由常数与自变量x经过有限次乘法与加法运算得

到的。显然，当n=1时，其为一次函数y=kx+b，当n=2时，其为二

次函数y=ax^2+bx+雅顿绿茶 c。

多项式的应用

函数及根

给出多项式 f∈R[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1...an)∈An，

我们把 f 中的 xj 都换成 aj，得出一个 A 中的元素，记作 an)。

如此， f 可看作一个由 An 到 A 的函数。

若然 an)=0，则 (a1...an) 称作 f 的根或零点。

例如 f=x^2+1。若然考虑 x 是实数、复数、或矩阵，则 f 会无根、

有两个根、及有无限个根!

例如 f=x-y。若然考虑 x 是实数或复数，则 f 的零点集是所有 (x,x)

的集合，是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。

另外，若所有系数为实数多项式 P(x)有复数根Z，则Z的共轨复

数也是党史基本知识 根。

若P(x)有n个重叠的根，则 P‘(x) 有n-1个重叠根。即若

P(x)=(x-a)^nQ(x)，则有 a 是 P’(x)的重叠根且有n-1个。

插值多项式

在实际问题中，往往通过实验或观测得出表示某种规律的数量关

系y=F(x)，通常只给出了F(x)在某些点xi上的函数值yi=F(xi),j=1，

2，…,n+1。即使有时给出了函数F(x)的解析表达式，倘若较为复杂，

也不便于计算。因此，需要根据给定点 xi 上的函数值F(xi),求出一个既

能反映F(x)的特性,又便于计算的简单函数(x)来近似地代替F(x),此时

(x)称为F(x)的插值函数;x1,x2,…,xn+1，称为插值节点。求插值函数的

方法，称为插值法。

多项式是一类简单的初等函数，而且任给两组数：b1,b2,…,bn+1

和各不相同的 1,2,…,n+1，总有唯一的次数不超过n的多项式(x)

满足(i)=bi，i=1，2，…,n+1。因此在实际应用中常常取多项式作

为插值函数。作关于读书的名言名句 为插值函数的多项式，称为插值多项式。插值多项式

在计算数学插值中最常用。