二元二次方程组的典型例题

数学 八年级（下） 知识点2106 二元二次方程组的解法 提高型

二元二次方程组的典型例题

在八年级代数方程的学习中二元二次方程组是非常重要的一个组成部分，从

某种意义上说是我们解代数方程的一个综合运用，而且它又具自己的典型特征，

下面我们就如何解二元二次方程组以及一些典型运用进行一个具体的分析。

一．解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组

例1 解下列方程组：



2xy1(1)





22



10xyx10(2)



分析 对于这一类题目，我们的主导思想是：“代入消元法”，把二元二次方程组

中的二元一次方程通过变形后代入二元二次方程中，从而达到消元的目的，把一

个二元二次方程转变成一个我们熟悉能解的一元二次方程。

解 由（1）得 ……（3）

y2x1

把（3）代入（2）得 。

10x(2x1)x10

22

整理，得 ，

2xx0

2

1

解这个方程，得 ，。

x0

1

x

2

2

分别代入（3），得 ，。

y1y2

12

1





x0

1



x

2

所以，原方程组的解为 ，。





2

y1



1





y2

2

说明 在这类方程组中利用变形后的一元二次方程求出东北哪里好玩 x的值后，把x是只能代

入方程组中的二元一次方程中求y值的，这一稻城亚丁旅游攻略 点尤其要注意。

正因为在上述这类方程组中我们运用了代入消元的思想，从而得到一个一元

二次方程，利用这一特性，我们才有了下面的这个典型应用：



y4x2y10(1)

2



例2 已知方程组有两个不相等的实数解，求的取值



k



ykx2(2)



范围。

分析 由（2）代入（1）得到关于的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不

x

为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数凤凰来仪 解。

解 由（2）代入（1）并整理得 。

kx(2k4)x10

22

2





k0

，



22





(2k4)4k16k160



k0

即 ，





k1

∴当＜1且≠0时，原方程组有两个不相等的实数解。

kk



xy7

例3 。





xy6

分析 本题很显然也是一个可以由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成

的方程组，所以用代入消元法来解；除此而外我们也可以利用它本身的特征结合

一元二次方程的根与系数的关系来进行符合它特性的另一种解法。

解 我们可以把x、y看作是一元二次方程的两个根，从而解得，

a7a60

2

a6a1

12

，，



x6x1

12

所以，原方程组的解为 ，。



y1y6



12

说明 本题要注意的是，，我们并不知道哪个是对应的x、y的值，

a360浏览器广告 6a1

12

所以进行分类说明，把两种情况都要写完整。

二．解由两个二元二次方程组成的方程组

22





xy10(1)



例4



22





x3xy2y0(2)



分析 对于这样的一类题目我们采取的思想是：“因式分解”法，具体而言就是

把两个方程中能进行因式分解的方程进行分解，然后组成新的方程组来解，本题

中通过观察可知，能分解为或，然后与

x3xy2y0

22

xy0x2y0

xy10

22

配搭转化为两奥拉西坦 个新方程组来求解。

解 由（2）得 ，。

xy0x2y0

把它们分别和（1入党申请怎么写 ）组成新方程组得，



xy10xy10

2222

，，





xy0x2y0





x22

3



x22

4



x5x5

12



分别解这两个方程组得 ，，，









y2y2

43





y5y5

12



说明 在这类题目中我们如何来判断单独的两个二元二次方程是否能因式分解

呢？我想我们大致可以这样来进行一个简单的判断：先看方程的等号右边是否为

零，（1）若是零的话再看左边能否十字相乘的因式分解，能，就可以分解得到两

个简单的方程；不能就保留不必分解；（2）若不是零的话，就只需看左边是否为

完全平方式。同样不是的话就保留。