有限差分法、边界元法和离散元法

有限差分法

已经发展的一些近似数值分析方法中，最初常用的是有限差分法，它可以

处理一些相当困难的问题。但对于几何形状复杂的边界条件，其解的精度受到

限制，甚至发生困难。作为60年代最重要的科技成就之一的有单元法。在理论

和工程应用上都_得到迅速道歉认错挽回信 发展，几乎所有用经典力学解析方法难以解决的工程

力学问题郁可以用有限元方法求解。它将连续的求解域离散为一组有限个单元

的组合体，解析地模拟或逼近求解区域。由于单元能按各种不同的联结方式组

合在一起，且单元本身又可有不同的几何形状，因此可以适应几何形状复杂的

求解域。相限元的另一特点是利用每一单元内假设的转院流程 近似函数来表示全求解区

域上待求的未知场函数。单元内的近似函数由未知场函数在各个单元结点上数

值以及插值函数表达，这就使未知场函数的结点值成为新的未知量，把一个连

续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，只要结点来知量解出，便可

以确定单元组合体上的场函数。随着单元数目的增加，近似解收敛于精确解。

但是有限元方法常常需要很大的存贮容量，甚至大得无法计算；由于相邻界面

上只能位移协调，对于奇异性问题(应力出现间断)的处理比较麻烦。这是有限单

元w908 法的不足之处。

边界元法

边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方

法。与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是在定义域

的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，通过对边界分元

插值离散，化为代数方程组求解。降低了问题的维数，可用较简单的单元准确

地模拟边界形状，利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，

而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。边界元法的主要缺点

是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题

难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数

方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。

上述两种数值方法的主要区别在于，边界元法是“边界”方法，而有限元法

是“区域”方法，但都是针对连续介质而言，只能获得某一荷载或边界条件下的

稳定解。对于节理裂隙发育的岩体或颗粒散体的处理则要麻烦得多，更无法进

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行大变形、分离、回转及塌落过程的模拟。这就使得人们去探索和寻求适合模

拟节理岩体和颗粒散体运动变形特性的有效数值方法。

离散元法

离散元法是由Cundall P A (1971)首先提出并文德桥 应用于岩土体稳定性分析的一种

数值分析方法。它是一种动态的数值分析方法,可以用来模拟边坡岩体的非均

质、不连续和大变形等特点,因而,也就成为目前较为流行的一种岩土体稳定性分

析数值方法。该方法在进行计算时,首先将边坡岩体划分为若干刚性块体(目前已

可以考虑块体的弹性变形) ,以牛顿第二运动定律为基础,结合不同本构关系,考虑

块体受力后的运动及由此导致的受力状态和块体运动随时间的变化。它允许块

体间发生平动、转动,甚至脱离母体下落,结合CAD技术可以在计算机上形象地反

应出边坡岩体中的应力场、位移及速度等力学参量的全程变化。该方法对块状

结构、层状破裂或一般碎裂结构岩体比较适合。

caoyb19822009-05-24 09:09的数值方法有很多，可以分为两大类：一类是

连续介质力学数值方法，另一类是非连续介质力学数值方法。

其中连续介质力学数值方法将岩体简化成数学意义上的连续体来进行分

析，主要有：有限差分法、有限元法、边界元法、无单元法等等。

有限差分法（Finite Difference Method，FDM）是求解偏微分方程的最重要

的数值方法之一，其主要思想是将微分方程近似地用相应的差分方程来替代，

从而将求解偏微分方程的问题转化为求解代数方程组的问题。

有限元分析（finite element analysis，fea）是使用有限元方法来分析静态或

动态的物理物体或物理系统，是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将

求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合

适的(较简单的)近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条

件)，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较

简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算

精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。然

而，当岩体中存在着大量结构面时，将为上述接触单元和接触模型的使用带来

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困难，处理连续介质力学的有限单元法对于需要考虑大量结构面的非连续介质

力学问题如岩石边坡稳定等，就显现出其局限性。

边界积分方程－边界元法（Boundary Integral Equation-BoundaryElement

Method）简称边界元法（BEM）是继有限元之后发展起来的一种有效的数值分

析方法。其基本思想是以边界积分方程为数学基础，同时采用与有限元法类似

的离散技术，通过将边界离散为边界元，将边界

积分方程离散为线性代数方程组，再由数值方法求解线性代数方程组，从

而得到原问题的边界积分方程解。

无单元法（Element-free/Mesh-less Method）是Nayroles[80]等于1992年针

对有限元法的一些缺点，如网格依赖性、奇异边界等提出的一种新的数值方

法。其基本方法是采用节点信息及其局部支撑域上的权函数实行局部精确逼

近，通过配点法或伽辽金法得到微分方程弱形式，再选用合适的积分方案聚合

整体平衡方程，从而实现对问题的求解。

扩展有限元法[87]（eXtended Finite Element Method，X-FEM）是近年来新发

展起来的数值方法之一，该方法基于单位分解（PU）理论对传统有限元方法进

行了扩展，引入完全独立于网格划分的非连续位移模式来表征裂纹尖端不连续

界面的演化，因此计算过程中不需要预设开裂路径和调整计算网格。

连续介质鸡年分别是哪一年 力学数值方法均采用连续体假定，必须满足应力平衡和位移协调

条件，因此，在模拟岩石工程中国及多国专利 计算中，如滑坡体独立自主的意思 的变形破坏、坝基、隧道工程

的失稳等方面均有一定的局限。随着计算技术的发展，出现了很多新的处理非

连续介质力学的方法

极限平衡法是岩土工程稳定分析中最为广泛使用的一种方法。该法以摩尔

库仑的ji的成语 抗剪强度理论为基础，对滑动岩体进行力平衡分析，结合结构面的强度

参数得到抗滑稳定安全系数刚体弹簧元法（RigidBody-Spring Model, RBSM）首先

将结构体离散化为一系列块体，每个块体包含六个自由度，块体与块体之间用

弹簧连接，每个块体本身均是一个刚性体。该方法本质上是由有限元法演绎而

来的，与有限元不同的是，刚体弹簧元在块体形心处插值，用块体形心的位移

作为基本未知量，用分二手房首付比例 片的刚体位移去逼近实际整体位移场

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离散单元法（Discrete/Distinct Element Method，DEM）是西周多少年 1971年由

Cundall[115]提出的一种分析节理岩体的数值计算方法，最初是为了模拟岩质边

坡的破坏过程。

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