对最速降线的深入研究

“最速运动路线”终于有了统一的方程

（山东 章丘一职专 250200）

马国梁

“最速运动路线”是一个已经研究了几百年的经典问题。说的是：在空间中有A、B两个定点，

求质点从一点运动到另一点沿什么样的路线用时最短。无疑，“费马原理”和“最速降线”都是这个

问题的研究结果。前者揭示了光在通过界面时的折射规律；而后者则解决了物体在均匀重力场中下

降的路径问题，亦被称为“最速降线”问题。但是长期以来，这两个方面的结果迟迟没有得到统一。

直到最近经过笔者的深入研究，才终于成功解决了这一难题，将两者统一到一个方程式中。

一、费马原理的广义公式

2006年，笔者先后在《中国当代思想宝库》一书和自己的博客中发表了《费马原理的最新表达

形式及其应用》一文。我在文章中指出：

费马原理还有另外一种表达形式，其微分式是

d (n r sin) = 0 （1）

式中是光线与介质中微元面法线的夹角，在该微元面上折射率处处相等；r是在由光线与法线

决定的平面内微元面的曲率半径。虽然n、r和sin都在随地点变化，但其乘积却始终保持不变。

该公式适用于光在所有不均匀介质中的折射情况。在有些情况下用起来特别方便。

这是由笔者发现的表达费马原理的广义公式。关于它在大气折射和“海市蜃楼”现象中的应用，

我在文章中已经作了交代。

二、最速运动路线的普适方程

由于介质的折射率与光在其中的运动速度成反比，所以（1）式也可以写成

d ( r sin/v) = 0 （2）

式中是质点运动方向与等速微元面法线的夹角；r是在由运动方向与法线决定的平面内微元面

的曲率半径。质点在运动中，虽然v、r和sin都在随着地点变化，但其乘积却始终保持不变。

笔者通过进一步的研究发现：该公式竟然有更为广泛的适用范围。它不仅反映了光在所有不均

匀介质中的连续传播规律，还确定了质点在所有保守力场（引力场、电场、磁场）中的最速运动轨

道，且在某些情况下用起来也特别方便。在均匀重力场中的“最速降线”问题只是其中的一个特例

而已。

这就是由笔者独立发现的最速运动所共同遵循的普适方程。该方程一举解决了在不均匀力场中

质点的最速降线问题，这是前所未有的成果。

三、应用实例A

下面我们就以地球的重力场为例，具体讨论对该方程的应用。此时各等速面都是同心球面，各

点的法线都是它们的半径。

设地球的半径是6371 km .我们想从A地开凿一条地下隧道通到远处的B地，让货物在重力作

用下且用最短的时间自己运动过去。但由于地质条件的限制，所以隧道的最低点不能超过1000 km

的深度，求A、B间的最远距离及轨道方程。

我们知道，上面（2）式也可以写成

r sin/v = r。sin。/v。 （3）

当物体在A点时 r。= 6371 km v。= 0

所以必然有 。= 0 就是说，物体在一开始必定是自由下落的。

而在隧道最低点，半径最小 R = 6371- 1000 = 5371 km

速度最大 V = sqrt[g (r。- RR/r。)] = 4.25 km/s

夹角最大 = 90

在隧道的其它点上，设极半径为，极角为. 在A点 = 0

则因为 sin= d/sqrt[(d)^2 + (d)^2 ]

= 1 /sqrt[(d/d)^2 + 1 ]

所以 d = d/(sqrt(1/sin^2 – 1))

再将 v = sqrt[g (r。- /r。)] 和 V = sqrt[g (r。- RR/r。)]

sin= Rv/(V) = (R/) sqrt[(r。r。-)/ (r。r。- RR )] 代入式并积分

得 = ∫[1/(sqrt(((/R)^3)(r。r。- RR)/ (r。r。-) – 1))]d

= arctg[(R/r。)sqrt((r。r。-)/ (- RR ))]

- (R/r。) arctg[sqrt((r。r。-)/ (- RR ))]

这就是隧道的极角方程。严格的计算证明：它是标准的滚轮内摆线！

在A点，因为 = r。 所以 = 0

而格林童话读书笔记 在隧道最低点，因为 玉米粒的做法大全家常 志愿者简笔画 = R

所以 = 0.5(1- R/r。) = 0.246554 rad = 14.1265

这也是从最低点到达B点的极角。

由此可得从A到B的最远距离是

s = 2。r。= 20.2465546371 = 3141.59 km

以上计算考虑了在地面以下重力场减小的问题中国十大涂料品牌 。此时重力场强是与半径成正比。

与上同理，我们还可以证明：在地面以上，如果变成斥力，且斥力场强与半径成正比，那么A、

B间的最速运动路线将是标准的滚轮外摆线！恕此处不再赘述。

四、应用实例B

当假设地球的质量都集中于地心时，重力场强将与半径的平方成反比。但此时的隧洞已经不是

隧洞，而是变成了两头高的“天桥”。

在A点，物体一开始的运动仍然是自由下落的。

而在天桥的最低点，速度仍然最大。

V = sqrt[2g r。(r。/R - 1)] = 4.822 km/s

在天桥的其它点上，则因为

v = sqrt[2g r。(r。/- 1)] 和V = sqrt[2g r。(r。/R - 1)]

sin= Rv/(V) = sqrt[((R/)^3)(r。- )/ (r。- R )]

将之代入式得

= ∫[1/(sqrt(((/R)^3)(r。- R)/ (r。-) – 1))]d

= ∫[1/(sqrt(((/5371)^3)(6371- 5371)/ (6371-) –自传范文入党 1))]d

此时我们无法得到积分的原函数式，但是可以利用数值进行积分运算。

因为积分区间是 R → r。

所以可以算得从最低点到达B点的极角是 。= 0.2245838 rad = 12.8677039

从A到B的最远弧长是 s = 2。r。= 20.22458386371 = 2861.64678 km

比上边滚轮内摆线所对应的地面距离要小。

此时从零速圆周上开始的最速降线已经不是滚轮内摆线，但是仍然类似。且R/r。越接近1 ，

两者就越类似，甚至趋同；而R/r。越接近零，两者则越悬殊。

我们知道：在直线上，所有的滚轮摆线都是相似的；同理，在零速圆周上，所有弧角相同的最

速降线也都是相似的。（注意：相似不是类似！相似形的对应边比例都相等，而类似形的对应边比例

则定有不等。）

此时R/r。越小，最速降线的张角2。就越大。但是当R/r。→ 0 时，2。却不能趋于，

而是趋于一个极限值（约等于1.04676 rad）。所以只有当始、终点的半径夹角小于该张角时，才能

有连接它们的最速曲线；而当始、终点的半径夹角大于该张角时，两点之间的最速降线则变成了它

们所在的两条半径。

总之，最速运动路线的形成必须是在确定的速度场中，而确定的速度场的形成又必须是在保守

的力场中。在非保守力（如摩擦力）场中是绝对不行的。保守场的方向和强度分布不同，最速运动

路线的类型也就不同。它可能是滚摆线（也叫旋轮线），但也完全可能是别种线。所以滚摆线未必总

是最速线，它必须在特定的情况下才能成为最速线。

最速运动路线普适方程的发现，在物理学和几何学上都有着重大的意义，它填补了人类科研史

上的一项空白。物体是没有思想的，更不可能想那么长远，使自己能沿着用时最少的路线运动。不

仅保证自己在每个微分段用时最少，还能保女排联赛赛程 证在整体上也用时最少。但是如果给它一个合适的机制，

那么就能使它走出用时最省的路线，这不难理解。对于这一问题的研究，人们曾走了许多弯路，耗

费了无数人的精力；可现在我们所得到的运动制约竟是如此简单，真是出人预料，令人叹奇！