第三章 杆件的基本变形

第三章 杆件的基本变形

这一章主要研究材料力学的有关内容，主要研究各种构件在外

力作用下的内力和变形。在保证满足强度、刚度和稳定性的前提下，为

构件选用适宜的材料、确定合理的截面形状和尺寸，以达到即安全又经

济的目的。

材料力学的研究对象主要是“杆件”，所谓杆件是指纵向（长

度方向）尺寸远比横向（垂直于长度方向）尺寸大的多的构件，例如

柱、梁和传动轴等。杆有两个主要的几何因素，即横截面和轴线。横截

面指的是垂直于轴线方向的截面，后者即为所有横截面形心的连线。

杆件在外力作用下产生的变形，因外力作用的方式不同而有下

列四种基本形式：

（1） 轴向拉压变形；

（2） 剪切变形；

（3） 扭转变形，

（4） 弯曲变形。

在工程实际中，有些构件的变形虽然复杂，但总可以看作是由以上

几种基本变形组合而成，称为组合变形。

第1节 拉伸和压缩

在工程结构和机器中，有许多构件是轴向拉伸和压缩作用。本

节主要讨论轴向拉伸的压缩时杆的内力和变形，并对材料在受拉、压时

的力学性能进行研究，从而得出轴向拉、压杆的强度计算方法。

1、 内力与截面法

1、内力的概念

杆件在外力作用下产生变形，其内部的一部分对另一部分的作用称

为内力。显然，若外力消失，则内力也消失，外力增大，内力也增大。

但是对一定的材料来说，内力的增加只能在材料所特有的限度之内，超

过这个限度，物体就会破坏。所以，内力与强度是密切相关的。

2、截面法

设一直杆，两端受轴向拉力F作用。为了求出此杆任一截面m-m上的

内力，，我们可以假想用一个平面，沿截面m_m将杆截断，把它分成

Ⅰ、Ⅱ两部分，取Ⅰ段作为研究对象。在Ⅰ段的截面m_m上到处都作用

着内力，其合力为F。F是Ⅱ段对Ⅰ段的作用力，并与外力F相平衡。

NN

由于外力F的作用线沿杆件轴线，显然，截面

m_m上的内力的合力也必然沿杆件轴线。对Ⅰ段建立平衡方程：

F-F=0 得 F＝F

NN

将受外力作用的杆件假想地切开用以显示内力，并以平衡条件来

确定其合力的方法，称为截面法。

所以求杆件内力的方法—截面法可概述如下：

截取代平

二、拉伸与压缩的受力、变形特点

构件一般都为直杆，因此在计算中都可以简化为图3－2所示的受

力简图。

由图可见，杆件拉伸和压缩的受力特点是：作用与杆件上的外力合

力的作用线沿杆件轴线。力FD 作用线与杆轴线重合，即垂直与横截面

并通过截面形心，这样的内力称为“轴力”。

变形特点是:沿轴线方向产生纵向伸长或缩短。凡以轴向伸长为主

要变形特征的杆件称为拉杆，以轴向压缩为主要变形特征的杆件称为压

杆。

求轴力的一般法则为：任一截面上的轴力，在数值上墨镜英文 等于该截面左

边（或右边）所有轴向外力的代数和。

在确定了拉（压）杆的轴力后，还不能立即判断杆在外力作用下是

否会因强度不够而破坏。例如有两根材料相同的拉杆，一根较粗，一根

较细，在相同的轴向拉力作用下，两杆的轴力相等，但细杆可能被拉断

而粗杆不断。要判断杆的强度是否足够，必须知道横截面上的分布内力

集度，通常称为“应力”。由于轴力沿横截面的法线方向作用，与它相

应的应力必然沿此截面的法线方向，称为法向应力或正应力，用符号

表示。正应力为单位面积上的内力，表示为：＝F/A

N

线应变为单位长度的伸长量。正应力与线应变存在下列关

系。

＝E.

三、拉伸（压缩）时材料的力学性质

材料的力学性能主要有两个方面：一是强度特性，二是变形特性。要

正确认识材料的力学性能，就得进行试验。在常温、静载荷下的拉伸试

验是研究材料力学性能最常用、最基本的试验。试验采用的是用低碳钢

车制成的国家标准统一规定的标准试件。L为试件的试验段长度，称为

0

标距，两端的粗头作为与试验机连接用的接头。为了便于对不同粗细的

试件在拉断后工作段的变形程度进行比较，通常对圆截面试件的标距L

0

与直径d的比值规定为L＝10d或L＝5d。下面以低碳钢和铸铁分别为塑

00

性和脆性材料的代表做试验。

1、低碳钢拉伸时的力学性质

进行拉伸试验时，将试件安装在试验机上，然后在试件上装上变形

仪，开动试验机，使试件承受逐渐增加的轴向拉力的作用，拉力的数值

可以从试验机的示力盘上读出，试件的伸长量可以从变形仪上读出。拉

力逐渐增大，变形也随着增大。当拉力增加到一定数值时，试件就被拉

断，试验结束。

在试验过程中，拉力F和试件的伸长量△L有一一对应的关系，如果以

拉力F为纵坐标，以△L为横坐标，根据两者的对应关系，描绘出F与△L

的关系曲线，称为拉伸图或F－△L曲线。许多试验机上都有自动绘图设

备，拉伸图可在试验过程中自动绘出，它描绘了低碳钢试件拉伸时外力

和变形的变化关系的全过程。但是，拉伸图还不宜用来表示材料拉伸时

的力学性能。因为拉伸图与试件尺寸有关，在相同的汉朝时间 拉力下，细长试件

的变形较大，而短粗试件的变形则较小。为了消除原始尺寸的影响，获

得反映材料性质的曲线，通常采用＝F/A为正应力，＝△L/L为应

0

变，得到材料的应力－应变图，就可较好地反映材料的力学性能。

受力分析如下图所示:

低碳钢整个拉伸变形过程可分为四个阶段：

（1）弹性阶段：在这个阶段试件的变形是弹性的。如果将试件上

的荷载去掉，变形可以全部恢复。在拉伸的初始阶段，Oa为一直线段，

表示应力与应变成线性关系，符合胡克定律。超过岳阳美食 a点后，应力和应变

不在保持线性关系，所以，我们把相应于直线最高点a点的应力称为

p

材料的比例极限。低碳钢的比例极限200MPa 。随着试验继续下

p＝

去，试件所受的拉力增加，应力也增加，ab段图线开始变弯，说明与

线应变不在是正比关系，而所产生的变形仍为弹性变形。所以我们把

与比例极限非常邻近的b点所对应的应力值称为材料的弹性极限。它

e

表示卸载后材料不产生塑性变形的最大应力值。由于与e在数值上

p

极为接近，试验中很难准确测出，所以在实用上认为两者是重合的。

（2）屈服阶段（bc段）：荷载继续增加，试件引力超过b点后，由

b点逐渐发展到c点，然后再由c到c′，曲线的坡度迅速减小，当拉力增

加到某一值时，应变急剧的增长，而应力却保持在一定的小范围内波

动，在图上出现接近水平的波状线，这种现象好像钢材对外力“屈

服”了一样。所以这个阶段称为屈服阶段或流动阶段。对应c点的应力

值s称为材料的屈服点。低碳钢的s＝240MPa。当应力达到屈服极限

s时，试件将产生显著的塑性变形，以致构件不能正常工作。所以，

在进行构件设计时，一般规定钢材的最大应力不得超过屈服极限s。

由此可见，材料的屈服极限是衡量材料强度的一个重要指标。

若试件经过抛光，则在试件表面上将可看到大约与试件轴线成45

方向的条纹。这些条纹是因为材料沿试件的最大剪应力面发生滑移所引

起的，通常称为滑移线。

（3）强化阶段：经过屈服阶段后，试件由于塑性变形是内部的晶粒

结构发生了变化，材料抵抗变形的能力又有所增强。这就是说，要使试

件继续变形，就需要增加拉力，故应力又随应变的增加而增加，在图中

形成上升的曲线c′d,这种现象称为强化，这一阶段称为强化阶段。对

应于最高点d点的应力称为强度极限。

b

低碳钢的强度极限＝400MPa。是试件被拉断前所能承受的最大应

bb

力值。它也是衡量材料强度的一个重要指标。

（4）

局部变形阶段(de段)当应力达到强度极限后，试件会在某一最

薄弱的局部范围内显著收缩，产生所谓“颈缩”现象。由于试件截面急

剧缩小，塑性变形迅速增加，因此，荷载读数（即试件抗力）反而降

低，一直到试件断裂。

试件被拉断后保留下来的塑性变形，可以用来说明材料塑性变

形的程度。

2、铸铁拉伸时的力学性质：

由图可知，铸铁拉伸时从开始直到断裂，变形都不显著，应力

和应变都很小。

整个图线上没有明显的直线部分，也没有屈服阶段。但在工程实际中，

当－曲线的曲率很小时，常以直线代替曲线－，近似的认为材

料服从胡克定律。直线的斜率E=tan，称为弹性模量。拉断时的最大

应力 为材料的强度极限。由于脆性材料的抗拉强度很低，不易用

bb

作受拉构件的材料。

3、材料压缩时的力学性质

有很多材料，它们抗拉和抗压圣诞前夜 的力学性能有很大的不同。因

此，除了作拉伸试验外，还必须作压缩试验。作压缩试验的试件，一般

采用方块体或高度稍大于直径的圆柱体。

低碳钢的压缩试验，如图3－8所示，在屈服阶段以前，压缩曲

线和拉伸曲线是重合的，因此，受压时的弹性模量、比例极限和屈服极

限与受拉时相同。所不同的是：随着压力的增大，试件将愈压愈偏，dreams是什么意思 产

生很大的塑性变形，所以受压曲线不断上升，故无法测出材料的强度极

限。

铸铁压缩时，无论强度极限或延伸率都比拉伸时大的多，所

以，铸铁易用作受压构件。铸铁受压破坏时的断口与轴线约成45 角，

0

这是因为45截面上的最大剪应力超过材料的抗剪强度造成的。

0

四、许用应力和安全系数

当塑性材料的应力达到屈服极限，脆性材料达到强度极限，构

件都不能正常工作。所以我们把它们通称为极限应力。

为了保证构件安全可靠的工作，必须使构件的实际应力小于极

限应力，并预留一定的安全储备，为此，常将材料的极限应力打一折

扣，即除以一个大于1的系数后，作为构件实际工作应力所不允许超过

的数值。这个应力称为材料的许用应力。

[]＝/n

ss

由上式可见，对许用应力数值的规定，实质上是如何选择安全

系数问题。从安全考虑，应加大安全系数以降低许用应力，但这要多耗

材料和人力，造成浪费。相反，从经济考虑，则需减小安全系数以提高

许用应力，这样虽可少用材料和人力，但又有损于安全。因此，应该合

理的权衡安全经济这两个方面的要求，而不应片面的把某一方面强调到

不适当的程度。

一般说来，确定安全系数时，应综合考虑以下几个主要因素。

（1）材料素质，包括材料的质地好坏，均匀程度，是塑性材

料还是脆性材料；

（2）荷载情况，包括对荷载的估算是否准确，是静荷载还是

动荷载；

（3）构件的重要性；

（4）构件在使用期内可能遇到的意外事故或其他不利的工作

条件；

（5）计算简图和计算方法的精确程度。

五、拉伸与压缩时的强度校核

为了保证构件安全可靠地正常工作，必须使用构件的最大工作

应力小于材料的许用应力，即

＝F/A＝[]

maxNmax

在已知构件的材料、截面尺寸和所受荷载的情况下，校核构件

的强度是否满足强度的要求。若能满足，说明构件的强度足够，否则说

明构件不够安全。

第三节 剪切和挤压

一、剪切

1、剪切的概念：

如图3－11b所示，构件在这样一对大小相等、方向相反、作用

线相隔很近的外力作用下，截面沿着力的作用方向发生相对错动的变

形，称为剪切变形。在变形过程中，产生相对错动的截面m-m称为剪切

面。

受剪切的零件的受力特点是：作用于构件两侧面上外力的合力

的大小相等、方向相反，且作用线相距很近。变形特点是：构件沿两力

作用的截面发生相对的错动。

2、剪切和切应力

钢板在外力作用下使零件发生剪切变形。此时，在零件内部产

生一个抵抗变形的力，称为剪力。运用截面法，可求出该截面的内力－

剪力，可知：剪力大小与外力相等且与该受力截面相切。常用F表示。

Q

由于剪力F，剪切面上有切应力存在。切应力表示沿剪切

Q

面上应力分布的程度，即单位面积上所受到的剪力。

＝F/A

Q

二、挤压

1、挤压的概念

在接触表面互相压紧而产生局部变形的现象，称为挤压。

2、挤压应力

挤压面上单位面积所受到的挤压力，称为挤压应力。

＝F/A

BBB

三、剪切与挤压强度

1、抗剪强度

剪切面上的最大切应力，即抗剪强度

不得超过材料的许用切应力，表示式为

max

＝F/A≤[]

max

Q

2、挤压强度

挤压面上的最大挤压应力不得超过挤压许用应力，即

＝F/A≤[]

BBBB

max

利用抗剪强度和挤压咖喱牛肉最正宗的做法 强度两个条件式可以解决三类强度问题，

即强度校核，设计截面尺寸和确定许用载荷。

四、剪切与挤压在生产实践中的应用

第三节 圆轴扭转

一、扭转的概念

在一对大小相等、方向相反、作用面垂直与轴线的两力偶作用

下，它们的横截面将绕轴线产生相对转动，这种变形称为扭转变形。用

钥匙开门，钥匙也会发生扭转变形。

变形特点是：

（1）在杆件两端受到大小相等、方向相反的一对力偶的作

用。

（2）杆件上各个横截面均绕杆件的轴线发生相对转动。

二、圆轴扭转的外力矩计算

研究圆轴扭转问题的方法和研究拉（压）杆的问题一样。首

先，计算作用于轴上的外力，然后再分析横截面上的内力，建立应力和

变形的计算公式，最后进行强度、刚度计算。

作用于轴上的外力偶矩，通常不是直接给出其数值，而是给出

轴的转速和传递的功率，此时需要按照理论力学中推导的功率、转速、

力矩三者的关系来计算外力偶的数值。

Np＝M

M≈9550Np/n

三、扭矩计算

1、内力

求圆轴扭转时的应力－截面法。

2、符号规定

四、圆轴扭转时的应力分析

1、扭转现象与假设

我们从观察试验现象着手，取一等直圆轴，在其圆柱表面划上

一组平行于轴线的纵向线和一组代表横截面的圆周线，形成许多矩形

（图3－19）。然后将其一端固定，在另一端作用一个力偶面与轴线垂

直的外力偶矩。此时圆轴产生变形，在小变形的情况下，可以看到：

（1）各圆周线的形状、大小以及两圆周线之间的距离均无变

化，只是绕轴转了不同的角度。

（2）所有纵向线仍近似地为一条直线，只是倾斜了同一个角

度，使原来的矩形变成平行四边形。

由以上的观察，可得出圆轴扭转时的基本假设（平面假设）：

扭转时，圆轴的横截面始终为平面，形写工作总结 状、大小都不改变，只

有相对轴线的微小扭转变形，因此在横截面上无正应力而只有垂直于半

径的切应力。

2、切应力分布规律：

圆轴横截面上任一点的切应力与该点所在圆周的半径成正比，

方向与过该点的半径垂直，切应力最大处发生在半径最大处。

3、切应力计算公式：

＝M./Ip

T

当＝R时，切应力最大，即

＝M.R/Ip

maxT

令Ip/R=Wt ＝M/Wt

maxT

4、Ip和Wt计算

(1)实心圆轴

Ip＝D/32≈0.1D

44

Wt= D/16≈0.2D

33

(2)空心圆轴

Ip＝0.1D（1－）

44

Wt= 0.2D（1－）

34

五、圆轴抗扭强度条件

圆轴扭转时的强度条件是：危险截面上的最大切应力不得

max

超过材料的许用剪应力[]，即

＝M/Wt≤[]

maxTmax

六、提高抗扭能力的方法

1、选用合理截面，提高轴的抗 扭截面系数Wt。

2、合理安排受力情况，降低最大扭矩M

Tmax

第四节 直梁弯曲

一、弯曲的概念

弯曲变形在实际中是比较常见的一种变形。如吊车的横梁等都

会发生弯曲变形。所以，当杆件受到垂直于其轴线的横向外力或外力偶

作用时，杆件将发生弯曲变形。在工程中，凡是以弯曲变形为主的构件

都称为梁。

二、平面弯曲

若梁的横截面具有对称轴，对称轴与梁的轴线构成对称面，且

外力（包括荷载和支座反力）都作用在包含此对称轴的纵向平面内，则

变形后的梁轴线将仍在此纵向平面内，这种弯曲称为平面弯曲。

三、梁的基本形式

梁的支座形式与载荷的作用形式是复杂多样的。为了便于分析

与计算，必须进行简化。根据简化的结果绘制计算简图，然后进行力学

计算。计算简图是进行力学计算的依据，它必须确切的反映梁的约束与

载荷的实际情况，以保证计算结果的准确性。

通常按照支座对梁的约束情况，将其简化为下列三种典型形

式。

（1）简支梁：一端固定绞支承，另一端可动绞支承的梁。

（2）悬臂梁：一端固定铰支撑，林一端自由的梁。

（3）外伸梁: 具有一个或两个外伸部分的梁。

四、梁的内力（剪力和弯矩图）

当作用在梁上的全部外力（包括荷载和支座反力）均为已知

时，即可用截面法求出梁上任一截面处的内力。

1、首先求出梁上所受外力

F=F.b/L

RA

F=F.a/L

RB

2、用截面法求内力

（1）在截面m-m处假想地把梁切为两段。

（2）取左端为研究对象。

（3）建立平衡方程:

由 F=0得：F-F=0 F= F

RAQQRA

由 M=0得：M= Fx

RA

3、剪力和弯矩符号的规定

剪力符号规定：左上、右下为正，反之为负。

弯矩符号规定：使梁微段上凹为正，反之为负。

4、建立剪力、弯矩方程，绘制剪力、弯矩图

例3-5：解：（1）求支反力:

由 M=0 M=0得：

BA

Fb-FL=0 F=Fb/L

RARA

FL+Fa=0 F=-Fa/L

RBRB

（2）列F、M方程：

Q

F（x）= F- F= Fb/L（0

QRA

M（x）= Fx-F(x-a)= Fa/L(L-x),

RA

(0≤x≤a)

（3）作F、M图

Q

五、梁的强度

1、纯弯曲

梁上各截面内剪力为零、弯矩为常数时的弯曲变形，叫做纯弯

曲。

2、正应力

（1）变形后横线仍为直线且于梁弯曲后的轴线保持垂直，只

是相对转动了一个角度。

（2）纵线在变形后成了弧线，梁上部凹边纵线缩短，下部凸

边纵线伸长。

如果设想梁是由无数纵向纤维所组成，则梁内必有一层纤维即

不伸长也不缩短，我们把这层纤维称为“中心层”。中性层把变形后横

截面分成两个不同的区域，即受拉区和受压区。中心层与横截面对交线

称为“中性轴”。

由以上观察到的现象，通过判断和推理可以作出如下的假设：

（1）纯弯曲时，梁的横截面仍保持为平面，这就是“平面变

形假设”。

（2）各纵向纤维间互不挤压。因此，在正应力作用下，各纵

向纤维只承受单向拉伸或压缩。

（3）据中性轴等责任作文 远处的各纵向纤维变性相同，也就是说，各

纵向纤维的变形与它们在截面宽度上的位置无关。

4、梁的强度：

=M/Wz≤[]

maxmax

六、提高抗弯能力的方法

1、梁的截面形状

梁的截面形状有圆形、矩形、槽形、工字形等。选择合理的截

面，调节截面几何性质可达到提高强度和节省材料的目的。

2、合理布置载荷

（1）集中载荷作用。

（2）适当调整梁的支座位置，也可降低最大弯矩值。

（3）将集中载荷靠近支座可降低最大弯矩值。

3、采用变截面梁

4、提高抗弯刚度的措施

（1）缩短梁的长度。

（2）在不能缩短梁的长度的情况下，增加梁的支承约束。

（3）改变梁的截面形状，尽可能采用工字形、箱型薄壁构

件。

（4）可爱卡通人物图片 改善结构设计。

第五节 组合变形间接

1、 组合变形的概念

把构件在载荷作用下，同时发生两种或两种以上的基本变形称为组

合变形。

二、拉（压）弯组合变形

三、弯扭组合变形

四、压杆稳定性

第六节 影响杆件变形的其他因素

1、交变载荷对杆件变形的影响

2、冲击载荷对杆件变形的影响

3、失稳现象对杆件变形的影响

4、引力集中对杆件变形的影响