函数对称性有关的性质

函数对称性有关的性质

讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数⾃⾝的性质，⽽后者是函数

的变换问题。下⽂中我们均简称为函数的变换性。现通过函数⾃⾝的对称性和不同函数之间的对称变换这两个⽅⾯来介

绍函数对称性有关的性质。

1学习弹钢琴 . 函数⾃⾝的对称性

设函数，，且在闭区间［0，7］上只有

（1）试判断函数 的奇偶性；

（2）试求⽅程 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。

分析：由 可得：函数图象既关于x＝2对称，⼜关于x＝7对称，进⽽可得到周期性，然后再继续求解，⽽本题关键是要

⾸先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第⼀步。

定理1函数 的图像关于直线x＝a对称的充要条件是 即

证明（略）

推论函数 的图像关于y轴对称的充要条件是

定理2函数 的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是

证明（略）

推论函数 的图像关于原点O对称的充要条件是惆怅近义词

偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。

定理3①若函数 的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中⼼对称（ ），则 是周期函数，且 是其⼀个周期。

②若函数 的图像同时关于直线 成轴对称（ ），则 是周期函数，且 是其⼀个周期。

③若函数 的图像既关于点A（a，c）成中⼼对称⼜关于直线x＝b成轴对称（ ），则 是周期函数，且 是其⼀个周期。

以下给出③的证明，①②的证明留给读者。

因为函数 的图像关于点A（a，c）成中⼼对称。

所以 代 得：

⼜因为函数 的图像关于直线 成轴对称。

所以 代⼊（*）得：

得

代⼊（**）得：

是周期函数，且 是其⼀个周期。

2. 不同函数对红领巾奖章 称性

定理4函数 的图像关于点 成中⼼对称。

证明：设点 图像上任⼀点，则 。点 关于点 的对称点为 ，此点坐标满⾜ ，显然点 在 的图像上。

同理可证： 图像上关于点 对称的点也在 的图像上。

推论函数 与手指甲上有白点 的图像关于原点成中⼼对称。

定理5函数 与 的图像关于直线 成轴对称。

证明设点 是 图像上任意⼀点，则 。点 关于直线 的对称点为 ，显然点 在 的图像上。

同理可证： 图像上关于直线 对称的点也在 图像上。

推论函数 与 的图像关于直线y轴对称。

定理6①函数 与 的图像关于直线 成轴对称。

②函数 与 的图像关于直线 成饼赋 轴对称。

现证定理6中的②

设点 是 图像上任⼀点，则 。实践单位意见评语 记点 关于直线 的对称点 ，所以

代⼊

之中得 。所以点 在函大屏嶂森林公园 数 的图像上。

同理可证：函数 的图像上任⼀点关于直线 的轴对称点也在函数 的图像上。故定理6中的②成⽴。

推论函数 的图像与 的图像关于直线 成轴对称。

3. 函数对称性应⽤举例

例1 定义在R上的⾮常数函数满⾜： 为偶函数，且 ⼀定是（ ）

A. 是偶函数，也是周期函数

B. 是偶函数，但不是周期函数

C. 是奇函数，也是周期函数

D. 是奇函数，但不是周期函数

解：因为 为偶函数，所以 。

所以 有两条对称轴 ，因此 是以10为其⼀个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是 的对称轴，因此 还是⼀个偶函数。故

选（A）。

例2 设定义域为R的函数 、 都有反函数，并且 和 的函数图像关于直线 对称，若 ，那么 （ ）

A. 2002

A. 2002

B. 2003

C. 2004

D. 2005

解：因为 的函数图像关于直线 对称，所以 的反函数是 ，⽽ 的反函数是 ，所以 ，所以有

故 ，应选（C）。

例3 设 是定义在R上的偶函数，且 ，当 ___________

解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以 的对称轴；

⼜因为 的对称轴。故 是以2为周期的周期函数，所以

例4 函数 的图像的⼀条对称轴的⽅程是（ ）

解：函数 的图像的所有对称轴的⽅程是 ，所以 ，显然取 时的对称轴⽅程是 ，故选（A）。

例5 设 是定义在R上的奇函数，且 的图象关于直线必争之地 ，则： _____________

解：函数 的图像既关于原点对称，⼜关于直线 对称，所以周期是2，⼜ ，图像关于 对称，所以 ，dns欺骗 所以