_工程数学_的核心概念

教 育 战 线

《工程数学》的核心概念

湖南工学院 廖代喜

摘 要：本文首先介绍了《线性代数》的核心概念, 即行阶梯形矩阵,将《线

性代数》的计算问题都归结到这一概念；然后介绍了《概率论与数理统计》的核心

概念随机变量.

关键词：行阶梯形矩阵 随机变量

《工程数学》不仅是大学数学的一个重要组成部分, 而

且在后续的专业课程学习中也经常会用自动化导论论文 到它的一些理论知识

和方法技巧. 所以, 学好《工程数学》, 一方面能够为今后

的学习打下坚实的基础; 另一方面, 因为《工程数学》在考

研数学中的比重达到了百分之四十四,所以, 学好《工程数

学》也会使自己在茫茫的考研大军中脱颖而出.

《工程数学》一般分为《线性代数》和《概率论与数理统计》

两门课程, 内容繁多, 初学者很难把握. 因此, 找到其中

的关键所在, 必将起到事半功倍的效果.

一、《线性代数》的核心概念

整个《线性代数》的计算问题, 都可以归结到同一个概

念：行阶梯形矩阵. 我们称一个矩阵为行阶梯形矩阵, 若它

的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素止所在的

下方全为0；如该行全为0,则它下面的行全为0.

1.行列式的计算

行列式的的计算方法有三种：按定义、按性质化为上（下）

三角行列式、按一行（列）展开. 其中化为上（下）三角行

列式是计算时最常用的方法. 任一个矩阵经过一系列初等行

变换总能够变成行阶梯形矩阵.

2.求矩阵的秩及向量组的秩

若矩阵

AA

至少有一个级子式不为0, 而的所有

r

r+1r

级子式（如果存在的日复一日猜一字 话）全为0, 则称数为矩阵的秩.

因此, 我们可以按定义求出是离散型随机变量, 常见的有两点分布、二项分布

A

的最高阶非好听的微信网名 零子式来确定和

A

的秩. 但是, 这种方法太繁琐了. 我们计算矩阵的秩的一

般方法是：对矩阵作初等行变换, 把矩阵化为行阶梯形. 行

阶梯形矩阵的秩就是其中非零的行的数目. 这是因为, 初等

行变换不改变矩阵的秩, 而行阶梯形矩阵的秩由定义可知就

等于其中非零的行的数目.

向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向

量组的秩. 因此根据定义, 求向量组的秩只须求它的一个极

大线性无关组. 方法有两种, 一是逐个删去法, 即对于所

给向量组的向量,按自左至右的顺序逐幽灵英文 个删去可由前面的向

量线性表出的向量, 则所剩向量组即为所给向量组的一个极

大线性无关组. 二是初等变换法. 然而, 如果仅仅求向量

组的秩, 楷书毛笔 只须将向量组的每个向量作为行向量构成矩阵

A

,

则该向量组的秩与矩阵

A

的秩是相等的. 这样, 求向量组

的秩的问题就化为求矩阵的秩, 从而可以利用前面叙述的化

为阶梯形矩阵来求向量组的秩了.

3.求齐次线性方程组的基础解系和特征向量

齐次线性方程组

AX=0

的一组解称为它

12r

,,,

L

的一个基础解系, 如果

（1）的任一个解都能表成的线性

AX=0

12r

,,,

L

组合；

（2）线性无关.

12r

,,,

L

INTELLIGENCE

求方程组的基础解系的方法首先仍然是将系数矩阵化

为行阶梯形, 再以每一行第一个非零元素所在的列对应

的未知量为非自由未知量, 其它的为自由未知量, 设为

x,x,,x

r1r2n

++

L

. 最后取

⎛

0

⎞

⎛

x

r

+

1

⎞

⎛⎛

10

⎞⎞

⎜

⎟

⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜

01

x

⎜

0

⎟

⎜

r

+

2

⎟

⎜⎜

⎟⎟

=

⎜

M

⎟

⎜⎜

MM

⎟⎟

,,…,,

⎜

M

⎟

⎟

⎜

⎜

⎟

⎟⎟

⎜⎜

⎜

x

⎟

⎜

1

⎟

⎜⎜

00

⎟⎟

⎝

n

⎠

⎝⎝

⎠⎠

⎝

⎠

代入行阶梯形所对应的齐次线性方项目启动会 程组中, 相应的

n−r

个解就是原方程组的基础解系.

求特征向量即为求齐次线性方程组的一

(A−E)X=0

i

个基础解系,其中

i

为矩阵的任一特征值. 因此可以归

A

结到上面求基础解系问题.

二、《概率论》的核心概念

整个《概率论》, 可以用四个字来概括：随机变量. 设

随机试验的样本空间为

, 如果对中每一元素, 有一

e

个实数

X(e)

与之对应,就得到一个定义在上的实值单值

函数

X=X(e)

, 称之为随机变量.

通过参考文献[3], 我们可以了解到, 随机变量将《概

率论》的主要内容串联起来.

第二章<随机变量>介绍了两类重要的随机变量. 一类

b(n,p)

泊松分布. 需掌握分布律和分布函数互求的方法. 另

P()

一类是连续型随机变量, 常见的有均匀分布、指数

U(a,b)

2

分布

E()

和正态分布. 需掌握密度函数和分布函数

N

(,)

互求的方法. 第三章<随机向量>是对一维随机膜鸣乐器 变量的概念

加以扩充. 第四章<随机变量的数字特征>介绍了随机变量

常用的数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩. 计算了

在第二章提到的六个常见随机变量的数学期动物园的英语 望和方差.

引入随机变量, 就可以用微积分的理论和方法对随机试

验与随机事件的概率进行数学推理和计算, 从而完成对随机

试验结果的规律性研究.

统计量在《数理统计》中的地位, 相当于随机变量在《概

率论》的地位, 而统计量仍然是一个随机变量.

参考文献：

[1] 《线性代数》（修订版） 刘金旺 复旦大学出版社.

[2] 《高等代数》（第二版） 北京大学数学系 高等

教育出版社.

[3] 《概率论与数理统计》（修订版）韩旭里 复旦大

学出版社.

[4] 《概率论与数理统计》（第二版）中山大学数学系

高等教育出版社..

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