画线段图的技巧

画线段图的技巧

在阅读了贵刊1996年第4期李东亚老师写的《解应用题画线段

图技巧》与1996年第10残雪歌词 期李宗社老师写的《图 解法解题举例》两文后，收益匪浅，颇有启

发。文中多数例题都画出了较好的线段图，传授了画线段图的方法 和技巧，值得读者借鉴。

今天笔者除对文中两例线段图（或几何图形）提出改进外，再举几例谈一谈画线段图 技巧，

便于互相研究、互相学习，共同提高。 《解应用题画线段图技巧》一文中的例5(P[,16])：

有重量相等的两筐苹果，第一筐卖掉1/4，第二筐卖掉40%后，再从第一筐拿出7.5千克苹果

放入第二筐，极地长寒气候 这 时两筐苹果的重量相等，求原来一筐苹果的重量。 文中画出如下单线分段

图： （附图 {图}） 图中量(7.52)千克与率〔(1－1/4)－(1－40%)〕对应不

明显，算式7.52〔(1－1/4)－(1－40%)〕也 令人费解。 笔者认为，画线段图应首先朱自清散文集读后感

确定画单线分段图还是复线并列图？一般原则是，如果题中的几个量是整体与 部分关系时，

要画单线分段图；如果几个量是并列关系时，要画复线并列图。其次，画出的线段图量率对

应要 明显。本题给出的条件是两筐苹果，显然是并列关系，应画双线并列图： （附图 {

图}） 这样的线段图，量(7.52)千克与率(40%－1/4)对应比较明显，因此，容易列

出算式并解答： 7.52(40%－1/4)＝153/20＝100（千克） 《图解法解题举例》一文

中的例2(P[,20])： 高中学生是初中学生的5/628字书法作品 ，高中毕业学生是初中毕业学生的12/17，

高中和初中毕业后，都留下520人，问 高中和初中一共毕业多少人？ 文中设计如下图形：

根据图形分析，文中谈到“矩形ABCD的面积表示的人细节决定 数恰好等于520人的1/6”。而52 01/6

＝86(2/3)（人），人数不是整数，因此，这样的解答过程脱离实际，不宜采用。 （附图 {

图}） 根据题意应该画出如下线段图： （附图 {图}） 分析 高中毕业

学生是初中毕业学生的12/17，显然初中学生总人数的1/6等于初中毕业人数的(1－12/17

＝ )5/17，由此可求出初中学生总人数是初中毕业人数的(5/171/6＝)30/17（倍）。进而可

求出520人的对应分 率是30/17－1＝13/17（这里仍是把初中毕业人数看做单位1），则初中

毕业人数为(52013/17＝)680（人）。 有了初中毕业人数就不难求出高中毕业人数和初高中

毕业总人数。 其综合算式是： 520〔(1－12/17)(1－5/6)－1〕(1＋12/17) ＝520

〔5/171/6－1〕29/17 ＝52013/1729我心中的英雄作文 /17＝52017/1329/17＝1160（人） 下面

再举几例谈谈画线段图技巧： 1.对称点拨法 例1 甲、乙两汽车同时从A、B两个城市相

对开出，经过3小时，两车在距中点18公里处相遇。这时甲车与 乙车所行路程比是2:3求

甲、乙两车每小时的路程。 画线段图如下： （附图 {图}） 〔分析与解答〕

在线段图中，由于点拨了对称点（简称对称点拨法），学生就不难看出，从相遇点到它 的关

于中点的对称点的距离是(182)公里，这个距离恰好表示一份，正好是乙车1小时所行的路

程。因此，乙 车速度是(182＝)36（公里），那么甲车速度是(362/3＝)24（公里）。 2.

倍分关联法 例2 （托尔斯泰问题）一组割草人要把两片草地的草割完，大的一片草地是小

片的两倍。上半天人们都在 大的一片草地上割草，午后人们对半分开、一半人仍留在大片草

地上，到傍晚时把草割完，另一半人到小片草 地上割草，到傍晚时还剩下一小块。这一小块

由一人用一整天刚能割完，问这组割草人有几个？ 画线段图如下：设大片草地面积为1，

由题意知，上午割去大片草地的2/3，下午在大、小草地上均割去（ 大片草地的）1/3，按

照这个倍数关系，可以把两片草地割与剩关联起来（简称倍分关联法），由此画出如下线 段

图： （附图 {图}） 〔分析与解答〕：由图知，小片草地剩下的一块面积为(1/2

－1/3＝)1/6，即一人一天能割的草是大草地的 1/6。这组人一天能割大草地面积的(1＋1/3

＝)4/3，由此可求出这组人数。其综合算式是： (1＋1/3)(1/2－1/3)＝4/31/6＝8（人）

3.逆向英文歌简单 对接法 例3 某校有学生若干人，男生比全校学生总数的1/3多200人，女生比全校

学生总数的3/4少285人，求全校 学生人数。 画线段图如下：把学生总数看做1，用线段

AB表示。以A为起点，先画出AD＝1/3AB，再延长D至C，使DC表示 200人。若以C为起点，

继续沿CB方向画不出3/4AB线段，因此，改为以B为起点，先画BE＝3/4AB，那么EC表示2

85人，这时表示男、女人数的线段正好对接，简称逆向对接法。 （附图 {图}）

〔分析与解答〕 由图知，ED表示(285－200)人，对应的分率是(1/3＋3/4－1)或3/4－(1－

1/3)或1/3－( 1－3/4)。由此可求出全校总人数： (285－200)(1/3＋3/4－1) ＝

851/12＝1020（人） 4.集中会聚法。 例4 某校办工厂加工一批零件，第一天做的比总

数的2/9多10个，第二天做的比总数的1/3少5个，第三天 做剩下的51个，求这批零件的

总个数。 画线段图如下： （附图 {图}） 把零件总个数看做1，依题意包含

三条分线段。为了量率明显对应，使各个分量集中、会聚在一起，我们把 表示第二天的分线

段放在第三天分线段之后，简称集中会聚法。 〔分析与解答〕 由图知，分率(1－2/9－1/3)

对应的量是(51－5＋10)个零件，由此可求出零件的总个数 ： (51－5＋10)(1－2/9－1/3)

＝564/9＝126（个） 5.分层对应法 例5 小明与小亮同住一幢楼，他们同时出发骑车看

望赵老师，又同时到达赵老师家。但途中小明休息的时 间是小亮骑车时间的1/3，而小亮休

息时间是小明骑车时间的1/4，求小明和小亮骑车速度之比？ 画线段图如下：设小明休息

时间为x，小亮休息时间为y，根据小明和小亮骑车与休息时间分层对应关系， 画出线段图，

简称分层对应法。 （附图 {图}） 〔分析与解答〕 由图知，2x＝3y，则x/y

＝3/2，因路程一定，时间和速度成反比，则 小明骑车速度 小亮骑车时间 ──────

＝──────＝3x/4y＝3/43/2＝9/8 小亮骑车速度 小明骑车时间 综上所述，线段图

只要设计的巧妙，可以将抽象思维，转化为形象思维，使难以解答的应用题，绕过思考 障碍，

获得简便易行的解题方法。