函数的起源与发展

函数的起源与发展

今天的数学大厦已有数千年历史，这是世界数代数学家不断建设完善的结

果，伴随着数学思想的发展，函数概念由模糊逐渐严密，对于数学和科学来说，

函数牛郎星属于什么星座 是一个最重要，最有意义的数学概念，是人类心智发展的重要标志。

——引言

众所周知，函数概念是在集合论的基础上产生的。

设A，B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中

的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素 和它对应，那么就

称 为从集合A到集合B的一个函数，记作 或

。

这个概念的产生也是有一段故事的，而故事的背后是时间的推动，是艰辛

的岁月。

十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要

发展航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在

地球上的经纬度。

要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题， 这就促使了人们对

各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产

生提供了客观实际需要的基础。

十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解

析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（ Newton）、

莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。

这期间， 随着数学内容的丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未

被给出一个一般的定义。牛顿于 1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”

（ fluent）一词来表示变量间的关系。1673年，莱布尼兹在一篇手稿里第一

次用“函数”（ fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的

变动而变动的量。（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”。

例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后大象的资料 来，又用这个名词表示幂，

即表示 x , x2, x3,…。显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和

不准确的。人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一

步讨论。

以“变量”为基础的函数概念在 1718年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生

约翰贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的和女友聊天话题 函数是由这

些变量与常量所组成的一个解析表达式。并在此给出了函数的记号x。这一定

义使得函数第一次有了解析意义。

十八世纪中叶，著名的数学家达朗贝尔 （D’Alembert）和欧拉（ Euler）

在研究弦振动时，感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意

的解析式，在 1748年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。在此之前

的 1734年，欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。

实际上，这两种定义就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法。

后来，由于富里埃级数的出现，沟通了解析式与曲线间的联系，但是用解

析式来定义函数，显然是片面的，因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷

函数。1775年，欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义：如

果某些变量，以这样一种方式依赖与另一些变量，即当后面这些变量变化时，前

面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。这个定义朴青海有哪些大学 素

地反映了函数中的辨证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程 ,但未提

到两个变量之间的对应关系，因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特

征，只是科学的定义函数概念的“雏形”。

函数是从研究物体运动而引出的一个概念，因此前几种函数概念的定义只

是认识到了变量“变化”的关地理英语 系，如自由落体运动下降的路程，单摆运动的幅角

等都可以是看成时间的函数。很明显，只从运动中变量“变化”观点来理解函数，

对函数概念的了解就有一定的局限性。如对常值函数 ,不好解释。

十九世纪初，拉克若斯（ Lacroix）正式提出只要有一个变量依赖另一个

变量，前者就是后者的函数。 1834年 ,俄国数学家罗巴契夫斯基（

）进一步提出函数停英语 的定义： x的函数是这样的一个数，它对于

每一个 x都有确定的值，并且随着 x一起变化，函数值可以由解析式给出，

这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但

仍然是未知的。（定义 5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其

中一栏是 x值，另一栏是与它相对应的 y值。这个定义指出了对应关系（条

件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念

的本质与核心。

十九世纪法国数学家柯西（ Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联

系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，

另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变

量为自变量的函数。

直到1930年，现代的函数概念才“出炉”， 若对集合M的任意元素x，总

有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数。

函数的应用领域是非常广泛的，几乎每个领域都有它的身影。下面来看一

道千古谜题。

题目要求相当简单：只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。

（尺规作图）

要作正十七边形，还只能用尺规，谈何容易。然而一个数学天才只用一个

晚上就解决了，他的名字就是高斯。

作图方法：

步骤一：

给一圆O，作两垂直的半径OA、OB， 作C点使OC＝1/4OB， 作D点

使∠OCD＝1/4∠OCA，

作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。

步骤二：

作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D

为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

步骤三：

过G4作OA垂直线交圆O于P4， 过G6作OA垂直线交圆O于P6，

则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第

六顶点。

连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出

正十七边形的所有顶点。

证明方法：

设正17边形中心角为a,则17a=360,即16a=360-a

故sin16a=-sina,

而 sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a

因sina不等于0,两边除之有:

16cosacos2acos4acos8a=-1

又由2cosacos2a=cosa+张婷馨 cos3a等,

有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1

注意到

cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,

令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a

y=cos3a+cos5a+cos6a+cos自检自查 7a

有: x+y=-1/2

又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos生态失衡 6a+cos7a)

=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)

经计算知xy=-1又有

x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4

其次再设

x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a

y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a

故有x1+x2=(-1+根号17)/4 y1+y2=(-1-根号17)/4

最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2

可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺

规作出

三角函数的神奇之处体现于此。

同学们，数学如此奇妙，无限轮回，轮回转生，山重水复疑无路时，灵光一

闪，柳暗花明又一村。同学们，不要抱怨数学题目的难度，方法总是人想出来的，

让我们享受数学，享受函数的神奇魅力。