三角形重心垂心外心内心相关性质介绍

三 角 形 的“四 心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形

时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，

即外接圆圆心。的重心一般用字母表示。

ABC

O

性 质：

1.外心到三顶点等距，即。

OAOBOC

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一

边，即.

ODBC,OEAC,OFAB

3.。

ABOC,BAOC,CAOB

111

222

二、三角形的内心

定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。的内心一

ABC

般用字母表示，它具有如下性质：

I

性 质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝三角形的周长内切圆的半径．

1





2

3.；

AEAF,BFBD,CDCE

AEBFCD

三角形的周长的一半。

4.，。

BIC90A,CIA90BAIB90C



111

222

三、三角形的垂心

定 义：三角形三条高的交点叫重心。的重心一般用字母表示。

ABC

H

性 质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，

即。

AHBC,BHAC,CHAB

2.△的垂心为，△的

ABH

C

BHC

垂心为，△的垂心为。

AB

ACH

四、三角形的“重心”：

定 义：三角形三条中线的交点叫重心。的重心一般用字母表示。

ABCG

性 质：

1.顶点与重心的连线必平分对边。

G

2.唱歌英文 重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍。

2

即

GA2GD,GB2GE,GC2GF

3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．

即.

x,y

GG

xxxyyy

ABCBCA

33

4.向量性质：（1）；

GAGBGC0

（2），

PG(PAPBPC)

5.。

SSSS

BGCCGAAGBABC

1

3

1

3

五、三角形“四心”的向量形式：

结论1：若点为所在的平面内一点，满足，

O

ABC

OAOBOBOCOCOA

则点为的垂心。

O

ABC

结论2：若点为△ABC所在的平面内一点，满足，

O

OABCOBCAOCAB

则点为的垂心。

O

ABC

结论3：若点满足，则点为的重心。

GGABC

GAGBGC0

结论4：若点为所在的平面内一奶茶仓鼠 点，满足，

GABC

OG(OAOBOC)

则点为的重心。

GABC

结论5：若点为所在的平面内一点，并且满足

I

ABC

aIAbIBcIC0

（其中为三角形的三边），则点为△乌梅汁 ABC的内心。

a,b,c

I

结论6：若点为所在的平面内一点，满足

O

ABC

222222

1

3

(OAOB)BA(OBOC)笔记本打不开 CB(OCOA)AC

，则点为的外心。

O

ABC

结论7：设，则向量，则动点的带英语怎么说 轨迹过的内心。



0,



AP()



ABAC灯笼画法简笔画

|AB||AC|

P

ABC