集合论偏序关系的实际运用

集合论偏序关系的实际运⽤

⼀、偏序关系与偏序集

（⼀）、偏序关系：

*定义：给定⾮空集合A，A≠∅，R关系是A集合上的⼆元关系，R⊆AA ,如果R满⾜以下三个性质：*

1. ⾃反性: 关系图中所有顶点都有环

（ a≤a，∀a∈P）；

2. 反对称性: 两个顶点之间有0或1个有向边

（ ∀a，b∈P，若a≤b且b≤a，则a=b）；

3. 传递性: 前提 a → b , b → c 不成⽴为默认传递 ;

前提 a → b , b → c 成⽴必须满⾜ a → c 存在 ;

（ ∀a，b，c∈P，若a≤b且b≤c，则a≤c）；

满⾜上⾯三个性质则称 R 关系是 A 集合上的偏序关系 。

符号化表⽰：

（x,y）∈ R ⇔ xRy ⇔ x ≤ y

（x,y）有序对在偏序关系 R 中，则 x 与 y 之间有 R 关系 , x ⼩于等于 y 。

（⼆）、偏序集：

*定义：≤ 关系是 A 集合上的偏序关系，则称集合 A 与偏序关系 ≤ 构成的有序对＜A，≤ ＞称为偏序集**

eg：

集合 A = { a , b } ；

p（A）= { ∅ , {a} , {b} , 旅行必备物品 {a,b}}；

⼆、偏序关系运⽤举例

设定运⽤场类似五十度灰的电影 景：在评分标准不能准确标定⽽⼜需要进⾏排序的场合，这时将成员进⾏两两⽐较，确定两者之间的好坏关系，是较为容易且准

确的⼀种⽅法。

因此在此场景采爱让生活更美好作文 取“0-1”法进⾏⽐较，两两⽐较很⿇烦，但这⾥⽤偏序关系的传递性可以减少⽐较次数，再⽤反对称性⼜可使评判再⽐赛

过程中进⾏。

设六名参赛者为A1，A2，A3，A4，A5，A6，以下为评分表格：

表中Cij再实⽤中不需要，这⾥仅为叙述⽅便⽽编排。

当A2参赛结束时，⽴即与A1进⾏⽐较，会唱歌的鸟 谁更好些，若A2好⼀些，在表1的C21位置上填1，若A1好些，则在该位置上填0。

A3参赛后，依次与Al、A2⽐较谁好些，若好⼀些为1，差⼀些为0，并把这两个⽐较出来的数依次填在C31，C32的位置上。如此下去，

直到全部选⼿参赛结束。

即 Cij = 1 当 Ai ⽐ Aj好时

0 当 Ai ⽐ Aj差时 （ j ＜ i ）

注意的是，当某⼀位选⼿⽐赛结束都要与先他参赛的每名选⼿⽐较⾯且给出谁好谁差的结论( 是 1 还是 0 )。

也可以利⽤偏序关系的传递性减少⽐较次数。当 Ai ⽐赛结束时与 A1 ⽐较 : 若 Ai ⽐心得体会200字 Al强, Ci=1。A1 所在列中有0的地⽅如 Ck1-0 (k<

1) 则 Ail = I 如此例中 A5 ⽐ A1 强C51=C31=0，C41=0 则必有 C53 = 1，C54=1 。下表是某位评判员所裁判的结果。

以 A5 ⾏为例，说明 A5 ⽐ A1 好，⽐ A2 差，⽐ A3 好，⽐ A4 好。

之后的⼯作就是对表⼆的整理，⾸先利⽤偏序关系的反对称性填充表格的上⾓，上表中虚线为对称轴，右上⾓各位置看它对称位置上的数

（如 C12 看 C21 ），若对称位置上的数为1，则它为0，反则反之。

整理后如下图：

将各⾏各列的数加起来到“总分”列中，即为得分，要注意的时，这⾥不可能有两个相等的数，否则说明评判或填表有误。

把这个列上各数加起来填⼊这⼀列最后⼀格为总分和。总分和 = m ( m - 1 ) / 2 ⾥ ( m为参赛选⼿的⼈数 ) 如本例中选⼿有 6 ⼈，即 m =

6，那末 6 * ( 6 - 1 ) / 2 - 15 。

把表中各列简单动漫 中的数加起来,填⼊最后⼀⾏ ( 即总分⾏ ) 的相应位置上。分别为其所在列上相应选⼿的失分,以虚线为对称轴和其对称位置上的

得分加起来应该等于 m-1 ( m为选⼿⼈数 ) ,减1是因为⾃⼰不与⾃⼰⽐较，这⼀⾏中各数和也等于m ( m - 1 ) / 2 ，表的最后⼀列是把各

选⼿的得分转化为⼈们习惯的百分制,本例中⽤的鲁滨逊漂流记好词好句摘抄 是 40 ( m - 1 ) * 得分数 + 60,以避免出低于 60 分的情况，最后把所有评判员有效给出的

各选⼿成绩相应加起来求平均成绩，按平均成绩⾼低排名次。不过，这时有可能出现并列名次。

***这⾥的例⼦借鉴了朱忻慈（池州师专数学系⾼讲 24700）先⽣的《偏序关系的⼀个应⽤》。