球的体积和表面积公式具体推导过程

球的体积和表面积公式具体推导过程

１.．3.2球的体积和表面积(1）

设球的半径为R，将半径ＯAn等分，过这些分点作平

面把半球切割成n 层，每一层都蛋挞头 是近似于圆柱形状的“小

圆片”,这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。

由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似

于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度，底面就

是“小圆片”的下底面。

由勾股定理可得第i层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径:

R

n

R

rR[(i1)]

i

22

n

,（i＝1，2，３，，ｎ）

第i层“小圆片”的体积为:

2

R



Ri1

3





V≈=,(i=1,2，3,，n)

r

i





1

nn



n





2

半球的体积：Ｖ半径＝Ｖ+V＋＋Vｎ

12

≈｛1＋(1－)＋（1－)+＋［1－］}



R

3222

12(n1)

222

n

nnn

］(注:＝［n-)

12•••nn(n1)(2n1)

222



R

3222

12•••(n1)

n

n

2

1

6

11



(1)(2)





R

1(n1)n(2n1)(n1)(2n1)

3

3

nn

=［n－=）＝ ①

22

•R(1





R1



n

6

6

n6n







3

当所分的层数不断增加,也就是说，当n不断变大时，①式越来越接近于半球的

体积，如果n无限变大，就能由①式推出半径的体积。

事实上，n增大,就越来越小，当n无限大时，趋向于0,这时,有

V=，所以，半径为R的球的体积为: V＝

半径

11

nn

24

33



RR



33

1 / 3

球的体积和表面积公式具体推导过程

1.．3.2球的体积和表面积(2）

球的表面积推导方法（设球的半径为R,利用球的体积公式推导类似方法)

(１)分割。把球O的表面分顿开茅塞的意思 成ｎ个“小球面片”，设它们的表面积分别是S,Ｓ,……

12

Sn，那么球的表面积为：S=S+S＋……＋Ｓｎ

12

把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来,整个球体被分成n个以“小球

面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后

就得到一个以点O为顶点，以第ｉ个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体”

的底面是球面的一部分,底面是“曲”的。如果年终奖计算方法 每一个“小球面片”都非常小，那么

“小锥体”的底面几乎是“平”的，(好象地球一样），这时,每一个“小对抗自由基 锥体”就近

似于棱锥,它们的高近似于球的半径R。

（2)求近似和。设ｎ个“小锥体”的体积分别为V，Ｖ，…,Vn

12

那么球的体积为:V＝V+V+…+Ｖｎ

12

由于“小锥体”近似于棱锥,所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的

近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点，以点O与第i个“小球面片”

顶点的连线为棱。设它的高为h，底面面积为S’,于是，它的体积为：

ii

1

h S’,（i我等候你 ＝１,2,…，n） Ｖ’=

3

1

这样就有：V≈h S’，(i=1,2,…，n)

3

1

V≈(ｈ Ｓ’＋ｈ S’ ＋…+ｈ S’） ①

3

ii怎么设置延迟到账 i

iii

11２2nn

（３)转化为球的表面积。分割得越细密,也就是每一个“小球面片”越小,“小锥体”就越接近于棱锥,如果分割

无限加细，每一进步的英语 个“小球面片”都无限变小,那么ｈ （i=1，2,…，n)就趋向于R，S最火英文歌 ’就趋向于 S,于是，由

iｉi

①可得:V＝RS

1

3

2 / 3

球的体积和表面积公式具体推导过高级英文 程

又Ｖ=，所以，有=ＲS 即: S=4R

441

33



RR

333

2

3 / 3