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不等式的基本性质

更新时间:2023-04-18 20:05:23 阅读： 评论：0


2023年4月18日发(作者：俄国新娘)课题：不等式的基本性质
课型：新授课
教学目标：
知识与技能：了解实数的基本事实，能够比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性
质并运用基本性质证明一些简单的不等式。
过程与方法：通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握
基本性质，并有运用基本性质的意识。能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式
的基本性质。
情感态度与价值观：通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，是学生掌握
类比的数学方法。
教学重点：比较两个实数的大小关系，掌握不等式的基本性质。
教学难点：通过运用基本性质来证明不等式。高三毕业评语
教学过程：
一．新知引入
以人们常用的长与短，多与少，轻与重等现实中存在的数量上的不等关系来引入数学
中人们用不等式来表示事物的不等关系。
说明研究不等式的出发点是实数的大小关系，并举例说明：
（i） 设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B
的左边时，a与b有着怎样的大小关系？（a）
（ii） 设存在a,b两个实唱京剧 数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B
的右边时，a与b有着怎样的大小关系？ (a>b)
（i）（ii）边说边在黑板上画出数轴，呈现出相应的图形，并让全班一起回答，把答案写
在对应图形的右边。
由上面两个实数的不等关系以及已经学过的等式关系，得出实数a,b存在的三种大小关系
并且构成了实数的基本事实。
a>b a-b>0.

aa-b<0.

a=ba-b=0.

引导发问：当a>b（或a）时, a-b的差是什么结果？与0比较有怎样的关系？
由上述基本事实出发，引导学生可以用什么方法比较两个实数的大小关系？（提问学生）
总结：由上述基本事实可知，要比较两个实数的大小关系，可以转化为比较它们的差与0
的大小，这是研究不等关系的出发点。
二．练习巩固
例1． 比较和的大小.（答案：> ）
(x3)(x2)(x4)(x9)
让学生思考片刻，让学生说出解答的过程，并在黑板上写出详细过程。最后总结比较外贸采购
两个实数的大小关系，可以通过考察它们的差与0的大小关系来解答，并说明这种方法是
作差比较法。
三．以旧推新
在学习和证明不等式的过程中，我们需要广泛运用基本性质，那么不等式有哪些基本
性质？我们要怎么去研究和运用不等式的基本性质？
提示语发问，引起学生思考，并且加以引导：我们已经知道实数的基本事实以及两个
实数的三种关系，而这三种关系又可以分为石家庄到威海 相等关系和不等关系。既然如此，它们之间应
该会有一定的联系，那我们可不可以试着用等式的基本性质来推出不等式的基本性质？
回顾等式的基本性质，让一些同学回答，教师再进行完善，并写在黑板的草稿区。
由等式的对称性和传递性容易得到不等式的两个性质：
性质1：a>bb对称性)

性质2：a>b,b>ca>c （单向传递性）

由等式的加减法和乘法运算法则是否可以推出不等式的相应的性质？尝试和学生一起
思考，先在黑板试着写出不等式的相应性质，并让学生在已有的经验上去说明其正误。
尝试写出杏的功效 ：

a>bac>bc


a>bac>bc

学生很容易判断前者是成立的，而后者不一定成立，与c的取值有关，从而总结得出
以下性质：
性质3：a>bac>黄河的图片 bc


性质4：a>b，c>0ac>bc

a>白酒的作用 b，c<0ac

由此可以说明性质4中大小符号的变化与所乘的乘数有关，提醒学生注意。
说明不等式除了以上性质，还有其他的基本性质：
nn
ab(nN,n2)
性质5：a>b>0 EMBED Equation.3

性质6：a>b>0 EMBED Equation.3

nn
ab(nN,n2)
给学生演示性质5,6的证明过程。
说明这些基本不等式是不等式证明和运ps怎么画表格 用的基础，提醒学生在运用这些性质时要注意实数
的符号（是否大于0）。
四．推论证明
利用不等式的基本性质还可以得出不等式的相关推论。
性质3推论：
（i） 如果a+b>c，那么a>c-b
（ii） 如果a>b,c>d,那么a+c>b+无恶不作的意思 d
（iii） 如果a>b,c>d,那么a-d>b-c
对这3个推论都让学生思考运用不等式的基本性质进行证明，1分钟后，教师在黑板上演
示推论（i）(ii)的证明过程，并强调运用的是哪个性质，推论（iii）让一个学生根据前
面的演示来回答解答过程，并要说出是依据什么性质。教师板书过程。
性质4推论：
（i） 如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd
（ii） 如果a>b>0,c>d>0，那么
让学生思考片刻证明过程，推论（i）让学生回答解答过程及依据，教师完善并板书。
推论（ii）由教师引导思考过程和方向：
ab

dc
ab1111

dcdcdc
的证法。 要证，即证，在已知c>d>0的前提，问学生
学生可能会运用函数的单调性质来证明，说明这个方法可行，并要求学生思考运用
不等式的基本性质该怎么证明，引导学生回顾比较实数大小的方法并运用基本性质证明。
11

dc
的证明过程： 让学生回答
111cd
00
cddccd
由c>d>0，得出cd>0,c-d>0,, 则，
11

dc

接着证明推论（ii）：
aa
0
cd
由a>0及性质4，得
1ab
00
ccc
由a>b>0, c>0,及性质4，得

ab

dc
。 由性质2新年微信朋友圈祝福语 得，
五．小结与作业
小结：回顾本节课的内容，重复比较两个实数大小的方法是作差比较法，回顾不等式
的基本性质及其推论，强调证明不等式的过程中要熟练运用这些基本性质及其推论。
作业：课后习题1.1的第1-4题。




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