2023年4月18日发(作者：gf1)运用排除改选定理分析解决贝特朗箱子问题
刘小龙
（湖北 武汉 430000）
摘要：[目的]分析解决贝特朗箱子问题；[方法]排除改选定理；[结果]成功解决并推广了该问
题。
本文运用排除改选定理分析解决了三门问题的前身——贝特朗箱子问题，并把该问题作了一
个适当的推广。
关键词：概率论；贝特朗箱子问题；排除改选定理
AMS分类号：60A99 肺活量技巧
中图分类号：O21
Abstract: [Objective]An达克宁栓剂
aly and solve the Bertrand's Box problem; [Metho女人脸上的痣
ds]Eliminate change
lect theorem; [Results]Solved the problem and promoted it.
In this paper, I ud the eliminate change lect theorem to solve the Be而字的用法
rtrand's box problem and
promoted it.
Keywords: probability theory; Bertrand's box problem; eliminate change lect theorem
贝特朗箱子问题也称为贝特朗箱子悖论（Bertrand's Box Paradox），在1889
年由法国的约瑟夫贝特朗所著的 Calcul des probabilits 一书中首次提出。现
有三对黑箱子，其中一对箱子中有两个红色球，一对箱子中有两个蓝色球，一对
箱子中有一个红色球和一个蓝色球。主持人要求参赛者随机的选择一对箱子，然
后主持人从参赛者选中的一对箱子中拿出一个红色球，接着主持人要求参赛者拿
出这一对箱子中剩下的一个球。请问参赛者拿出的这个球是红色球的概率是多
少？（如下图1所示）
（图1）
这里我们首先来分析贝特朗箱子问题的提法：由于在参赛者选择了一对箱子
后主持人从参赛者选中的这对箱子中拿出一个红色球，所以参赛者选中的不可能
是装有两个蓝色球的一对箱子，这里就相当于排除了参赛者首先选中装有两个蓝
色球的一对箱子的可能性，最后从剩下的四个箱子中选择一个箱子。而这种提法
又存在着自相矛盾之处——既然是随机的选择一对箱子，那么参赛者就有可能选
中装有两个蓝色球的一对箱子。所以说贝特朗在当时的这种提法是不够规范的不
够严格的。
经过上面的分析可知，贝特朗箱子问题似新年晚会主持词
乎是在描述一个排除-改选过程和
一个配对过程。那么这里作者给出一个规范的严格的贝特朗箱子问题的提法：现
有六个黑箱子和三个红色球、三个蓝色球。（黑箱子标号：1～6；红色球标号：1～
3；蓝色球标号：4～6）
过程1：主持人将六个球随机的放置在六个箱子中，并要求参赛者随机的选择一
1
个箱子。
过程2：参赛者听从主持人的命令随机的从六个箱子中选择了一个箱子。
过程3：主持人随机的拿走没有被参赛者选中的五个箱子中的两个装有蓝色球的
箱子，并要求参赛者随机的改选剩下的其他的箱子。
过程4：参赛者听从主持人的命令随机的改选了剩下的另一个箱子。
过程5：主持人首先将剩下的五个箱子中随机的选一个装有红色球的箱子与参赛
者选中的箱子组成一对，然后将剩下的两个箱子组成一对，再然后将之前拿走的
两个装有蓝色球的箱子拿回来并组成一对。（如下图2所示）
请问：参赛者选中红色球的概率是多少？
（图2）
这里，我们这样分析：
以上贝特朗箱子问题的提法的过程分为两大类：第一类：排除-改选过程（过
程1～4），第二类：配对过程（过中国好声音歌曲
程5）。这里很明显的配对过程并不影响整个问
题最后的结果即参赛者选中红色球的概率大小，并且整个问题的过程和条件满足
排除-改选定理的要求。这里，运用排除-改选定理很快的
=m3,=n6,=k2,=i1
有。
P=
3
4
这里，我们再把贝特朗箱子问题进行适当的推广：
现有个黑箱子和个红色球、个蓝色球。（黑箱子标
2p+2q+2r2p+r2q+r
号：；红色球标号：；蓝色球标号：
1~2p+2q+2r1~2p+r
2q+r+1~2p+2q+2r
）
()
p,q,r∈N
*
过程1：主持人将个球随机的放置在个箱子中，并要求
2p+2q+2r2p+2q+2r
参赛者随机的选择一个箱子。
过程2：参赛者听从主持人的命令随机的从个箱子中选择了一个箱
2p+2q+2r
子。
过程3：主持人随机的拿走没有被参赛者选中的个箱子中的个
2p+2q+2r−12q
装有蓝色球的箱子，并要求参赛者随机的改选剩下的其他的箱子。
过程4：参赛者听从主持人的命令随机的改选了剩下的另一个箱子。
2
过程5：主持人首先将剩下的个箱子中随机的选一个装有红色球的箱子与
2p+2r
参赛者选中的箱子组成一对，然后随机的将剩下的装有蓝色球的箱子与装有红色
球的箱子组成一对，再然后随机的将剩下的装有红色球的箱子两两组成一对，最
后将之前拿走的个装有蓝色球的箱子拿回来并随机的组成一对。（如下图3所
2q
示）
请问：参赛者选中红色球的概率是多少？
（图3）
同理，这里，运用排除-改选定理很快
m=2p+r,n=2p+2q+2r,k=2q,i=1
的有。
P=
2p+r
2p+2r
1
是由于完全没有深入分析清楚整个事件的过程历史上有错误答案一：
2
P=
所导致的；错误答案二：则是由于没有深入分析清楚整个事件的过程并且
P=
2
3
错误的认为与剩下的蓝色球配对的红色球是确定的某一个红色球所导致的。
到了这里，困扰人类一百三十年的一类问题——贝特朗-霍尔问题圆满的得
到了解决。
参考文献：无
作者信息：
姓名：刘小龙 芦荟的英文
性别：男
年龄：30岁 东北四大顺口溜
工作单位：自由职业者
所在地区：中国-湖北-武汉 ORCID:0000-0003-1780-3048
通讯E-mail:2377460877@
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