2023年4月18日发(作者：我会更好的)[科目] 数学
[关键词] 无理数/有理数/勾股定理/整数/正方形
[文件] s
[标题] 无理数的发现
[内容作文《这就是我》
]
无理数的发现
在人们对数的认识过程中，首先接触到的是自然数1，2，3„„。这些数可用于数离散
对象的个数。但在实际生活中有些对象不能简单地用数的方法来度量。比如长度，只能通过
测量的方法来进行。在测量一个物体的长度时，是将它的长度与所取的单位长度进行比较，
其结果可能会出现分数。我们定义有理数为两个整数之比，其中q≠0，就是这个道理。
p
q
有理数有一种简单的几何解释。在一条水平的直线上，确定一段线段为单位长度，把
它的左、右端点分别标设为0和1。正整数在0的右边，负整数在0的左边。对于分母q的
有理数，就可以用把单位区间q等分的那些分点表示。因此，每一个有理数都可以找到数轴
上的一点与之对应。起初人们认为，这些有理数的对应点充满了整条直线（如图1）
但是，古希腊的毕达哥拉斯学派的人发现了直线上还存在着不与任何有理数相对应的
点。特别是他发现了这样的一点P，使得OP的长度恰好等于以单位长度1为边长的正方形
的对角线的长度（如图2）。后来，他们又发现了更多这样的点，它们也都不对应于任何睡的成语
有
理数。因此，只有发明一些新的数来与这样的点对应，但这些数又不可能是有理数，所以把
它们称为无理数。实际上，有理数和无理数的英文原名为“ration优美段落100字
al number”和“irrational
number”,把它们叫做“比数”和“非比数”可能更为恰当，也更能体现它们本身的性质。
根据勾股定理，边长为1的正方形其对角线长度。毕达哥拉斯学派是用下面的方法
2
来证明是无理数的：
2
假设是有理数，即=，其中p和q是互素的整数，于是
22
p
q
p=q
2
两边平方得：
P=2q
22
22
于是泮托拉唑钠
P是一个整数的2倍，所以P必须是偶数，从而a也必须是偶数。令p=2r，这时上面
最后一个等式就变成
4 r=2 q
22
即
2 r= q
22
由此可知，q是偶数，从而p与q均为偶数，这与我们的假设p与q互素相矛盾。因此
2
2
是有理数的假设不成立，也就是说是无理数。
2
在毕达哥斯学派之后，施乐尼的泰奥多勒斯（Theodorus,约公元前425年）又证明了、
5678
、、、、、、、、、、也是无理数。泰
3
10131517
111214
奥多勒斯的构造方法如下图3：
毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数”。他们认为的数，就是比数或者有理数，突然间冒
出来他们无法处理的非比数或者无理数，引起了毕达哥拉斯学派的极大震惊和恐慌，这对于
基于整数或整数比的毕氏学派哲学来说，简直是一次致命的打击。
另外，作为非比数的无理数，也很难被人们的直观感觉所接受。受。通常人们以为，
如果给定两条线段，必定能够找出第三条线段，使得给定的两条线段都包含这个线段的整数
倍购房合同书
。也就是说，人们从直觉上相信，任意两个同类量是可通约的，或者说是可公度的。毕氏
学派关于比例理论的所有结论都建立在可通约量之上。作为非比数的无理数的发现，实际上
是发现了不可通约量或称不可公度比。发现了无理数的毕达哥拉斯学派。为了掩饰这～发现
与他们我的职业规划
的信条之间的矛盾，在很长一段时间，他们费了很大精力保守这个秘密，不准外传。
据说，毕氏学派的一个成员希帕苏斯（Hippasus）把这个秘密泄露了出去，结果竟然被该学
派的忠实信徒们扔进了大海；另外一个说法是他被开除出学派，别人把他当成死人，还为他
立了一块墓碑。
关于有理数（比数）和无理数（非比数）的问题，也就是不可公度比以及一切量的比
例问题，直到大约公元前37O年，由古希腊数学家欧多克索通过给比例下新的定义的办法
解决了。最后用英语怎么说
他的处理不可公度比的方法，后来出现在欧几里得的《几何原本》中，并且与无理
数的现代解释是班级工作
基本一致的。但是，古希腊人仍然对无理数存有戒心。他们在算术、代数里
坚持排斥无理数，只是在几何里不得不承认不可公度量。其结果是，数与量分而治之，算术、
代数的发展受到极大的限制，而几何学却得到充分发展，使得古希腊数学的 发展不平衡，
向几何学倾斜，这种影响在西方持续了近2000年。与东方数学较早接纳无理数，算术和代
数蓬勃发展形成了分辨近义词
鲜明的对照。
最后，我们留一个关于不可公度比的问题请读者思考：证明正五边形ABCDE中（如图
4），边长a与对角线b之比是一个“非比数”。
提示：如图，b=a+r, a=r+r, r=r+r=r+r
1写给老师的感谢信
121231k-1kk+1
,…r…,如此永远继续下去，永无止境！
