2023年4月18日发(作者：母亲的歌)高中数学：均值定理、均值不等式的证明及应用
知识梳理
1. 基本不等式
，
若a>b>0，m>0，则；
若a，b同号且a>b，则。
2. 均值不等式：
两个正数的均值不等式：，变形式：
，等。
3. 最值定理：设
（1）如果x，y是正数，且积，则x＝y
时，
，则x＝y（2）如果x，y是正数，且和
时，
运用最值定理求最值的三要素：一正二定盆架子树
三相等。
典型例题
知识点一：利用均值不等式求最值
例1：已知且满足，求的最小值。
分析：利用，构造均值不等式。
利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即
（1）要求各数均为正数；（2）要求“和”或“积”为
定值；（3）要注意是否具备等号成立的条件。
解析：∵，
，
∴，，当且仅当时等号
成立，即，∴，又，∴ ∴当
时，有最小值18。
例2：（1）已知0＜x＜，求函数y＝x（1－3x）的最
大值；
（2）求函数y＝x+的值域。
分析：（1）由极值定理，可知需构造某个和为定值，
可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）
中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分
x＞0与x＜0两种情况讨论。
利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，
为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的
条件是否具备。
解析：（1）解法一：∵0＜x＜，∴1－3x＞0。
∴y＝x（1－3x）＝3x（1－3x）≤［］
＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立。
2
取得最大值，∴x＝时，函数
解法二：∵0＜x＜，∴－x＞0。
∴y＝x（1－3x）＝3x（－x）≤敏锐
3（）＝，当
且仅当x＝－x领洗
，即x＝时，等号成立。
∴x＝时，函数取得最大值。
2
（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y＝
x+≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立。
］。当x＜0时，y＝x+＝－［（－阴阳两极
x）+
，即∵－x＞0，∴（－x）+≥2，当且仅当－x＝
x＝－1时，等号成立。
∴y＝x+≤－2。
综上，可知函数y＝x+的值域为（－∞，－2］∪［
2，+∞）。
知识点二：利用均值不等式证明
例3：已知，求证：柚子品种
。
分析：因为是轮换对普通员工个人工作总结
称不等式，可考虑由局部证整体。
综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它
们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有
时要适当变形。
解析：，
相加整理得。
当且仅当时等号成立。
例4：已知a，b为正数，求证：≥。
分析：观察式子结构，用基本不等式加以证明。
当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻
求证题思路。农历表
“分析法”与“综合法”是数学推理中常
用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对
解决实际问题有重要的作用。这两种数学方法是高考考
查的重要数学思维方法。
解析：解法1：∵a>0，b>0，
∴≥，
， ≥
两式相加，得
≥，
∴≥。
解法2：≥
。
∴≥。
解法3：∵ a>0，b>0，∴，
∴欲证 ≥，
即证 ≥，
∵ （a－b）
2
≥0成立，∴原不等式成立。
知识点三：均值不等式在实际中的应用
例5：某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每
生产千件，需另投入成本为。当年产量不足80千
件时，（万元）；当年产量不小于80千件
时，（万元）。每件商品售价为0.05
万元。通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函
数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一暂停英语
商品的生产中
所获利润最大？
分析：凑出基本不等式的形笛子怎么吹响
式。
求形如的函数的最值时可考虑用均值不等
式，但要注意条件的限制，可借助函数的图象解题。
解析：（1）当时，
当时，
∴
（2）当时，，此时，当时，
取得最大值（万元）；
当时，
此时，当时，即时，取得最大值1000
万元。
所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利
润最大，最大利润为1000万元。
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