2023年4月17日发(作者：商品编号)二项式中“最大项、最小项”的求解策略
二项式定理中涉及最大项、最小项的问题比较多，问题的给出都是满足一定条件的指定
项或特殊项，通常都可以利用通项来解决．在求解中，要注意系数的符号对求解的影响及项
的系数与二项式系数的异同．
１．二项式系数最大项问题
例１ 已知
(2x)
n
的展开式中，第５项、第６项、第７项的二项式系数成等差数列，
求展开式中二项式系数最大的项．
1
2
分析：要注意展开式中二项式系数与项的系数的区别，根据条件．先确定的值，再根
n
据二项式系数的性质求解．
456
解：
(2x)
的展开式中，第５项、第６项、第７项的二项式系数分别为．
C,C,C
nnn
1
2
n
2
465
由题意得
CC2C
nnn
，即．∴＝７或＝14．
n21n980
nn
和，
，．
7777
当=7时，展开式中二项式系数最大的项为
n
TT
45
∴
TC()(2x)xTC()(2x)70x
4757
34334344
1351
222
当＝14时，展开式中二项式系数最大的项为
n
T
8
，∴．
TC()(2x)3432x
814
1
2
评注：求二项式
()
ab
n
系数最大的项，根据二项式系数的性质，为奇数时中间两项
n
的二项式系数最大，为偶数时中间一项的二项式系数最大．
n
２．二项展开式中系数最大项问题
n
例２ 已知
(13)
x
的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数
最大的项．
n2n1n
解：末三项的二项式系数分别为，
C,C,C
nnn
由题设，得，即
CCC121CC1121
nnnnn
n2n1n21
．
∴
nn2400
2
， ∴舍去）．
n15(n16
rrrrr
∵，
TC(3x)C3x
r11515
设项和的系数分别为，和，
TT
rr2
项，
Tt,tt
r1rr1r2
r1rr1r1rr1
则．
tC3,tC3,tC3
r15r115r215
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rrr1r1
C3C3,
1515
设最大，则 可知＝11或=12．
t
r1
rr
rrr1r1
C3C3
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15
111211111212
∴展开式中系数最大的项是
TC3x,TC3x
12151315
．
例３ 求
(12x)
7
展开式中系数最大的项．
解：展开式共有８项，系数最大的项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，
又因
(12x)
7
括号内的两项中后项系数的绝对值大于前项系数绝对双线触电
值，故系数最大的项必
在中间或偏右，故只需比较
T
5
和两项系数大小即可．
T
7
434
TC(2)C
577
系数
444
，所以系数最大的项是第五项，
．
661
1
TC(2x)560x
57
TC(2)4C
777
系数
评注：求二项展开式中系数最大的项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数
的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得，也可通过对问题的分析和推
理，使解题过程得到简化．
３．二项展开式中指定项系数最大（小）项问题
例4 已知的展开式中含项的系数为11，求
fxxxmnN
()(1)(12)(,)
mn
x
f(x)
展开式中项系数的最小值．
x
2
0011222
，
解：∵＝
f(x)
(CC)(CC)x(CC)x
mnmnmn
∴
CC2m2n11
mn
，∴
m112n
∴
C2C4n23n55
mn
＝
4(n)
2222
11
23351
2
816
∵，∴＝3时，上式有最小值22．即展开式中
nN
n
f(x)
x
项系数的最小值是22.
2
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评注：对于此类问题，可利用二项式定理展开，求三年级小学生周记
出
x
2
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数，再将问题转化为二
次函数知识进行求解．
４．展开式中最大项（数值）问题
展开式中第几项最大？
例５ 设，试问
x2
(1x)
50
解：设第＋１项为且最大，则有
r
T
r1
rrr1r1
TT
r1r
C(2)C(2)
5050
r29
．
rrr1r1
TT
r1r2
C(2)C(2)
5050
∴
(1x)
50
展开式中第30项最大．
