2023年4月17日发(作者：沪崇高速)27_正定矩阵
这个主题把整门课程融为⼀体
主元⾏列式崭新的反义词是什么
特征值还有新知识不稳定性
还有新表达式xAx
T
第⼀个⽬标是怎么帕努但⼀个矩阵是否是正定的？
为什么我们对正定性这么感兴趣？
从22矩阵开始
①1>0,2英语对话短文
>0 特征值判定
②a>0,ac-b>0 ⾏列式判定，所有⼦⾏列式均正
2
③主元都⼤于0，a>0,(ac-b)/a>0（第⼀个主元，第⼆个主元通过⾏列式除以第⼀个主元获得）
2
④*xAx>0 最重要的
T
让我们看看为什么它们是可靠的
举⼏个例⼦
处填多少它是正定的19
如果是临界点18，称这个矩阵为半正定的
半正定的矩阵的⾏列式为0
特征值为0和20
矩阵的主元 ：only2
所以通过主元看不出来
让我们尝试⼀下新⽅法
xAx
T
第⼀点，计算出乘法后，⼀旦给定矩阵，这⾥的纯⼆次形式的式⼦的系数定了
如果？=7呢
先来画⼀下图：
f(x,y)=xAx=ax+2bxy+cy
T22
A=[2 6;6 7]
画⼀下2x+12xy+7y图像
22
这会是个马鞍⾯，原点是个马鞍点，在某个⽅向是极⼤值，在某个⽅向是极⼩值
如果是A=[2 6;6 20]
画⼀下2x+12xy+20y图像
22
我相信这个函数除了0点处处为正
如何检验？
图像应该为什么样？
图像应该为什么样？
像⼀个碗状
我们知道它的⼀阶导数都为0，但水饺的英语
这不⾜以说明是极⼩值，像上⾯的马鞍⾯
⼆阶导数决定⼀切
微积分中怎么判断极⼩值？
通过⼀阶导数看极值
通过⼆阶导数看极⼤还是极⼩
⼆阶导数为正，在这⾥编程⼆阶导数矩阵的正定性
求解极⼩值：
Calculus：⼀阶导数为0，⼆阶导数>0
Linear Algebra：f（x1,x2,…xn）⼆阶导数矩阵是正定的
证明2x+12xy+20y总正的最好⽅法是什么？
22
平⽅和形式
原式=2[(x+3y)+y]，显然除了（0，0）为正
22
如果？是7呢
2x+12xy+7y
22
上式=2[(x+3y)]-11y
22
如果？是18，恰好没有中括号外的y
2
现在我们可以看出，这个形状像⼀个bowl
跟着它向上⾛
如果做个切⾯会得到⼀个曲线
如果在⾼度为1的地⽅？
2[(x+3y)+y]=1
22
是个椭圆
实际上，我们已经将知识融合起来了
如果我们在马鞍点的情况下切割，会得到双曲线
再来看⼀下这个慵懒时光
式⼦
2(x+3y)+2y=1
22
这些系数很重要
配⽅实际上就是消元
2(x+3y)+2y=1
22
完成配⽅后刺杀贼天赋
，括号外边的系数2和2就是主元，正主元就是正的平⽅和
结束22之前，看⼀下⼆阶导数矩阵
上⾯写到过⼆阶导数矩阵，什算平方面积的公式
么是⼆阶导数矩阵？
为了存在极⼩值fxx必须为正，fyy必须为正，它们还必须⾜够⼤，来抵消混合倒数产⽣的影响
在微积分中⼆元函数什么时候有极⼩值？
条件是⼀阶导数必须为0，fxxfyy>fxyfxy，那正是这⼉的矩阵正定所满⾜的条件
33
先问⼏个问题
它是正定的吗
和它关联的函数是多少？
xAx是多少？
T
函数原点是什么样的？
判断正定，最快⽤⼦⾏列式的⽅法
dets 2，3，4
主元的乘积等于⾏列式
p1=2,p1p2*属虎的年份表
p3=4,p3=4/3
p2=3,p2=3/2,p1
pivots 2，3/2，4/3
eigenval100个好句
ues(特征值)？
我认为应该是2-√2，2，2+√2
检验⼀下，迹=6=2-√2+2+2+√2
⾏列式=4=（2-√2）（2+√2）=4
2
xAx=2x+2x+2x-2xx+0xx-2xx>0
T222
123121323
图像还是像bowl
如果切割这个图像，现在是四维劳动法规定工作时间
，如果我们在 “⾼度”为1切割，将会得到⼀个椭圆体。
椭圆体像
2和3相等
类似于矩阵有⼀重复特征值
球体就是单位矩阵，所有特征值相同
但是最典型的情况是三个特征值均不同
长轴，中轴，短轴
轴的长度由特征值决定
如何把刚才讲的转化到代数上？
A=QQ
T
这是主轴定理
特征向量决定主轴⽅向，特征值决定轴长度
或者半长，或者特征值导数
到此为⽌，对称矩阵的对⾓化是特征值中最重要的分解
