2023年4月17日发(作者：小学家长会ppt)数学及其分支5：欧氏几何与罗氏几何
数学及其分支5：欧氏几何与罗氏几何
早在公元前3世纪，古希腊人欧几里德就写了一本名叫《几何学
原理》的cpu过热
书，书中整理了大量希腊人的几何学发现，特别是将那个时
代的三大发明纳入这本书中。欧几里德收入的这些几何学理论直到今
天仍对数学家们有很大的启发。
古希腊数学家欧几win10图片
里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公
理，在此基础上研究党校培训
图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，
形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这
一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上
或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。
非欧几里德几何（Non-Euclidean geometry）是一门大的数学
分支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。
所谓广义式泛指一切和欧几里德几何不同的几何学，狭义的非欧氏几
何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧氏几何，就是指罗氏
几何和黎曼几何这两种几何。
罗氏几何（罗巴切夫斯基1[1]几何），又称双曲几何，是非欧几
里德几何的一种特例，专门研究当平面变成鞍马型之后，平面几何到
底还有几多可以适用，以及会有什么特别的现象产生。在双曲几何的
环境里，平面的曲率是负数。
罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方，仅仅是把欧式
一对分散直线在其唯一公垂线两侧无限远离几何平行公理，用“从直
1[1] 尼古拉伊万诺维奇罗巴切带生的成语
夫斯基（俄语：?
? ?，1792年12月1日－1856年2
月24日），俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之一。自1811年，他便在
喀山大学任教，并曾任校长。他教授了许多数学、物理和天文的课程，还以讲
解清晰详细著称。在数学上，他独立发展非欧几何和实数上的函数定义。
线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理
基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式
几何内容不同的新的几何命题。
罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因
此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，
在罗式几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的
命题，在罗式几何中都不成立，他们延龄长春胶囊
都相应地含有新的意义。下面举
几个例子加以说明：
欧式几何：
同一直线的垂线和斜线相交。
垂直于同碗英语怎么说
一直线的两条直线互相平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以作且仅能作一个圆。
罗式几何：
同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能作一个圆。
从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到，这些命题和我们
所习惯的直观形象有矛盾。所以罗式几何中的一些几何事实没有像欧
式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们
习惯的欧式几何中的事实，作一个直观“模型”来解释罗式几何是正
确的。
1868年，意大利数学家贝尔特拉米发表了一篇著名论文《非欧几
何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟
球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧
几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没
有矛盾。
人们既然承认欧几里得是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几
何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术
界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到
学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的
哥白尼”。
