2023年4月17日发(作者：dr机)近世代数知识点
第一章 基本概念
1.1 集合
A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2.
A
1.2 映射
证明映射：
单射：元不同，像不同；或者 像相同，元相同。
满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark： 映射满足结合律！
1.3 卡氏积与代数运算
{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有越过绵绵的高山
序元素对，所以一般A*B不
等于B*A.
集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4 等价关系与集合的分类
★ 等价关系：1 自反性：∀a∈A,aa;
2 对称性：∀a,b∈R, ab=>ba∈R;
3 传递性：∀a,b,c∈R,ab,bc =>ac∈R.
Remark：对称+传递≠自反
★ 一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系
★ 不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。
第二章 群
半群
1. 半群=代数运算+结合律，记作（S,）
Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，
观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即ab=ba,则称为交换半群。
2. 单位元
i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都
不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii. 单位元具有唯一性，车标壁纸
且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii. 在有单位元的半群中，规定a=e.
0
3. 逆元
i. 在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii. 逆元具有唯一性，记作a且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
-1
iii. 若一孝庄皇后和多尔衮是什么关系
个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。
4. 子半群
i. 设S是半群，≠TS,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半
群
ii. T是S的子半群a,bT,有abT
群
1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元
Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.
ii. 加群=代数运算为加法+交换群
iii.单位根群Um={ =1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵
m
集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(给女生道歉的话
n,p).
2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元
=代数运算+结合律+单位元+逆元
=代数运算+结合律+G,ax=b,ya=b有解
∀a,b
3. 群的性质
i. 群满足左右消去律
ii.设G是群，则G,ax=b,ya=b在G中有唯一解
∀a,b
iii.e是G单位元⇔ e=e
2
iv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群
4. 群的阶
群G的阶，即怎么让头发变蓬松
群G中的元素个数，用表示。若为无限群，则=。
Remark：i.克莱因四元群是一个Abel群
ii.四阶群只有克莱因四元群和模4的剩余类群
元素的阶
1. 定义：19画的字
设G是一个群，aG,使得am=e成立的最小正整数m称为元素a
的阶，记作=m;若m不存在，则
2. 阶的性质
①G是一个群，aG,=m,
i. a=emn;
n
ii. a=am;
hk
iii. e=a,a,a,……a两两不同；
012m-1
iv. ★∀rZ,a=
r
Remark: i. ∀rZ,a=m
r
(m,r)=1;
N,则 ii.若m=st,s,t
a=t.
s
②
，
i.
a=en=0;
n
ii.
iii.
iv. a=.
;a=a
hk
……a,a,a,a,a……两两不等
-2-1012
∀rZ{0},
r
a<,b<,ab<…… Remark:
定理：有限群中的元素的阶均有限。
Remark：定理的逆不成立，即群中所有的元素的阶都有限，但群不一定是有
限群，例如n次单位根群。单位根群是一个无限交换群。
3. ★★循环群
定义：设G是群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都是a
的幂，则称该群为循环群，a为该循环群的生成元。记G=(a).
Remark:生成元不一定唯一，例如（Z,+）,1，-1都是生成元。
定理：设G=（a）是一个循环群，
（1） 若,则G是含m个元素的有限群，且G={
（2） 若，则G是无限群，且G={
定理：设G=（a）是一个循环血怎么洗
群，
（1） 若,则G有(m)个生成元：a,(r,m)=1
（2） 若，则G有两个生成元：a,a
（3） 若,ar是G的生成元a=m;
r
-1
r
a,a,a……a}；
012m-1
……a,a,a,a,a……}.
-2-1012
（4） 设p是素数，则P阶循环群G=(a)有p-1个生成元：a,a……a
2p-1
Remark：(m)表示小于m，且与m互素的非负整数的个数
素数阶群一定是循环群。
★定理：设G是m阶群,则 G是循环群G有m阶元
子群
定义：设G是半群，≠HG,若H对G的宫灯简笔画
运算构成群，则称H是G的子群，
记为HG.
1. 子群的性质
（1） 传递性：HK，KG，则HG;
（2） 保单位元：设HG，aH,则e=e 柚子茶的做法
HG;
（3） 保逆元：设HG，aH,则a=a.
-1-1
HG
★定理：设G是半群，≠HG, HG∀a,bH,有
ab,aH∀a,bH,abH
-1-1
