余弦定理

更新时间:2023-04-17 13:32:48 阅读：评论：0

2023年4月17日发(作者：动物过冬的方式有哪些)余弦定理
余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦
值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推
广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边
角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边
及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦
定理加以变形并适当移于其退休返聘它知识，则使用起来更为方便、
灵活。
如下图所示，在△ABC中，
余弦定理表达式1
三角形

同理，也可描述为：

1

勾股定理是余弦定理的特例，当为时，
，余弦定理可简化为，即勾股定理。
余弦定理表达式2

余弦定理表达式3（角元形式）

平面几何法证明一
2

平
面几何法证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，将c边写：

将等式同乘以c得到：

对另外两边分别作高，运用同样的方法可以得到：

将两式相加：

3

平面几何法证明二
如图所示，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作AD⊥BC
于D，则AD=c*sinB，DC=a-BD=a-c*cosB
在Rt△A分手情人 CD中，
b=AD+DC=（c*sinB）+（a-c*cosB）
=csinB+a-2ac*cosB+ccosB
=c（sinB+cosB）+a-2ac*cosB
=c+a-2ac*cosB

利用正弦定理证法
在△ABC中，
sinA+sinB-sinC
4

=[1-cos（2A）]/2+[1-cos（2B）]/2-[1-cos（2C）]/2
（降幂公式）
=-[cos（2A）+cos（2B）]/2+1/2+1/2-1/2rom是什么 +[cos（2C）]/2
=-cos（A+B）cos（A-B）+[1+cos（2C）]/2（和差化积）
=-cos（A+B）cos（A-B）+cosC（降幂公式）
=cosC*cos（A-B）-cosC*cos（A+B）（∠A+∠B=180-∠C
以及诱导公式）
=cosC[cos（A-B）-cosC*cos（A+B学习英语的建议）]
=2cosC*sinA*cinB（和差化积）（由此证明余弦定理角元
形式）
设△ABC的外接圆半径为R
∴（RsinA）+（RsinB）-（RsinC）=（RsinA）*（RsinB）
*cosC
∴a+b-c=2ab*cosC（正弦定理）
∴c=a+b-猴和什么属相相冲相克 2ab*cosC
平面向量证法
∵如图，有a+b=c（平行四边形定则：两个邻边之间的对
角线代表两个邻边大正能量语句小）
5

∴cc=（a+b）（a+b）
∴c=aa+2ab+bb∴c=a+b+2|a||b|（-）
cos
（以上粗体字符表示向量）
又∵（-）=-（诱导公式）
coscos
∴c=a+b-2|a||b|
cos
此即c=a+b-2abC
cos
即C=（a2+b2-c2）/2*a*b
cos
同理可证其他，而下面的C=（c2-b2-a2）/2ab就是将
cos
cosC
移到左边表示一下。
平面向量证法
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下三
种需求：


当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角
的对边。
6




当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个
内角。



当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面
积。


求边
余弦定理公式可变换为以下形式：

因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理
得出已知角的对边。
求角
因为余弦函数在

上的单调性，可以得到：
7

因此，如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理得到三
角形的三个内角。
求面积
由面积公式

知如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理求出一个内
角，从而得到三角形的面积。
判定定理一两根判别法
若记m（c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表
达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取
减号的值。
①若m（c1,c2）=2,则有两解；
②若m（c1,c2）=1,则有一解；
③若m（c1,c2）=0,则有零解（即无解）。
8

注意：若c1等于c2且c职务职级 1或c2大于0，此种情况算到第
二种情况，即一解。
判定定理二角边判别法
一、当a>bsinA时：
①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解；
②当b>a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时,则有零解
（即无解）；
③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；
④当b=a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时,则有零解
（即无解）；
⑤当b时，则有一解任重道远造句。
二、当a=bsinA时：
①当cosA>0（即A为锐角）时,则有一解；
②当cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无
解）。
三、当a时,则有零解（即无解）。
四、例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的
内角。
9

解：设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.
由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。
由余弦定理：
cosA=0
所以∠A=90。
再如：△ABC中,AB=2，AC=3，角A为60度，求BC之长。
解：由余弦定理可知：

=4+9-223cos60
=13-12x0.5
=7
所以

（cos60=）
以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。

10

本文发布于:2023-04-17 13:32:48，感谢您对本站的认可！

本文链接：https://www.wtabcd.cn/fanwen/fan/89/834259.html

上一篇：泥孩子

下一篇：重装机兵3攻略

标签：余弦定理

留言与评论（共有 0 条评论）