2023年4月17日发(作者：开关英文)第二节洛必达法则
洛必达
(1661–1704)
法国数学家,
他著有《无穷小分析》
(1696),
并在该书中提出了求未定式极
限的方法, 后人将其命名为“洛必达法
则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出
的摆线难题,
以后又解出了伯努利提出的“最速降
线”问题,
在他去世后过年哪里好玩
的1720 年出版了他的关于圆
锥曲线的书.
例1
求lim.
tan
x
x→0
x
例2
求lim.
x3x2
3
−+
x→1
x−x−x+1
32
一、型及型未定式解法:洛必达法则
0∞
0∞
定义
如果当x→a(或x→∞)时,两个函数f(x)
与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那末极限
x→a
lim称为或型未定式.
f(x)0∞
(x→∞)
F(x)0∞
定理1.
1)limf(x)=limF(x)=0
x→ax→a
2)f(x)与F(x)在U(a)内可导,
且F(x)≠0
′
3)lim
x→a
f(x)
′
F(x)
′
存在(或为)
∞
lim=lim
f(x)f(x)
′
x→ax→a
F(x)F(x)
′
(洛必达法则)
−
arctan十万左右的suv哪款好
x
例3
求.
2
x→+∞
lim
1
()
0
0
x
1
二、
∞
∞
型未定式
定理2.
1)limf(x)=limF(x)=∞
x→ax→a
2)f(x)F(x)U(a),
与在内可导
且
F(x)≠0
′
3)lim
f(x)
′
x→a
F(x)
′
存在(或为∞)
x→ax→a
lim=lim
f(x)f(x)
F(x)F(x)
′
′
(洛必达法则)
例5例5
求.求
lim
tan
xx
∞
x→x→
22
tan3xx
()
∞
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法结合使用，特别是等价无穷
小的替换，效果更好.
例6
求lim.
tanxx
−
x→0
xtanx
2
例4
求
lim.
lnsinax
x→0
+
lnsinbx
()
∞
∞
lim
tan
tan3
.
()
∞
∞
解
原式==
li我和妻子
mlim
cxcos3x
22
1
xx→
→
3c3xcosx
22
22
3
=
16cos3sin3
−
xx
32cosxsinx
lim
sin6
x
x→
2
−
=
lim
x
→
2
sin2x
=
lim
6cos6
x
=3.
x
→
2
2cos2x
2
2.∞−∞型
例8
求lim().
11
→0x
sinxx
−
例9
求limx.
x
+
x→0
lim
lnx
x→0
+
1
解
原式=lime
limxlnx
x
x→0
+
=e
x→0
+
xlnx
1
=e
lim
x
x
→0
+
1
=e
−
x
2
=e
0
=1.
三
二、0⋅∞,∞−∞,0,1,∞型未定式解法
0∞0
1.0⋅∞型
例7
求xlime.
−2x
x→+∞
3.0,1,∞型
0∞0
1
1
例10
求limx.
1−x
x→1
例11
求lim(cotx).
+
ln
x
x→
0
3
1
例10
求limx.
1−x
x→1
(1)
∞
1
1
lnx
解
原式=lime
x→
1
1x
−
lnx
=e
x→1
lim
1−x
=e
lim
x
x→1
−1
=e
−1
.
1
例11
求lim(cot).
x→0
xln
+
x
(∞)
0
11
解
取对数得(cotx)=e,
lnln
xx
⋅ln(cotx)
−⋅
11
∵
limln(cot)
1
→0x
ln
x
=
lim
cotsin
xx
2
+
⋅x
x→0
+
1
=
lim
−x
=−1,
x
x→0
+
cossin
x⋅x
∴原式=e.
−1
xxxx
例12例12
lim(),0,0.lim(),0,0.
a+ba+b
11
求其中a>b>求其中a>b>
x→0x→0
22
xx
例13
求lim.
x+cosx
x→∞
x
注意：
洛必达法则的使用条件．
0
∞−∞
通分取对数
0
0
0建筑实习报告
取倒数
转化转化转化
∞
0⋅∞
1
∞
∞
∞
0
解
xx
11a+b
xx
()
a+b
xx2
ln
2
=e
1a+bln(a+b)吉他入门歌曲
−ln2
xxxx
limln=lim
x→0x→金代表什么生肖
0
xx
2
alna+blnb
xx
=lim
a+b
xx
lnln
a+b
x→0
1
==ab
2
ln
原式=e=ab
lnab
三、小结
洛必达法则
0,1,∞型
0∞0
g
0
令
y=f
∞−∞型
取对数
0
型
f−g=
1g−1f
1g⋅1f
∞
0⋅∞型
∞
型
f⋅g=
f
1g
4
思考题
设是不定型极限，如果的极
lim
f(x)f(x)
′
g(x)g(x)
′
限不存在，是否
f(x)
g(x)佘山欢乐谷
的极限也一定不存在？
举例说明
.
思考题解答
不一定．
例
f(x)=x+sinx,
g(x)=x
显然
lim
fx
′
()
1cos
+x
x→∞
gx
′
()
=
lim
x→∞
1
极限不存在．
但
l潮汕童谣
im=
fx
()
x→∞
g(x)
lim
x+sinx
x→∞
x
=1
极限存在．
5
