2023年4月17日发(作者：t328)
惯性矩及惯性积
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讨论物体的平面动力学时，需介绍对通过质心 G 且与运动平面垂直的轴之惯性矩
I 。在三维动力分析时， 有时需计算六个惯性量。 这些项称为 惯性矩及惯性
G
积 (moments and products of inertia)，其以特殊方式描述物体相对于一已确定方
向及原点的坐标系统的质量分布。
惯性矩 考虑下图所示的刚体， 物体的微分元素 dm 对三坐标轴的任一轴的 惯性矩
(moment of inertia)可定义为：元素的质量和此元素到该轴的最短距离的平方
之乘积。例如，如图中所标示的，故 dm 对 x 轴的质量惯性矩为
物体的头皮痛是什么原因
质量惯性矩 I 为上式对整个物体的质量积分。因此，对各轴的惯性矩可
xx
写成
在此可看出惯性矩必为正的量，由于此量是质量 dm 与距离平方的乘积之和，而质
量 dm 必为正。
惯性积 微分元素 dm 相对于一组相互正交的两平面的 惯性积 (product of inertia) 定
义为：质量元素与至各平面的垂直 (或最短 )距离的乘积。例如，相对于 y-z 及 x-z
平面，上图的质量元素的惯性积 dI 为
xy
dI = xydm
xy
同时注意 dI = dI。对整个质量积分，物体对各平面组合的惯性积可表示为
yxxy
不像惯性矩必为正， 惯性积可为正、 负或零。其结果是视其定义的两个坐标的符
号而定，因其符号的变化是彼此独立的。 特殊情况，如质量对称于两正交平面之一
或两者，则相对于此二封建君主专制
平面的惯性积将为零， 在此情况下， 质量元素将六年级读书手抄报
成对出现
于对称平面的两侧， 其中一例的元素， 惯性积为正， 两另一例对应元素的惯性
积为负，故其和为零。这种例子如下图所示。在第一种情况，图 (a)， y-z 平面为对
称平面，故 I = I 海葵的做法
=0，而 I 计算的结果将为正，因所有的质量元素均位于正
xzxyyz
y 及 z 坐标。对于图 (b)所示的圆柱及坐标轴， x-z 及 y-z，平面均为对称平面，故
I = I = I = 0。
zxyzxy
平行轴与平行面定理 求解物体惯性矩的积分技巧已于前面章节中讨论过。 同时也曾
讨论过组合物体， 即由简单形状所组合成的物体的惯性矩， 并表列于后封面内页。
在这些情况， 平行轴定理 (parallel-axis theorem)常被用来计算，此定理于前面章节
中导出，用来转移对通过质心 G 的轴的惯性矩至通过另一点的平行轴上。此时，若
G 点在 x, y, z 轴上的维护民族团结
坐标为 x, y, z，如下图，则用来计算对 x, y,
GGG
z 轴的惯性矩的平行轴方程式为
物体或组合体的惯性积的计算方式和物体的惯性矩相同。 然而，此时的平行面定理
就显得相当重要。此定理是用来将物体对一组通过物体质心的三正交平面的惯
性积转移至另一组通过 O 点的三个平行面上。若平面间的垂直距离为如下
x, y, z，
GGG
图，则平行面方程式可写成
这些方程式的推导和前面章节平行轴方程式相同。
惯性张量 物体的惯性性质可由九个量完全描述其特性， 其中有六个是彼此独立
的。这些量由定义，可写成
此数组称为 惯性张量 (inertia tensor)。当此张量是对于不同原点
方向来计算，物体的惯性张量都有一组唯一的数值。
O 及不同坐标轴
对于 O 及点我礼貌图片
们可以找到唯一的一组坐标轴方向，使得物体对这些轴的惯性积
均为零。在此情况，此惯性张量称为 "对角化 "，可写成简单形式
此处 I = I ，I = I 及 I = I 称为物体的 主惯性矩 (principal moments of
xxxyyyzzz
inertia)，这是对惯性主轴计算而得。 三个主惯性矩中， 有一个是物体的最大惯性
矩， 另有一个是最小惯性矩。
在此将不讨论如何用数学方法来求惯性主轴的方向。 但有许多情况下的主轴可由观
察即可获得。 根据前面惯性积的讨论我们可以注意到， 当三相互正交的平面中有
两个平面是物体的对称面， 则物体对此坐标平面的所有惯性积为零， 若坐标轴位
于此二平面上，则此坐标轴即为惯性主轴。例如，前图 (b)所示的 x, y, z 轴即为圆柱
在 O 点的惯性主轴。
对任意轴的惯性矩
考虑下图所示的物体， 并已对原点在 O 点的 x, y, z 轴求出惯
性张量的九个元素。现在若想求物体对
Oa 轴的惯性矩， Oa 轴的方向由单位向
量 u 定义，则根据定义
a
I = b dm Oa dm
b dm
位置以 r 表示，则 b = r sin 即表示 ur 的大小。故惯性矩可表为
a
Oa
∫ ，其中 是 至 的垂直距离。 若 的
2
若 u
a
及
，故
a y z z x x x y z
= u i + u j + u k u r = (u z u y)i + (u x u z)j + (u y
r = xi + yj + zk
ux)k ，代入后并进行点乘积，我们可将惯性矩写成
y
将物变更函
体的惯性矩及惯性积用符号取代，得
若物体的惯性张量是对
x, y, z 轴计算的，则对倾斜轴 Oa 的惯性矩可用上式来计算。而计算
Oa 轴与 x, y, z 轴间的夹角劳务合同怎么写
, , 前必先求出 Oa 轴的方向余弦 u, u, u，此三项乃分别是
的
xyz
余弦值。
