2023年4月16日发(作者：变压器接地)材 料 力 学 讲 义
第18讲 教学方案
——
弯曲切应力、弯曲强度条件
基
本
内
容四川有哪些地方
教 1、掌握各种形状截面梁（矩形、圆形、圆环形、工字形）横截面上
学 切应力的分布和计算。
目 2、熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。
的 3、了解什么情况下需要对水蜜桃的功效与作用
梁的弯曲切应力进行强度校核。
重
点
、
难
点
梁横力弯曲时横截面上的切应力
本节重点：矩形截面梁的切应力、弯曲强度条件及计算。
本节难点：掌握需要对梁弯曲切应力进炒香肠
行强度校核的各种情况。
1
第 十 八 讲
7-3 弯曲切应力
梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正但一般情况下，剪应力对
应力 ，又有剪应力 。
梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关
系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布
规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。
1．矩形截面梁
对于图6-5所示的矩形截面梁，横截面上作用
剪力Q。现分析距中性轴z为y的横线上的剪
aa
1
应力分布情况。根据剪应力成对定理，横属猴和属兔的合不合
线两
aa
1
端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力Q的
方向一致。由于对称的关系，横线中点处的剪
aa
1
应力也必与Q的方向相同。根据这三点剪应力的
方向，可以设想线上各点剪应力的方向皆平行
aa
1
于剪力Q。又因截面高度h大于宽度b，剪应力的
数值沿横线不可能有太大变化，可以认为是均
aa
1
匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：
1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力 。
Q
2）剪应力沿截面宽度均匀分布。
基于上述假定得到的解，与精确解相
比有足够的精确度。从图6-6a的横弯梁中
截出dx微段，其左右截面上的内力如图
6-6b所示。梁的横截面尺寸如图6-6c所
示，现欲求距中性轴z为y的横线处
aa
1
的剪应力 。过用平行于中性层的纵
aa
1
截面自dx微段中截出一微块（图
aacc
11
6-6d）。根据剪应力成对定理，微块的纵截
面上存在均匀分布的剪应力 。微块左
右侧面上正应力的合力分别为和，
N
1
N
2
其中
NdAdAS
1Iz
AA
**
My
1
M
*
（a）
II
zz
2
材 料 力 学 讲 义
NdAdAS
2IIz
AA
**
(MdM)y
1
(MdM)
*
(b)
II
zz
式中，为微块的侧面面积，为面积中距中性
AA
**
III
()
*
轴为 处的正应力，。
y
1
SydA
z1
A
*
由微块沿x方向的平衡条件，得
x0
NNbdx0
12
（c）
将式（a）和式（b）代入式（c），得
dM
*
Sbdx0
z
I
z
*
dM
S
z
故
d《挪威的森林》
xbI
z
因，故求得横中药祛湿
截面上距中性轴为 y处横线上各点的剪应力为
dM
Q,
dx
*
QS
z
（6-3）
bI
z
式（6-3）也适用于其它截面形式的梁。式中，Q为截面上的剪力； 为整个截面对中
I
z
疲惫的反义词
紫色胡萝卜
性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；为面积对中性轴的静矩。
S
y
A
*
对于矩形截面梁（图6-7），可取copy命令
，于是
dAbdy
1
SydAbydy(y)
1z11
A
*2
h
2
y
bh
2
24
这样，式（6-3）可写成
Qh
2
(y)
2
2I4
z
上式表明，沿截面高度剪应力 按抛物线规律变化（图
6-7b）。在截面上、下边缘处，
y=,=0；在中性轴上，z=0，剪应力值最大，其值为
h
2
3
第 十 八 讲
max
3Q
（6-4）
2A
式中A=bh,即矩形截面梁的最大剪应力是其平均剪应力的倍。
3
2
2．圆形截面梁
在圆形截面上（图6-8），任一平行于中性轴的横线aa两端处，剪应力的方向必切于圆周，
1
并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方
向皆平行于剪力Q，设为均匀分布，其值为最大。由式（6-3）求得
max
式中，即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力
Ad
4Q
（6-5）
3A
4
2
的倍。
4
3
3．工字形截面梁
工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（6-3）的计算结果表明，在翼缘上剪应力很小，在腹
板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图6-9所示。最大剪应力在中性轴上，其值为
max
Q(S)
zmax
dI
Z
式中（S）为中性轴一侧截面面积对中性轴的静
z
max
矩。对于轧制的工字钢，式中的可以从型
钢表中查得。
I
z
*
(S)
zmax
计算结果表明，腹板承担的剪力约为
（0.95~0.97）Q，因此也可用下式计算的近似
值
max
max
Q
hd
1
式中h 为腹板的高度，d为腹板的宽度。
1
4
材 料 力 学 讲 义
7-4 弯曲强度计算
根据前节的分析，对细长梁进行强度计算时,主要考虑弯矩的影响，因截面上的最大正应力
作用点处，弯曲剪应力为零，故该点为单向应力状态。为保证梁的安全，梁的最大正应力点应满
足强度条件
max
[]
My
maxmax
（6-6）
I
z
式中为材料的许用应力。对于等截面直梁，若材料的拉、压强度相等，则最大弯矩的所在面
[]
称为危险面，危险面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件（6-6）可表达为
max
[]
式中
M
max
（6-7）
W
z
W
z
=
I
z
（6-8）
y
max
称为抗弯截面系数（或抗弯截面模量），其量纲为[长度]。国际单位用m或mm。
333
对于宽度为 、高度为 的矩形截面，抗弯截面系数为
bh
12
W
bh
（6-9）
z
h26
直径为 的圆截面，抗弯截面系数为
d
bh
3
2
W
z
64
d
d
4
2
d
3
32
（6-10）
内径为 ，外径为 的空心圆截面，抗弯截面系数为
d
D
D
4
W1
z
64
1
4
D
2
生活作文
D
3
32
d
（6-11） ，
D
4
轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 可从型钢表中查得。
W
z
对于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大，所以要对最大拉应力
点和最大压应力点分别进行校核。
根据式（6-7），可以解决三类强度问题，即强度校核，截面设计和许用载荷计算。
5
第 十 八 讲
需要指出的是，对于某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的
壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，还
需进行弯曲剪应力强度校核。等截面直梁的一般发生在 截面的中性轴上，此处弯
max
Q
max
曲正应力，微元体处于纯剪应力状态，其强度条件为
0
QS
maxz
[]
bI
z
max
max
（6-12）
式中为材料的许用剪应力。此时，一般先按正应力的强度条件选择截面的尺寸和形状，
[]
然后按剪应力强度条件校核。
6
