正交设计

正交实验设计

当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平

组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。因此就出现了分式析因设计

（

fractional

factorialdesigns），但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计

还是比较困难的。

正交试验设计（Orthogonalexperimentaldesign）是研究多因素多水平的又一种设计方法，

它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了均

匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。是一种高效率、快

速、经济的实验设计方法。日本著名的统计学家田口玄一将正交试验如何样除螨虫 选择的水平组合列成表

格，称为正交表。例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行3

3

=27种组合的

实验，且尚未考虑每一组合的重复黄姜粉 数。若按

按

排实验，只需作9次，按L

J

8

（

3）

7

正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正交

实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。

1.正交表

正交表是一整套规则的设计表格，用

示

需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。一个正交表中也可以各列的水平

数不相等，我们称它为混合型正交表，如

有1

列为4水平，4列为2水平。生存的意思 根据正交表的数据结构看出，

正交表是一个n行c列的表，

L

8

（

4>2

4

）（表12），此表的5列中，

一-’。L为正交表的代号，n为试验的次数，

L

9

（

3

4

）,（表11），它表

L

9

（

3）

3正交表

t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。例如

其中第j列由数码1,2,…S组成，这些数码均各出现N/S次，例如表11中，第二列的数码个

数为3,S=3,即由1、2、3组成，各数码均出现

联

11LX

聋）碾

试验号

1

1

1

1

1

2

2

2

3

3必读小说

3

2

1

2

3

和号

3

1

4

1

心皆

次。

2

3

2

3

2

3

1

2

3

3

1

2

2

3

1

4

5

1

2

3

1

2

3

6

7

8

9

3

1

2

表

12L

ft

(4X2

兮義

试验号

1

1

2

3

4

5

1

1

2

2

3

列号

2

1

2

1

2

1

3

1

4

1

2

2

1

1

5

L

2

2

1

2

1

2

2

2

1

6

7

8

3

4

4

2

1

2

1

2

1

2

2

1

L

1

2

表

13

厶⑵）正交表

试验号

列号

1

1

2

3

4

5

6

7

2

1

1

2

2

1

1

2

2

3

1

1

2

2

2

2

1

1

4

1

2

1

2

i

2

1

2

5

1

2

1

2

2

1

2

1

6

1

2

2

1

1

2

2

1

7

1

2

2

1

2

1

]

2

1

1

1

1

2

2

2

2

8

正交表具有以下两项性质：

（1）每一列中，不同的数字出现的次数相等。例如在两水平正交表中，任何一列都有数

码“1”“2；且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有

“1、“2、“3；且在任一列的出现数均相等。

⑵任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。例如在两水平正交表中，任何两列

（

同

一横行内

）

有序对子共有4种：（1,1）、

（

1,2）、

（

2,1）、

（

2,2）。每种对数出

现次数相等。在三水平情况下，任何两列

（

同一横行内

）

有序对共有9种，1.1、1.2、1.3、

2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3,且每对出现数也均相等。

以上两点充分的体现了正交表的两大优越性，

即均匀分散性，整齐可比”通俗的说，

每个因素的每个水平与另一个因素各水平各碰一次，这就是正交性。

2.交互作用表每一张正交表后都疫情防控应急预案 附有相应的交互作用表，它是专门用来安排交互作用试验。

表14就是L

8

（

2

7

）表的交互作用表。

表i4

1

2

L

忒

2?）

表的交互作用表

3

2

1

4

5

6

7

(4)

列

2

3

5不想开学

4

7

6

1

（习

6

7

4

5

2

3

(6)

7

6

5

4

3

2

1

(1)

⑵

⑶

安排交互作用的试验时，是将两个因素的交互作用当作一个新的因素，占用一列，为交互作

用列，从表14中可查出L

8

（

2

7

）正交表中的任何两列的交互作用列。

为

主因素的列号，它与另一主因素的交互列为第一个列号从左向右，第二个列号顺次由下向上，二

者相交的号为二者的交互作用列。

例如将A因素排为第

（

1）列，B因素排为第⑵

列，两数字相交为3,则第3列为A

X

B交互作用列。又如可以看到第4列与第6列的交互列是

表中带

（

）的

2

第2列，等等。

3•正交实验的表头设计表头设计是正交设计的关键，它承担着将各因素及交互作用合理安

排到正交表的各列中的重要任务，因此一个表头设计就是一个设计方案。

表头设计的主要步骤如下：

(1)确定列数根据试验目的，选择处理因素与不可忽略的交互作用，明确其共有多少个数，

如果对研究中的某些问题尚不太了解，列可多一些，但一般不宜过多。当每个试验号无重复，

只有1个试验数据时，可设2个或多个空白列，作为计算误差项之用。

(2)确定各因素的水平数根据研究目的，一般二水平

(

有、无)可作因素筛选用；也可适用于

试验次数少、分批进行的研究。三水平可观察变化趋势，选择最佳搭配；多水平能以一次满足

试验要求。

⑶选定正交表根据确定的列数(c)与水平数(t)选择相应的正交表。例如观察

8个一级交互作用，留两个空白列，且每个因素取

的个数稍多一点即可，这样省工省时。

(4)表头安排应优先考虑交互作用不可忽略的处理因素，按照不可混杂的原则，将它们及交

互作用首先在表头排妥，而后再将剩余各因素任意安排在各列上。例如某项目考察4个因素

A、B、C、D及A

X

B交互作用，各因素均为2水平，现选取L

s

(2

7

)表，由于AB两因素需要观

察其交互作用，故将二者优先安排在第

1、2列，根据交互作用表

查得A

X

B应排在第3列，于是C排在第4列，由于A

X

C交互在第5列，BXC交互作用在第

6列，虽然未考查AXC与BXC,为避免混杂之嫌，D就排在第7列。

5个因素

2水平，则适宜选L

i6

(

2

15

)表。由于同

水平的正交表有多个，如L

8

(

2

7

)、L

i2

(

2j、L

i6

(

2

15

)，—般只要表中列数比考虑需要观察

表15

列号

表头设计

2

B

3

AXB

4

C

5

因素与交互作用

1

A

6

?

D

(5)组织实施方案根据选定正交表中各因素占有列的水平数列，构成实施方案表，按

实验号依次进行，共作n次实验，每次实验按表中横行的各水平组合进行。例如

L

g

(3

4

)

表，若安排四个因素，第一次实验A、B、C、D四因素均取1水平，第二次实验A因

素1水平，B、C、D取2水平，……第九次实验A、B因素取3水平，C因素取2水平,D因

素取1水平。实验结果数据记录在该行的末尾。因此整个设计过程我们可用一句话归纳为：因

素顺序上列、水平对号入座，实验横着作

4.二水平有交互作用的正交实验设计与方差分析

例8某研究室研究影响某试剂回收率的三个因素，包括温度、反应时间、原料配比，

每个因素都为二水平，各因素及其水平见表

见表17。

16。选用L

8

(2

7

)正交表进行实验，实验结果

”。

3

表

Id

因盍与水平

因素

水平

1

A

遥度P

B

反应时间

h

2

80

3.5

1.2:1

60

2.5

1.1:1

C

原料配比

表

17

某试剂回收率的正交实验

L,

（

r

）

表结果

试验号

1

A

2

B

1

1

2

4

5

1

2

1

2

2

1

2

1

36i

363

■2

0.5

AxB

1

1

2

1:i;

12

2

1

1

352

372

JO

50.0

C

1

2

1

2

1

2

1

2

351

313

皿

6

1

2

2

1

1

2

2

7

试验结果

回收率

X%

1

2

3

1

"1

.1

1

2

2

1

2

1

1

2

359

365

/

4.5

26

95

91

94

91

96

33

88

5

6

7

8

：i

2

1

1

.2

2

368

356

12

ISO

I3

2

2

366

35i

S

1

359

365

-6

4.5

占

II

：

昭

if

3060J

首先计算l

j

与II

j

,I

j

为第j列第1水平各试验结果取值之和，

试验结果取值之和。然后进行方差分析。过程为：

山为第j列第2水平各

爲述屮一竺

1=65668-

沁=

146.0

求：总离差平方和

•：

:

（I

厂叨

各列离差平方和SS=」•

本例各列离均差平方和见表10最底部一行。即各空列SS之和。即误差平方和

^=2^=0.5+4.5+45=95

自由度v为各列水平数减1,交互作用项的自由度为相交因素自由度的乘积。

4

分析结果见表18

表

1

名三种因嘉对某试剂回收率彫响的正较实验方差分析表

变异来源

离差平方和

SS

宮血

自由度

u

均方恥

F

■值

2.53

5.68

15.79

19J

P

值

0.2102

0.0973

0.0235

0.0222

A

B

AXB

C

误差

总变异

1

1

1

1

3

7

S.0

15.0

50.0

60.5

3.16

18.0

50.0

PJ

146.0

从表18看出，在

a

0.05水准上，只有C因素与AXB交互作用有统计学意义，其余各因素均无

统计学意义，A因素影响最小，考虑到交互作用A

X

B的影响较大，且它们

的二水平为优。在C

2

的情况下，有B

1

A

2

和B

i

,A

i

两种组合状况下的回收率最高。考虑到B因

素影响较A因素影响大些，而B中选B

i

为好，故选A

2

B

1

。这样最后决定最佳配方为A

2

B

1

C

2

，即

80

C

，反应时间2.5h，原料配比为121。

如果使用计算机进行统计分析，

在数据是只需要输入试验因素和实验结果的内容，交

互作用界的内容不用输入，然后按照表头定义要分析的模型进行方差分析。

附录

1

:常用正交表

3

(

1

)

L

4

(

2

)

列号

试验号

1

11

|

22

2

1

2

12

3

1

2

21

1

23

4

(2)L

8

(2

7)

2

列号

试验

1

_

号

1

3

4

5

67

|

1

1

1

1

2

2

22

门

1

2

21

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

1

2

1

2

12

厂

11

匚

12

2

3

4

5

6

7

8

2

2

1

12

2

1

2

2

1

21

2

12

d

12

门

22

1

5

(3)L

12

(2)

列号

试验号

11

11

11

1

1

111111

|

1n

21

1

11

11222

2|

2

2

311

2

2

2111

2—

2

2

4

5

1

2

」2

1

1221

21

216

I2

212

2

12

1

1

7

□

2|

21

2|

I

21122

1

1刘瑾简介

821

2

2

12221

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12

9

21

1|

222122

11

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111122

12

11

22121

21112

2

1

2

122

2

1

1

2

1

2

2

1

(4

)

L

9

(

3)

列号

试验号

1234

11111

21222

31333

4

212

3

5

22

3

1

62

3

12

73

1

3

28

3

21

39

3

3

2

1

6

11

4

(5

)

L

i6

(

4

5)

列号

试验号

2

二

3

4

1

2

3

4

3

4

1

2

4

3

2

1

2

1

43

5

11

2

3

4

5

6

7

1

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

44

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

34

1惊蛰诗词

2

3

4

2

1

4

3

3

4

1

2

4

3

21

1

2

3

4

4

3

2

1

2

1

4

3

3

4

12

8

9

10

11

12

13

1415

416

(6

)

L

25

(

5

6)

列号口

试验号

1

1

1

1

|

1

|

1

2

2

2

2

2

33

2

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

12

3

1

2

3

4

5

2

3

4

5

1

34

4

1

2

3

4

5

3

4

5

1

2

51

5

1

2

3

4

5

4

5

1

2

3

23

6

1

2|

3

4

5

5

1

2

3

4

45

1

2

3|

4

5

6|

7

8|

二

9

二

10

11

12

7

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

2425

列号

实验号

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

55

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

45

5

1

2

4

5

1

2

3

5

1

2

34

2

3

4

2

3

4

5

1

4

5

1

23

4

5

1

5

1

2

3

4

3

4

5

12

1

2

3

3

4

5

1

2

2

3

4

51

(7

)

〔

(

4

X2

4

)

1

2

1|

2|

1

2

1

21

3

1

2

1

2

2

1

21

4

5

J

1|

2|

3

二

45

|

1

2

2

|

3

3

4

1

1

2

2

1

1

2

21

1

2

2

1

2

1

12

7

4

82

4

(8

)

L可食用餐具

12

(

3

X2)

列号

试验号

1

24

1

1

2

2

2

2

11

1

2

1

2

1

2

22

5

1

2

2

1

1

2

22

8

1

2

3

4

56

1

1

1

1

2

2

22

1

1

1

2

2

1

1

22

7

8

9

10

1112

3

3

33

1

1

22

2

1

12

1

2

12

2

1

21

(9

)

L

i6

(

4

4

X2

3

)

1

1

1

1

1

2

2

2

23

2

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

34

3

1

2

3

4

2

1

4

3

3

4

1

2

4

32

4

1

2

3

4

3

4

1

2

4

3

2

1

2

1

43

5

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1|

6

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

12

7

1

2

2

1

1

22

1

列号

试验号

1

2

3

4

5九转大肠怎么做

67

8

9

]

2

1

1

2

2

1

12

10

3

3

3

4

4

44

11

12

」

13

14

1516

1

9