全国数学联赛

二○○一年全国高中数学联合竞赛题

10月4日上午8：00—9：40

题号

得分

评卷人

复核人

一

二

三

13

14

15

合计

加试

总成绩

学生注意：1、本试卷共有三大题15个小题,全卷满分150分;

2、用圆珠笔或钢笔作答;

3、解题书写不要超过装订线;

4、不能使用计算器;

一、选择题本题满分36分,每小题6分

本题共有6个小是题,每题均给出ABCD四个结论,其中有且仅有一个是正确的;请将正确答案的代表

字母填在题后的括号内,每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个不论是否写在括号内,

一律得0分;

1、已知a为给定的实数,那么集合M={x|x-3x-a+2=0,x∈R}的子集的个数为

A1B2C4D不确定

2、命题1：长方体中,必存在到各顶点距离相等的点；

命题2：长方体中,必存在到各棱距离相等的点；

命题3：长方体中,必存在到各面距离相等的点；

以上三个命题中正确的有

A0个B1个C2个D3个

3、在四个函数y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以为周期、在0,

数是

Ay=sin|x|By=cos|x|Cy=|ctgx|Dy=lg|sinx|

4、如果满足∠ABC=60,AC=12,BC=k的⊿ABC恰有一个,那么k的取值范围是

Ak=8

3

B0

k83

5．若1＋ｘ＋ｘ

333

21000

2

2



上单调递增的偶函2

的展开式为ａ

０

＋ａ

１

ｘ＋ａ

２

ｘ

２

＋…＋ａ

2000ｘ

666

999

2001

2000

,

则ａ

０

＋ａ

3

＋ａ

6

＋ａ

9

＋…＋ａ

1998

的值为．

A3B3C3D3

6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24,而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2

枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较,结果是．

A2枝玫瑰价格高B3枝康乃馨价格高

C价格相同D不确定二、填空题本题满分54分,每小题9分7．椭圆＝1／2－ｃｏ

ｓ的短轴长等于______________．

8、若复数z

1

,z

2

满足|z

1

|=2,|z

2

|=3,3z

1

-2z

2=

3

-I,则z

1

z

2

=;2

9、正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为1,则直线A

1

C

1

与BD

1

的距离是;

10、不等式

13

2

的解集为;

log

1

x2

2

11、函数y

xx

2

3x2

的值域为;

F

E

A

B

C

D

12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物如图,要求同一场块中种同一种植物,相邻的

两块种不同的植物;现有4种不同的植物可供选择,则有种栽种方案;

二、解答题本题满分60分,每小题20分

13、设{a

n

}为等差数列,{b

n

}为等比数列,且

b

1

a

1

,

b

2

a

2

,

b3

2

2

2

a

3

a

1

2

,又

n

lim(b

1

b

2

b

n

)21

,试求{a

n

}的首项与公差;

x

2

22

14、设曲线C

1

:

2

y1

a为正常数与C

2

:y=2x+m在x轴上方公有一个公共点P;

a

（1）求实数m的取值范围用a表示；

（2）O为原点,若C

1

与x轴的负半轴交大脚越野车 于点A,当0

1

时,试求⊿OAP的面积的最大值用a表示;2

15、用电阻值分别为a

1

、a

2

、a

3

、a

4

、a

5

、a

6

、a

1

>a

2

>a

3

>a

4

>a

5

>a

6

的电阻组装成一个如图的组件,在组装中

应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小证明你的结论;

二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题

10月4日上午10：00—12：00

学生注意：1、本试卷共有三大题,全卷满分150分;

2、用圆珠笔或钢笔作答;

3、解题书写不要超过装订线;

4、不能使用计算器;

一、本题满分50分

如图：⊿ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N;求证：

1OB⊥DF,OC⊥DE；2OH⊥MN;

二、本题满分50分

设x

i

≥0I=1,2,3,…,n且

三、本题满分50分

将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形,每个正方形的边均平行于矩形的相应

边,试求这些正方形边长之和的最小值;

x

i1

n

2i

2

1kjn



n

k

x

k

x

j

1

,求



x

i

的最大值与最小值;

j

i1

2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

一．选择题：

CBDDCA

1.已知a为给定的实数,那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ－3ｘ－ａ＋2＝0,ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为．

Ａ．1Ｂ．2Ｃ．4Ｄ．不确定

讲解：M表示方程ｘ－3ｘ－ａ＋2＝0在实数范围内的解集．由于＝1＋4ａ＞0,所以Ｍ含有

2个元素．故集合Ｍ有2＝4个子集,选Ｃ．

2．命题1：长方体中,必存在到各顶点距高相等的点．

命题2：长方体中,必存在到各条棱距离相等的点；

命题3：长方体中,必存在到各个面距离相等的点．

以上三个命题中正确的有．

Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个

讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等,所以命题1正确．对于命题2和命题3,一般的长

方体除正方体外中不存在到各条棱距离相等的点,也不存在到各个面距离相等的点．因此,本题只有命

题1正确,选Ｂ．

3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎ

ｘ｜中,以为周期、在0,／2上单调递增的偶函数是．

Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜

Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜

讲解：可考虑用排除法．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜不是周期函数可通过作图判断,排除Ａ；ｙ＝ｃｏ

ｓ｜ｘ｜的最小正周期为2,且在0,／2上是减函数,排除Ｂ；ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜在0,／2上是减

函数,排除Ｃ．故应选Ｄ．

4．如果满足∠ＡＢＣ＝60,ＡＣ＝12,ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个,那么ｋ的取值范围

是．

Ａ．

k83

Ｂ．0＜ｋ≤12

Ｃ．ｋ≥12Ｄ．0＜ｋ≤1高考励志语录 2或

k83

讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角,解三角形”这类问题的一个逆向问题,由课本

结论知,应选结论Ｄ．

说明：本题也可以通过画图直观地判断,还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ．

5．若1＋ｘ＋ｘ

Ａ．3

333

21000２

２

２

２

２

２

的展开式为ａ

０

＋ａ

１

ｘ＋ａ

２

ｘ

２

＋…＋ａ

2000

ｘ

Ｃ．3

999

2000

,

则ａ

０

＋ａ

3

＋ａ

6

＋ａ

9

＋…＋ａ

1998

的值为．

Ｂ．3

666

Ｄ．3

2001

讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和,所以联想到1的单位根,用特殊值法．

取＝－1／2＋

令ｘ＝1,得3

1000

／2ｉ,则＝1,＋＋1＝0．

３２

＝ａ

０

＋ａ

１

＋ａ

２

＋ａ

３

＋…＋ａ

2000

；

２

2000

令ｘ＝,得

0＝ａ

０

＋ａ

1

＋ａ

2

＋…＋ａ

2000

令ｘ＝,得

0＝ａ

０

＋ａ

１

＋ａ

２

＋ａ

３

＋…＋ａ

2000

三个式子相加得

２

４

６

4000

２

；

．

3

1000

＝3ａ

０

＋ａ

３

＋ａ

６

＋…＋ａ

1998

．

999

ａ

０

＋ａ

３

＋ａ

６

＋…＋ａ

1998

＝3,选Ｃ．

6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24,而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,

则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较,结果是．

Ａ．2枝玫瑰价格高Ｂ．3枝康乃馨价格高

Ｃ．价格相同Ｄ．不确定

讲解：这是一个大小比较问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为ｘ元、ｙ元,则由题设得,

问题转化为在条件①、②的约束下,比较2ｘ与3ｙ的大小．有以下两种解法：

解法1：为了整体地使用条件①、②,令6ｘ＋3ｙ＝ａ,4ｘ＋5ｙ＝ｂ,联立解得ｘ

＝5ａ－3ｂ／18,ｙ＝3ｂ－2ａ／9．∴2ｘ－3ｙ＝…＝11ａ－12ｂ／9．∵ａ

＞24,ｂ＜22,∴11ａ－12ｂ＞1124－1222＝0．∴2ｘ＞3ｙ,选Ａ．

图1

解法2：由不等式①、②及ｘ＞0、ｙ＞0组成的平面区域如图1中的阴影部分不含边界．令2ｘ－3

ｙ＝2ｃ,则ｃ表示直线ｌ：2ｘ－3ｙ＝2ｃ在ｘ轴上的截距．显然,当ｌ过点3,2时,2ｃ有最小值为

0．故2ｘ－3ｙ＞0,即2ｘ＞3,选Ａ．

说明：1本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：

已知函数Ｍ＝ｆｘ＝ａｘ－ｃ满足：－4≤ｆ1≤－1,－1≤ｆ2≤5,那么ｆ3应满足．

Ｃ．－1≤ｆ3≤20Ｄ．－28／3≤ｆ3≤35／3

2

２

Ａ．－7≤ｆ3≤26Ｂ．－4≤ｆ3≤15

如果由条件①、②先分别求出ｘ、ｙ的范围,再由2ｘ－ｙ的范围得结论,容易出错．上面的解法1运用

了整体的思想,解法2则直观可靠,详见文1．

二．填空题

7．

23

3

8．

3072

i

1313

9．

66

10．

(0,1)(1,2)(4,)

27

11．

[1,

3

)[2,)2

12．732

7．椭圆＝1／2－ｃｏｓ的短轴长等于______________．

讲解：若注意到极点在椭圆的左焦点,可利用特殊值法；若注意到离心率ｅ和焦参

数ｐ焦点到相应准线的距离的几何意义,本题也可以直接求短半轴的长．

解法1：由



(0)ac1



(



)ac1/3

得

ａ＝2／3,从而ｂ＝

323

,故2ｂ＝

33

解法2：由ｅ＝ｃ／ａ＝1／2,ｐ＝ｂ

2

／ｃ＝1及ｂ

2

＝ａ

2

－ｃ

2

,得

ｂ＝

323

．从而2ｂ＝．

33

说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题．

8．若复数ｚ

１

、ｚ

２

满足｜ｚ

１

｜＝2,｜ｚ

３

｜＝3,3ｚ

１

－2ｚ

２

＝3／2－ｉ,则ｚ

１

ｚ

２

＝______________．

讲解：参考答案给出的解法技巧性较强,根据问题的特点,用复数的三角形式似乎

更符合学生的思维特点,而且也不繁．

令ｚ

１

＝2ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ,ｚ

２

＝3ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ,则由3ｚ

１

－2ｚ

２

＝3／2－ｉ及复数相等的充要条件,得

即

二式相除,得ｔｇ＋／2＝3／2．由万能公式,得

ｓｉｎ＋＝12／13,ｃｏｓ＋＝－5／13．为什么要睡觉

故ｚ

１

ｚ

２

＝6ｃｏｓ＋＋ｉｓｉｎ＋

＝－30／13＋72／13ｉ．

说明：本题也可以利用复数的几何意义解．

9．正方体ＡＢＣＤ－Ａ

１

Ｂ

１

Ｃ1

１

的棱长为1,则直线Ａ

１

Ｃ

１

与ＢＤ

１

的距离是

______________．

讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题,解法较多,下面给出一种基本的解法．

图2

为了保证所作出的表示距离的线段与Ａ

１

Ｃ

１

和ＢＤ

１

都垂直,不妨先将其中一条直

线置于另一条直线的垂面内．为此,作正方体的对角面ＢＤＤ

１

Ｂ

１

,则Ａ

１

Ｃ

１

⊥面ＢＤ

Ｄ

１

Ｂ

１

,且ＢＤ

１

面ＢＤＤ

１

Ｂ

１

．设Ａ

１

Ｃ

１

∩Ｂ

１

Ｄ

１

＝0,在面ＢＤＤ

１

Ｂ

１

内作ＯＨ⊥

ＢＤ

１

,垂足为Ｈ,则线段ＯＨ的长为异面直线Ａ

１

Ｃ

１

与ＢＤ

１

的距离．在Ｒｔ△ＢＢ

１Ｄ

１

中,ＯＨ等于斜边ＢＤ

１

上高的一半,即ＯＨ＝／6．

10．不等式｜1／ｌｏｇ

1／2

ｘ＋2｜＞3／2的解集为______________．

讲解：从外形上看,这是一个绝对值不等式,先求得ｌｏｇ

1／2

ｘ＜－2,或－2／7＜

ｌｏｇ

1／2

ｘ＜0,或ｌｏｇ

1／2

ｘ＞0．

从而ｘ＞4,或1＜ｘ＜2

2／7

,或0＜ｘ＜1．

11．函数ｙ＝ｘ＋

讲解：先平方去掉根号．

的值域为______________．

由题设得ｙ－ｘ

２

＝ｘ

２

－3ｘ＋2,则ｘ＝ｙ

２

－2／2ｙ－3．

由ｙ≥ｘ,得ｙ≥ｙ

２

－2／2ｙ－3．解得1≤ｙ＜3／2,或ｙ≥2．由于

能达到下界0,所以函数的值域为1,3／2∪2,＋∞．

说明：1参考答案在求得1≤ｙ＜3／2或ｙ≥2后,还用了较长的篇幅进行了一番

验证,确无必要．2本题还可以用三角代换法和图象法来解,不过较繁,读者不妨一

试．

图3

12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物如图3,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块

种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择,则有______________种西斯特玛 栽种方案．

讲解：为了叙述方便起见,我们给六块区域依次标上字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ．按间隔三

块Ａ、Ｃ、Ｅ种植植物的种数,分以下三类．

1若Ａ、Ｃ、Ｅ种同一种植物,有4种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种植后,Ｂ、Ｄ、Ｅ可从剩余的三种

植物中各选一种植物允许重复,各有3种方法．此时共有4333＝108种方法．

2若Ａ、Ｃ、Ｅ种二种植物,有Ｐ

４

种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种好后,若Ａ、Ｃ种同一种,则Ｂ有3

３

2

种方法,Ｄ、Ｆ各有2种方法；若Ｃ、Ｅ或Ｅ、Ａ种同一种,相同只是次序不同．此时共有Ｐ

４

3322＝432种方法．

3若Ａ、Ｃ、Ｅ种三种植物,有Ｐ

４

种种法．这时Ｂ、Ｄ、Ｆ各有2种种方法．此时共有Ｐ４

３３

222＝192种方法．

根据加法原理,总共有Ｎ＝108＋432＋192＝732种栽种方案．

说明：本题是一个环形排列问题．

三．解答题

13．设所求公差为

d

,∵

a

1

＜

a

2

,∴

d

＞0．由此得

22422

a

1

(a

1

2d)(a

1

d)

化简得：

2a

1

4a

1

dd0

解得：

d(2

2)a

1

………………………………………………………5分

而

220

,故

a

1

＜0

若

d(2

2)a

1

,则

q

2

a2

a

12

2

a2

(21)

2

若

d(2

2)a

1

,则

q

a

12

(21)

2

………………………………10分

2

但

lim(b

1

b

2

b

n

)21

存在,故|

q

|＜1,于是

q(21)

不可能．

n

从而

a

12

1(21)2

21a

1

2

(222)(21)2

所以

a

1

2,d(22)a

1

222

………………………………20分



x

22



2

y1

14．解：1由



a

消去

y

得：

x

2

2a

2

x2a

2

ma

2

0

①



y

2

2(xm)

2222

设

f(x)x2ax2ama

,问题1化为方程①在

x

∈－

a

,

a

上有唯一解或等根．

只需讨论以下三种情况：

a

2

1

22

1△＝0得：

m

,此时

x

p

＝－带有四的成语

a

,当且仅当－

a

＜－

a

＜

a

,即0＜

a

＜1时适合；

2

2

f

af

－

a

＜0,当且仅当－

a

＜

m

＜

a

；

3

f

－

a

＝0得

m

＝

a

,此时

x

p

＝

a

－2

a

,当且仅当－

a

＜

a

－2

a

＜

a

,即0＜

a

＜1时适合．

fa

＝0得

m

＝－

a

,此时

x

p

＝－

a

－2

a

,由于－

a

－2

a

＜－

a

,从而

m

≠－

a

．

2

2

2

2

a

2

1

综上可知,当0＜

a

＜1时,

m

或－

a

＜

m

≤

a

；

2

当

a

≥1时,－

a

＜

m

＜

a

．………………………………………………10分

2△

OAP

的面积

S

1

ay

p

2

∵0＜

a＜

1

22

,故－

a

＜

m

≤

a

时,0＜

aaa12m

＜

a

,2

由唯一性得

x

p

a

2

aa

2

12m

显然当

m

＝

a

时,

x

p

取值最小．由于

x

p

＞0,从而

y

p

＝

1

x

2

pa

2

取值最大,此时

y

p

2aa

2

,

2

∴

Saaa

．

a

2

1

1

22

当

m

时,

x

p

＝－

a

,

y

p

＝

1a

,此时

Sa1a

2

．

22

2

下面比较

aaa与

1

a1a

2

的大小：2

令

aaa

2

11

a1a

2

,得

a

23

故当0＜

a≤

11

12

时,

aaa

≤

a1a

2

,此时

S

max

a1a

2

．

223

当

111

a

时,

aaa

2

a1a

2

,此时

S

max

aaa

2

．………20分

2

32

15．解：设6个电阻的组件如图3的总电阻为

R

FG

,当

R

i

＝

a

i

,

i

＝3,4,5,6,

R

1

、

R

2

是

a

1

、

a

2

的任意排

列时,

R

FG

最小……………………………………………………5分

证明如下：

1．设当两个电阻

R

1

、

R

2

并联时,所得组件阻值为

R

,则

111



．故交换二电阻的位置,

RR

1

R2

不改变

R

值,且当

R

1

或

R

2

变小时,

R

也减小,因此不妨取

R

1

＞

R

2

．

2．设3个电阻的组件如图1的总电阻为

R

AB

R

AB

RRR

1

R

3

R

2

R

3

R

1

R2

R

3



12

R

1

R

2

R

1

R2

显然

R

1

＋

R

2

越大,

R

AB

越小,所以为使

R

AB

最

小必须取

R

3

为所取三个电阻中阻值最小的—个．

3．设4个电阻的组件如图2的总电阻为

R

CD

若记

S1



1ij4



RR

i

j

,

S

2

i

1ijk4



RRR

j

k

,则

S

1

、

S

2

为定值,于是

R

CD

S

2

R

1

R

2

R3

S

1

R

3

R4

只有当

R

3

R

4

最小,

R

1

R

2

R

3

最大时,

R

CD

最小,故应取

R

4

＜

R

3

,

R

3

＜

R

2

,

R

3

＜

R

l

,即得总电阻的阻值最

小…………………………………………………………………………15分

4对于图3把由

R

1

、

R

2

、

R

3

组成的组件用等效电阻

R

AB

代替．要使

R

FG

最小,由3必需使

R

6

＜

R

5

；且

由1应使

R

CE

最小．由2知要使

R

CE

最小,必需使

R

5

＜

R

4

,且应使

R

CD

最小．

而由3,要使

R

CD

最小,应使

R

4

＜

R

3

＜

R

2

且

R

4

＜

R

3

＜

R

1,

这就说明,要证结论成立………………………………………………………………20分

2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准

一．证明：1∵

A

、

C

、

D

、

F

四点共圆

∴∠

BDF

＝∠

BAC

又∠

OBC＝

1

180－∠

BOC

＝90－∠

BAC

2

∴

OB

⊥

DF

．

2∵

CF

⊥

MA

∴

MC

－

MH

＝

AC

－

AH

①

∵

B橙子的营养 E

⊥

NA

∴

NB

－

NH

＝

AB

－

AH

②

∵

DA

⊥

BC

∴

BD

－

CD

＝

BA

－

AC

③

∵

OB

⊥

DF

∴

BN

－

BD

＝

ON

－

OD

④

∵

OC

⊥

DE

∴

CM

－

CD

＝

OM

－

OD

⑤……………………………………30分

①－②＋③＋④－⑤,得

NH

－

MH

＝

ON

－

OM

MO

－

MH

＝

NO

－

NH

∴

OH

⊥

MN

……………………………………………………………………50分

另证：以

BC

所在直线为

x

轴,

D

为原点建立直角坐标系,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

设

A

0,

a

,

Bb

,0,

Cc

,0,则

k

AC



aa

,k

AB



cb

∴直线

AC

的方程为

y

ac

(xc)

,直线

BE

的方程为

y(xb)

ca

c

y(xb)



a

2

cbc

2

ac

2

abc

a

,

由



得

E

点坐标为

E

2222

a

acac



y(xc)



c



a

2

bb

2

cab

2

abc

同理可得

F

,

a

2

b

2

a

2

b2

直线

AC

的垂直平分线方程为

y

acc

(x)

2a2

bc

2

直线

BC

的垂直平分线方程为

x

acc



y(x)



bcbca

2



2a2

由



得

O

,

22a

bc



x



2

bca2

bca

2

2a



bc

acab

b2

ab

2

abcabac



2



abb

2

ca

2

bc

k

OB

,kDF

∵

k

OB

k

DF

1

∴

OB

⊥

DF

同理可证

OC

⊥

DE

．

在直线

BE

的方程

y

bcc

(xb)

中令

x

＝0得

H

0,

aa

∴

kOH

bca

2

bc

a

2

3bc

2aa



bc

abac2

y

abac

x

2

a建议 bc

直线

DF的方程为

abac



yx



a

2

cbc

2

abcac

2



a

2

bc

,

2

由



得

N

2

22

a

a2bcca2bcc



y(xc)



c

a2

bb

2

cabcab2

,

2

同理可得

M

2

22

a2bcba2bcb

∴

kMN

a(b

2

c

2

)(a

2

bc)abac



222

(cb)(abc)(a3bc)a3bc

∵

k

OH

k

MN

＝－1,∴

OH

⊥

MN

．

二．解：先求最小值,因为(



x)

2

i

i1

i1

nn

x

i2

2

1kjn



k

x

k

x

j

1j

x

i1

n

i

≥1

等号成立当且仅当存在

i

使得

x

i

＝1,

x

j

＝0,

j

＝

i

∴

x

i1

n

i

最小值为1．……………………………………………………………10分

再求最大值,令

x

k

n

ky

k

∴

ky

k1

2k

2

1kjn



kyy

k

j

1

①

设

M



x

k

k1

k1

nn



y

1

y

2





y

n

a

1

y

2





y

n

a

2

ky

k

,令







y

n

a

n

222

则①

a

1

a

2

a

n

1

……………………………………………………30分

令

a

n1

＝0,则

M



k1

n

k(a

k

a

k1

)





k1

n

ka

k



k1

n

ka

k1



k1

n

ka

k



k1

n

k1a

k

(

k1

n

kk1)a

k

由柯西不等式得：

M[

(

k1

n

kk1)](

2

12



k1

n

2

2

a

k)

1

[

(

k1

n

kk1)]

2

1

2

22

a

k

a

n

a

12











等号成立

22

1

(kk1)(nn1)



22

a

1

2

a

2





an

1(21)

2





(nn1)2



2

ak

(kk1)2

a

k

kk1[

(

k1

n

k

=1,2,…,

n

12

kk1)

2]

由于

a

1

≥

a

2

≥…≥

a

n

,从而

y

k

a

k

a

k1

2k(k1k1)[

(

k1

n

0

,即

x

k

≥0

kk1)

2]

12

所求最大值为[



k1

n

(kk1)

2

]

2

……………………………………………50分

1

三．解：记所求最小值为

f

m

,

n

,可义证明

f

m

,

n

＝

rn

＋

n

－

m

,

n

其中

m

,

n

表示

m

和

n

的最大公约数……………………………………………10分

事实上,不妨没

m

≥

n

1关于

m

归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为

rn

＋

n

－

m

,

n

当用

m

＝1时,命题显然成立．

假设当,

m

≤

k

时,结论成立

k

≥1．当

m

＝

k

＋1时,若

n

＝

k

＋1,则命题显然成立．若

n

＜

k

＋1,从矩形

ABCD

中切去正方形

AA

1

D

1

D

如图,由归纳假设矩形

A

1

BCD

1

有一种分法使得所得正方形边长之和恰为

m

—

n

＋

n

—

m

－

n

,

n

＝

m

－

m

,

n

,于是原矩形

ABCD

有一种分法使得所得

D

D

1

C

正方形边长之和为

rn

＋

n－

m

,

n

……………………………………20分

n

2关于

m

归纳可以证明成立．

当

m

＝1时,由于

n

＝1,显然

f

m

,

n

＝

rn

＋

n

－

m

,

n

假设当

m

≤

k

时,对任意1≤

n

≤

m

有

f

m

,

n

＝

rn

＋

n

－

m

,

n

m

A

1

A

B

若

m

＝

k

＋1,当

n

＝

k

＋1时显然

f

m

,

n

＝

k

＋1＝

rn

＋

n

－

m

,

n

．

当1≤

n

≤

k

时,设矩形

ABCD

按要求分成了

p

个正方形,其边长分别为

a

l

,

a

2

,…,

a

p

不妨

a

1

≥

a

2

≥…≥

a

p

显然

a

1

＝

n

或

a

1

＜

n

．

若

a

1

＜

n

,则在

AD

与

BC

之间的与

AD

平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形或其边界．于

是

a

1

＋

a

2

＋…＋

a

p

不小于

AB

与

CD

之和．

所以

a

1

＋

a

2

＋…＋

a

p

≥2

m

＞

rn

＋

n

－

m

,

n

若

a

1

＝

n

,则一个边长分别为

m

－

n

和

n

的矩形可按题目要求分成边长分别为

a

2

,…

a

p

的正方形,由归

纳假设

a

2

＋…＋

a

p

≥

m

－

n

＋

n

－

m

－

n

,

n

＝

rn

－

m

,

n

从而

a

1

＋

a

2

＋…＋

a

p

≥

rn

＋

n

－

m

,

n

于是当

rn

＝

k

＋1时,

f

m

,

n

≥

rn

＋

n

－

m

,

n

再由1可知

f

m

,

n

＝

rn

＋

n

－

m

,

n

．…………………………………………50分