不变子空间

类不变子空间与不变子空间的关系

古雯;倪军娜

【摘要】给出了"类不变子空间"的定义,研究了可逆线性变换和一般线性变换的

类不变子空间与不变子空间的关系:利用向量空间的理论,证明了对于可逆线性变换,

类不变子空间与不变子空间是等价的;进一步证明对于非可逆的线性变换,类不变子

空间是不变子空间,反之不成立.

【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2019(051)004

【总页数】4页(P100-103)

【关键词】类不变子空间;不变子空间;线性变换;向量空间

【作者】古雯;倪军娜

【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广州510631;华南师范大学数学科学学

院,广州510631

【正文语种】中文

【中图分类】O15

近30余年，学者们讨论了特殊空间的不变子空间[1-3]、特殊方程的不变子空间

[4-6]和特殊矩阵的不变子空间[7-8]等问题，如：研究多圆盘的加权Bergman空

间上的不变子空间和约化子空间，给出了一类解析Toeplitz算子Tzi(1≤i≤n)的不

变子空间的Beurling型定理[1];结合压力变换和不变子空间方法中的等价变换，给

出了一般非齐次非线性扩散方程的等价方程的高维不变子空间[4].另外，“不变子

空间问题”作为算子理论中的重要问题，许多学者做了相关研究[9-17].

本文基于不变子空间的定义，给出了“类不变子空间”的定义，并利用向量空间有

关理论，探讨类不变子空间的性质，研究类不变子空间与不变子空间的关系.

1预备知识

定义1[18]令V是数域F上的向量空间，是V的线性变换，W是V的子空间，

当(W)⊆W,称W是的不变子空间，也就是说，若W,则()W,称W是的

不变子空间.

引理1[18]若1,2,…,r是n维向量空间V中一组线性无关的向量，则总可以添

加n-r个向量r+1,…,n,使得{1,2,…,r,r+1,…,n}作为V的一个基.特别地，

n维向量空间中任意n个线性无关的向量都可以作为V的基.

引理2[18]若W1和W2都是数域F上向量空间V的有限维子空间，则W1+W2

也是有限维的，且

dim(W1+W2)=dimW1+dimW2-dim(W1∩W2).

引理3[18]一个齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数矩阵的秩r小于其未

知量的个数n.

2主要结果

首先，在定义1的基础上给出类不变子空间的定义:

定义2令V是数域F上的向量空间，是V的线性变换，W是V的子空间.如果

满足：对于任意的V，若()W，有W，则称W是的类不变子空间.

下面探讨类不变子空间的性质，研究不同情形下“类不变子空间”与不变子空间的

关系.

2.1可逆线性变换的类不变子空间

定理1令V是数域F上的向量空间，是V的可逆的线性变换，W是V的子空间，

则W是的类不变子空间当且仅当W是的不变子空间.

证明先证必要性.设W是的类不变子空间，即∀W,-1()W,则W是-1的

不变子空间，因此-1(W)⊆W，即W⊆(W).下证:(W)=W.

设{1,2，…,r}是向量空间W的一个基，=k11+k22+…+krrW.因为

()=k1(1)+k2(2)+…+kr(r),所以(W)=((1),(2),…,(r))，故dim

(W)≤r.又因为(W)⊇W，dim(W)≥dimW=r，所以dim(W)=dimW=r.

又W⊆(W)，有(W)=W，则(W)⊆W.故W是的不变子空间.

再证充分性.设W是的不变子空间，设{1,2，…,r}是向量空间W的基，则

易证(1),(2),…,(r)线性无关.又由于

(W)=((1),(2),…,(r))，

则dim(W)=r=dimW.因为W是的不变子空间，(W)⊆W，所以(W)=W.

∀W，由于(W)=W，故(W).因此，存在W,使得()=，从而有-

1()=-1(())=W,故W是的类不变子空间.证毕.

2.2一般线性变换的类不变子空间

对于双射情形下，类不变子空间与不变子空间是等价的，下面研究一般情形下的类

不变子空间.设V是数域F上的向量空间，是V的线性变换，W是V的子空间.

由创业计划书 于W中一定包含零向量，开关排名 则由定义2可知Ker()⊆W.因此，在一般线性变换

的情形下，有以下定理.

定理2设V是数域F上的向量空间，且dimV=n，是V的线性变换，若W是

的类不变子空间，则W一定是的不变子空间.

证明(1)若Ker()={0}，即是可逆的线性变换.则由定理1，可得W是不变子空

间.

(2)若Ker()≠{0}，设dimKer()=m，分以下2种情形讨论.

①若dimW=dimKer()=m，由于Ker()⊆W,则有W=Ker()，显然Ker()是

V的不变子空间，因此W是不变子空间.

②若dimW>dimKer()=m，由引理1，Ker()的一个基{1,2,…,m}可以扩充

为W的基{1,2,…,m,m+1,…,q},并进一步扩充到V的基

{1,2,…,m,m+1,…,q,q+1,…,n}.

任取W,设

=k11+k22+…+kmm+km+1m+1+…+kqq，

因为是线性变换，所以

()=k1(1)+k2(2)+…+km(m)+

km+1(m+1)+…+kq(q).

由于{1,2，…,m}是Ker()的一个基，故(1)=(2)=…=(m)=0.

若要证W是不变子空间，即要证()W,即证km+1(m+1)+…+kq(q)W,故

只需证(m+1),(m+2),…,(q)W.首先证明(m+1)W(用反证法).

若(i)W(i>q)，由于W是类不变子空间，故可得iW(i>q).显然iW(i>q)，

矛盾.故(i)W(i>q).从而可得(i)W(i=q+1,q+2,…,n).

若(m+1)W,由于W是类不变子空间，故对于V中的每个向量，设

=k11+k22+…+kmm+km+1m+1+…+kqq+

kq+1q+1+…+knn.

若满足()=t11+t22+…+tmm+tm+1m+1+…+tqq,必然可得到W，

即kq+1=kq+2=…=kn=0.

令W′=((m+1),(q+1),(q+2),…,(n)),设W′∩W,由于W′,设

=km+1(m+1)+kq+1(q+1)+…+kq+2(q+2)+…+

kn(n)W，

其中,km+1,kq+1,kq+2,…,knF，可得kq+1=kq+2=…=kn=0.否则，若ki≠0

(i≥q+1)，此时存在

=k11+…+kmm+km+1m+1+0m+2+…+0q+

kq+1q+1+…+kii+…+knn,

()=km+1(m+1)+kq+1(q+1)+…+ki(i)+…+

kn(n)W.

但由于ki≠0(i≥q+1)，不满足kq+1=kq+2=…=kn=0,与定义1矛盾，则

kq+1=kq+2=…=kn=0,从而有km+1(m+1)W.而(m+1)W，则km+1=0，

因此=0.故W′∩W={0}.

而对于子空间W′，设

km+1(m+1)+kq+1(q+1)+kq+2(q+2)+…+kn(n)=0，

即(km+1m+1+kq+1q+1+…+knn)=0.由于{1,2，…,m}是Ker()的基，

故可设

km+1m+1+kq+1q+1+…+knn=k11+k22+…kmm.

由于{1,2,…,n}是V的基，则k1=k2=…=km=km+1=kq+1=…=kn=0，故

(m+1),(q+1),…(n)线性无关，即dimW′=n-q+1.

根据前面的证明可得：W+W′⊆V，且W∩W′={0}.由引理2，有

dim(W+W′)=dimW+dimW′-dim(W∩W′)=

q+n-q+1-0=n+1>n=dimV，

这与W+W′⊆V矛盾.故(m+1)W.

同理可证，(m+2)W,(m+3)W,…,(q家常凉拌菜 )W.证毕.

由定理2可知：对于一般的线性变换，类不变子空间一定是不变子空间.但反之不

成立.例如：令Fn(x)表示数域F上一切次数≤n的多项式连同零多项式所组成的向

量空间，:f(x)→f′(x).易证是Fn(x)的线性变换，而且不是可逆线性变换.由定

义2可知，若W是V的类不变子空间，由于0W,则Ker()⊆W,从而有

{f(x)=a0|a0F}⊆W,

{f(x)=a1x+a0|a1,a0F}⊆W,

{f(x)=a2x2+a1x+a0|a2,a1,a0F}⊆W,

⋮

{f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0|aiF,

i=0,1,2,…,n}⊆W,

则W=Fn(x),故Fn(x)只有1个类不变子空间，也就是它本身，显然Fn(x)是它本身

的不变子空间.但是，一般情形下，类不变子空间与不变子空间并不是等价的.例

如Fn-1(x)作为Fn(x)的子空间，根据不变子空间与类不变子空间的定义，易发现

Fn-1(x)是Fn(x)的不变子空间，但不是Fn(x)的类不变子空间.

下面着重研究不是V的可逆的线性变换的情况.

定理3设V是数域F上的向量空间，且dimV=n，是V的线性变换，且不可逆，

若W是V的类不变子空间，则(W)≠W.

证明根据定理2，若W是V的类不变子空间，则W是V的不变子空间，即

(W)⊆W，下证(W)≠W.

由引理1，W的基{1,2,…,r}可以扩充为V的基{1,2,…,n}，令

((1),(2),…,(n))=(1,2,…,n)A,其中A为线性变换在V中的基

{1,2,…,n鸭胗的热量 }下的矩阵.设=m11+m22+…+mnn，令()W，不妨设

()=k11+k22+…+krr.由定义2可得W，即mr+1=mr+2=…=mn=0.

而由于

()=m1(1)+m2(2)+…+mn(n)=

((1),(2),…,(n))(m1,m2,…,mn)T=

(1,2,…,英语词汇积累 n)A(m1,m2,…,mn)T,

则类不变子空间的定义可转变一种表达形式：由

(1,2,…,n)A(m1,m2,…,mn)T=(1,2,…,n)(k1,k2,…,kr,0,0,…,0)T

可推出mr+1=mr+2=…=mn=0,其中k11+k22+…+krr(V)∩W.即由

A(m1,m2,…,mn)T=(k1,k2,…,kr,0,0,…,0)T

可推出mr+1=mr+2=…=mn=0,k11+k22+…+krr(V)∩W.

由于此时研究的是不可逆的线性变换，所以在V中的基{1,2,…,n}下的矩

阵A不可逆.设

即对于线性方程组

(1)

将m1,m2,…,mn当作自变量，当满足k11+k22+…+krr(V)∩F的

ki(i=1,2,…,r)选取后，方程组的解均形如(m1,m2,…,mr,0,0,…,0)T.那么，对于

k1=k2=…=kr=0，其解也均形如(m1,m2,…,mr,0,0,…,0)T.由于A不可逆，故方程

组(1)一定有非零解.

设其非零解为(m1,m2,…,mr,0,0,…,0)T，其中mi不全为0.即方程组

(2)

一定有非零解.

由引理3可知系数矩阵的秩小于未知量的个数r.令i(i=1,2,…,r)表示线性方程组

(2)的系数矩阵的第i个列向量，则dim((1,2,…,r))

因此，存在t1,t2,…,tr不全为0，使得

t11+t22+…+trr=0.

由于

(1)=a111+a212+…+an1n=(1,2,…,n)1,

(2)=a121+a222+…+an2n=(1,2,…,n)2,

⋮

(r)=a1r1+a2r2+…+anrn=(1,2,…,n)r,

则

t1(1)+t2(2)+…+tr(r)=

(1,2,…,n)(t11+t22+…+trr)=

(1,2,…,n)0=0,

故(1),(2),…,(r)线性相关.而(W)=((1),(2),…,(r))，

(1),(2),…,(r)线性相关，则dim(W)

参考文献：

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