广义积分

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第九章广义积分习题课

一、主要内容

1

、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收

敛、条件收敛。

2

、敛散性判别法

Cauchy

收敛准则、比较判别法、

Cauchy

判别法、

Abel

判别法、

Dirichlet

判别法。

3

、广义积分的计算

4

、广义积分与数项级数的关系

5

、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别

法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积

分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能

用于判断敛散性，

Cauchy

判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分

的敛散性，比较判别法和

Cauchy

判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象

广义积分判别法，

Abel

判别法和

Dirichlet

判别法处理的广义积分结构更复杂、

更一般。

对具体广义积分敛散性判别的程序：

1

、比较法。

2

、

Cauchy

法。

3

、

Abel

判别法和

Dirichlet

判别法。

4

、临界情况的定义法。

5

、发散性判别的

Cauchy

收敛准则。

注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和

Cauchy

法所起作用基

本相同。

注、在判断广义积分敛散性时要求：

1

、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。

2

、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。

3

、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。

二、典型例子

下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序

例

1

判断广义积分I

1

dxdx

p

q

的敛散性。

pq

0

x

x

I2

dx

pq

x

分析从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用

解、记

I

1

dx

pq

0

x

x

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对

I

1

，先讨论简单情形。

pq

时，

p1

时收敛，

p1

时发散。

dx

pq

，不妨设

pq

，则

I

1

0p

dx

qp

，故，

p0

时为常义积分，

0p

x

(1x

qp

)

1

此时收敛。

p0

时，由于

p

limx

x0

1

pqp

x

(1x

)

因此，

I

1

与

p

积分同时敛散，即

p1

时收敛，

p1

时发散。因此，对

I

1，此

时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。上述结论也可以总结

为：

min{p,q}<1

时收敛，

min{p,q}

31

时发散对

I

2

，类似可以讨论，即

pq

时，

p1

时收敛，

p1

时发散。

dx

pq

，不妨设

pq

，则

I

21

x

q

(1

dx

x

pq

)

，由于

1

qpq

x

(1x

)

因此，

I

2

与

p

积分同时敛散，即

q1

时收敛，

q1

时发散。此时，广义积分I

2

的敛散性完全由分母中的高阶项决定。上述结论也可以总结为：max{p,q}>1

时收敛，

max{p,q}

￡

1

时发散。综上：中秋节内容

p1q

或

q1p

时收敛，其余发散。或者

为：

min{p,q}<1

时收敛，其余时发散。

1

例

2

讨论

I

2

x

m

x

dx

的绝对收敛和条件收敛性，其中

m>0

。

sin(x

1

)

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分析积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身

有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性――用于获得

收敛性。注意验证积分片段有界性时的配因子方法。

解：先分析绝对收敛性，由于

sinx(

1

)

1

|

m

x

|

1

m

，

xx

故，

m>1

时，广义积分绝对收敛。

当

0m1

时，利用配因子法验证积分片段的有界性，

1

A111

|

2

sin(x)dx||

2

(12

2

x

2

xxx

A

1

|

2

sin(x)d(x)|

2

2

xx

A

)sin(x)dx|

A

1

2

2

由

Dirichlet

判别法，广义积分收敛。由于

sinx(

1)

2|

m

x

|x

2

2

sixn

1(

m

x

2dxM

)1xco

1s2(

xx

)

x

11cos2(x)

x

m

x

发散，故

0m1

时，广义积分条

|sin(x

1)|

1

x

件收敛。

m

而类似可以证明

2

dx

收敛，

2

1

m

dx

发散，因而，

2

x

dxm

注、从解题过程中可知，利用定义可以证明

m=0

时积分发

22

散虾仁炒蛋的做法 注、不能将积分分成如下两部分

1sinx(

1

)

x

m

x

dx

＝x

通过右端两部分的收敛性得到才成立上述的分解结论。

cosx1

I

的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛

m

sindx

，

时，

xx

sinx1

m

cosdxm

x

x

x

例

3

讨论

I

ln(1x)

dx

的敛散性。

分析

从结构看，应该分段处理，重点是讨论

ln

(

1

＋

x

)的当

x0

和

x

ln(1x)

m

dx

，

I

2x

ln(1x)dx

。

时的性质，进行阶的比较

解、记

I

1

对

I

1

，由于

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1

，

，即

故，当

时，

I

1

收敛；当

m2

时，

I

1

发散。

ln(1x)

0

，则

x

利用已知的结

对

I

2

，

论：

x

pln(1x)

lim

x

m

x

x

取

p

使得

1pm

，则

当

m1

时，

m-1<1

ln(1x)

limx

m

x0

x

m1

m<2

p

ln1(x)

0m

limx

xx

故

I

2

收

敛。

当

m1

时，

ln(1x)

m

x

故

I

2

发

散。

因

而，

当

1m2

时，

I

收敛；

m1

或

m2

时

I

发散。

+?

例

4

讨论

I=

0

分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的

的敛散性，其中

。

x

l

广义积

分析

分，可以用比较判别法或

Cauchy

判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由

Abel

判别法或

Dirichlet

判别法。

于被积函数是变号函数，因此，应该用

sinx

sinx

esin2x

1

e

sin2x

I

解：记

I

1

2

dx

dx

，

x

esin2x

sinx

dxl>0

x

x

对

I

1

，当11,i.e

sinx1

2

时，esin2xlim

xx0

x

2e

故，

I

1

收敛。由于此时被积函数不变号，故又绝对收

敛。

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当

11,i.e2

时，

sinx

limx

x0

sin2x

2e

故，

I

1

发散

对

I

2

，由于

sinx

esin2x

故当

1

时，

I

2

（绝对）收敛

当0

1

时，由于，对任意

A

e

t

d

sixn

sin2xd

e

且当

x

时，

1

单调递减趋于

0

，由

Dirichlet

判别法，

I

2

收敛。

x

2又，此

时

sixn

sin2x

e

1

e1

sin2x

e

1

sin

2

2x

e

1

1co4sx

＋＋

11

x

且

1

dx

发散，

cos4x

＋

x

dx

收敛，因此，

因而，当

01

时，

I

2

条件收敛。

综上，

1

例

5

讨论I

2

时，

I

绝对收敛；0

1

1

esin2x

sinx

e

dx

x

发散。

x

1

时

,I

条件收敛

；

2

时，

I

发散。

x

p

sinx

q

dx

的敛散性，其中

p

、

q

非负。

分析从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理

的是因子

sinx

q

，因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换。处理技

巧是先易后难。

解、先考虑最简情形：

q0

时的情形。

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1

pp

记

I

1

(p)

0

x

p

dx

，

I

2

(p)

1

x

p

dx

，此时，

I

1

(p)

、

I

2

(p)

分别是无界函数和无

穷限广义积分，因此，

p1

时，

I

1

(p)

收敛；

p1

时，

I

1

(p)

发散；而对

I

2

，p

1

时

I

2

(p)

时收敛，

p1

时

I

2

(p)

发散，故

q0

时，

I

发散

当

q0

时，令

tx

q

，

p1q

p1q

，则

q

11

I

q

sintdt

＝

tsintdt

1tsintdt

对

I

1

tsintdt

，由于

lim

tsin

1

t

1

，故

I

1

与

t

1

dt

同时敛散。因而，

2

时，

I

1

(绝对)收敛；

(1)1,ie

2

时，

I

1

发散。

对

I

2

1

tsintdt

，由于

tsintt

，故，

1

时，

I

2

绝对收敛；当

1

0

时，由

Dirichlet

判别法，

I

2

(条件)收敛

当

0

时，利用周期函数的积分性质，则

2n

2n

tsintdt

0

sintdt

因而，由

Cauchy

收敛准则，

I

2

发散

综

q0

时，

I

发散；

q0

时，

－

1

p1

0

时，

I

绝对收敛；

q

上：

0

p1

1

时，

I

条件收敛；

1

p1

时，

I

发散。qq

注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要

矛盾。

注、也可以用配因子法处理。下述的例子用阶的分析法。

例

6

讨论

I(1

sinx

)

3

1dx

的敛散性。x

1

sinx

0

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分析首先将积分分段处理，记

I

1

1

(1

sinx

)

3

1dx

，

1

0x

1

I

2

(1

sinixx

)

3

1dx

。从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理

2

1

x的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验

证。对

I

1，分析奇点附近被积函数的阶。由于

3sinxxo(x),

x

3

sinx

x

2

2

3!

sinx-

因而，

(1-)1

2

3

3

:

x

3

，从而，判断出被积函数在奇点处的奇

性。

对

I

2

，对被积函数作阶的分析，由于

x

充分大时

sinx

<<1，因此，

用函数展开理论得

利

(1x)1x0(x

2)

x(1,1)

，

由此可以将复杂的函数结构简单化，从而得到相应广义积分的敛散

性。

1

sinx1

解、记

I

0

(1

x

0x

1

)

3

1dx

，

(1

sinx1

I

2

1

sin

)

x

3

x1dx

3

3

。

对

I

1

，利用

L

'

Hosptial法则，

1-

sinx

lim

x1

，

x

?

0

+

2

x

2

6

1

因而，

lim

+

x

3

(-

sinx

-

1

1

3

1

x0+

1

)

3

=

6(

3

，

)

故，

I

1

收敛。

?

对

I

2

由于

sinx

1,(x1)

，则

1

o(x

2

)x

3!

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，

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1

2

sinx

3

1sinxsinx

3

0(

2

)

(1)

3xx

x

2＋

2

￥

sinx

sinx

C

sinx

)

(

收敛，又由于

dx

条件

1

其中

0(o

x

2

2

)

，

因而

1

1

x

x2

x

收敛，故

I

2

条件收

敛。

因此，

I

条件收敛。注、对复杂的函数结构利用函数展开理论判断广

义积分的敛散性也是一个有效的方法。

)dx

x

析：

sin

x

1

ln(1sin

x

1)

x

例

7

dx

(

0

)。1

xlncos

x

分

这是无穷限广义积分，分析

x

时被积函数的性质，此时

1

0

，故

~sin

11

11

2

o(

3

)

，

x

11ln(1sin)x

1

，

，

x

又

cos1

x2x

1

1lncos

xln(1

1

2

2x

1

o(

3

)x

1

x2

limx

x

，证明过程就是验证上述函数关

11

系。

ln(1sin)

1

ln(1sin)

xlim

x

1

1

x|lncos|

x

1

1

x

x

2

1xlncos

x

因而，

I

与广义积分

x

2

dx

同时敛散。故

3

时，

I

收敛；

3

时，

I

发散。

下述的一个命题反映了判别敛散性

lim

的又一思想方法。t0

例

8

证明：设

f(x)

、

g(x)

在

［a,)上

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t2

lncots

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连续，

g(x)

单调且

C

2

g(x)C

1

0

，

则

f(x)dx文档合并

与

f(x)g(x)dx

同时敛散。

aa

证明：若

f(x)dx

收敛，由

Abel

判别法，

f(x)g(x)dx

收敛。aa

若

f(x)g(x)dx

收敛，则

a

1

a

f(x)dxaa

＝

a

f(x)g(x)

1dx

g(x)

1111

仍有

1

单调且

111

0

，由

Abel

判别法，则

f(x)dx

收敛。

a

g(x)C

1

g(x)C

2

注、本命题结论非常简单，但命题中体现出来的思想非常有用。即在讨论广

义积分的敛散性时，分析被积函数的结构，抓住主要因素，解决主要矛盾，略去

次要因素，即将一个复杂的广义积分转化为较为简单的广义积分讨论其敛散性。

下面，通过一个例子，说明例

8

的作用。

x

psinx

例

9

讨论

I

1

x

1

si

x

n

q

x

dx(q0)

的敛散性。

解、由于

xsinx

pq1

q

xsinx

q

,

1x

q

qqqp

1x

1x

2

1

x

p

1x

q

由于

1

q

非负单调且

1

1

q

1

，因此，利用例

8

的结论，其与

si

q

n

p

x

dx

同时敛散。因而，

qp1

时绝对收敛；

0qp1

时条件收敛；

qp0时

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发散。

面一个结论与例

8

具有类似的思想。

例

10

设函数

f

(

x

)、

g

(

x

)、

h

(

x

)定义在

［a,+?)

上且对任意有限的实数

A>a

，它

们都在

［a,A］

上可积，证明：若

f(x)

＃

g(x)h(x)

且广义积分

+?

a

f(x)dx

、

h(x)dx

都收敛，则

a

+

g(x)dx

也收敛。

分析题目类似极限的两边夹定理，但是条件较弱，证明思路是通过条件

寻找它们之间的关系，利用性质或定义或比较法进行判断。

证明：由所给的关系式，则

0?g(x)

f(x?)h(x)f(

，

x

+?

由条件和广义积分性质，则

(h(x)-f(x))dx

收敛，由比较判别法，则

+?

a

(g(x)-f(x))dx

收敛，由于

g(x)=g(x)-f(x)+f(x)

，再次利

+?

用积分性质，则

g(x)dx

收敛。

注、例

10

结论表明，对待考察的广义积分的被积函数进行适当的估计，去

掉一些次要因素的影响，由此得到收敛性，体现了研究广义积分收敛性的又一

思想

注、尽管例

8

和例

10

体现的处理问题的思想类似，但是，由于例

8

是一个等价的

转化，得到的是同敛散的结论，因此，例

8

的结论比例

10

要好。

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面的命题用于处理另一类广义积分的敛散性。

例

11

设

f(x)>0

且单调递减，证明

f(x)dx

与

f(x)sin

2

xdx

同时敛散证明：因为

f(x)>0

且单调递减，故

limf(x)

存在。

x

f(x)cos2xdx

收敛。由于f(x)cos2xdx

若

limf(x)

＝

0

，则由

Dirichlet

判别法，

xa

2

f(x)sin

2

xdx

＝

2

f(x)dx

－

f(x)dx

与

f(x)sin

2

xdx

同时敛散。

a

若

limf(x)

＝

b>0

，此时

f(x)dx

发散。由极限定义，存在

A>a

，使得

x>A

xa

时，

f(x)

b

02

故，

取

n

充分大，使得A2nA2n

A

A

，则

24

b

，

21

f(x)sinxdx

A8

故，

a

f(x)sin

2

xdx

发散。因而，此时二者同时发散。

下面的例子用上述结论很容易处理。

sinx

例

12

讨论

I

dx

的敛散性。p

2

x

psinx

2

解、由于

sinx

x

psinx

2

x

sin

sinx

dx

2p

p

2pp

I

sixn

sixn

x

p

x

p

(x

psinx)

p0

时发散。为讨论

对

I

1

2

sin

p

x

dx

，已知

p>0

时收敛，

2

x

p

x(xsinx)

的敛散性，注意到

2

2ppp

sinxsinxsinxsinx2xx(x1)x

p

(x

p

sin

sin

2x

x)x

p

(x

p1)

2222

2sinx2

x2p

22

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故，

I2

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sinx

p

pdx

2

2

x

p

(x

p

sinx)

2

x

2p

与

sin

2p

x

dx

同时敛散，由例

11

，又与

2x

2p

1

2p

dx

同

时敛散，即

p

1

时收敛，

p

1

时发散。

22

故，

I

2p

sinx

dx

当

p

1

时收敛，

p

1

时发散。

2p

xsinx22

注、这类题目的讨论技巧性高，得到的结论也深刻。事实上，和

sin

p

x

dx

2

x作对比可以发

现，分母上增加因子

sinx

，深刻改变了其敛散性，使得收敛范围变小。这也反映了广

义积分敛散性的复杂性。

注、例

12

也表明了因子

sinx

的复杂作用，当它处在分子上时，可以充分利用其本

身有界和积分片段的有界性得到一些敛散性结论；但是，当这个因子处在分母上时，其

变号且非单调的性质起到了很大的作用，从而影响到了广义积分的敛散性。也可以通过

与例

9

的结论对比发现这些差异，例

9

中，分母为

1x

q

~x

q

，因子

1

不起作用，此例

中，分母中的因子

sinx

起到了影响敛散性的作用

。

1

例

13

若

f(x)dx

收敛，

f(x)

在

［a,)

单调，则f(x)o()(x

a

)

，

x

即

limxf(x)=0

。

x??

分析要证明的结论表明，要研究的是被积函数的极限行为(

x)

，即要控制当

x

充

分大时的

xf

(

x

)，而从广义积分的收敛性的条件能产生与被积函数的无穷远处的行为有

关的结论就是

Cauchy

收敛准则，因此，建立二者的桥

A

ⅱ

梁为

Cauchy

收敛准则。因

此，证明的关键就是如何从

Cauchy

片段

f(t)dt

中分离出

xf

(

x

)，因此，必须通过选择

与

x

有关的

A

ⅱ

,A?

达到目的，特别注意

f

(

x

)可以由被积函数产生，即从积分号下把

被积函数分离出来，而系数显然要通过积分限产生。

证明：设

f(x)

单调递减，由

f(x)dx

收敛，则

f(x)0

。由

Cauchy

收敛

a

准则，存在充分大

A

0

0

，使得对任意

A

2

A

1

A

0

，成立

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f(t)dt

，

x

021

2

x

x

对任意

x2A

0

，取

A

2

x,A

1

，则

f(t)dt

，

2

利用函数的单调性，则，

xf(x)2

，历史上的英雄 故，

limxf(x)0

。

x

1

类例：若

f(x)dx

收敛，

limf(x)

，则

limxf(x)0

。

0

x0x

注、此结论比讲义中的结论更强。

注、作为最简单的广义积分――

p

－积分，揭示了广义积分收敛的本质，

即

x

时，被积函数趋于

0

的速度高于一阶时，广义积分收敛。本题说明：

在一定的条件下，上述条件还是必要的。

注、更进一步还有

:

若

a

f(x)dx

收敛，

xf(x)

单调递减，则

a

limxf(x)lnx0

。事实上，对充分大的直播类小说

x

，由

Cauchy

收敛准则，

xxx

1

11

f(t)dttf(t)dtxf(x)dt

xxx

t

t2

xf(x)lnx

。

结论说明，此时

f

(

x

)趋于

0

的速度比

1

xlnx

趋于

0

的速度还大。

1

p

注、成立更一般的结论：设

f(x)

在

(0,1］

单调，且

x

f(x)dx

收敛，

则

lim

+

x

p+1

f(x)=0

。

x

?

0

+

例

14

设若

f(x)

在

［a,)

上有连续导数且

f(x)

单调递减趋于

0

(

x

)，

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证明

f(x)dx

收敛的充要条件是

xf(x)dx

收敛。aa

分析从要证明的结论看，建立两个广义积分的联系的桥梁是分部积分法，

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f(x)dx=xf(x)|

A

-

a

xf

￠

(x)dx。从此关系式看，要证明结

AA

即

蝌

论关

a

键是解决极限

limxf(x)

的存在性。

x??

证明：必要性。若

f(x)dx

收敛，则由例

13

，

x

limxf(x)0

，

因而，

A

A

A

xf(x)dxxf(x)|

a

A

f(x)dxaf(a)

f(x)dx

，

故，

xf(x)dx

收敛。

a

充分性。由于

limf(x)0

，下面利用

xf蒸面包的做法 (x)dx

的收敛性研究极限

limxf(x)

的存在

性，由于

x??

+

xf(x)=x

x

ⅱ

蝌

f()td=tx-(

x

(f)t)=

?

dt

x

-(?x(f))tdt

t(f(t))dt

x

tf(t)dt

由

a

xf(x)dx

收敛，则

limxf(x)0

。

又，同样成立

A

a

xf(x)dxxf(x)|

aa

A

af(x)dx

，

因而

a

f(x)dx

收敛。

+?

注、证明过程中，用到了结论：若

f(x)dx

收敛，则

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A

l

?

im?

f(x)dx=0

。

A

+?

事实上，记

f(x)dx

＝I，则

+?A

A?

ギ

lim

蝌

fx(d)x=limI-[fxd(x=)]

。

例

15

证明：若

f(x)

在

[a,)

上有连续导数且

f(x)dx

、

f(x)dx

都收

敛，则

limf(x)0x

证明：由收敛性定义，对任意

Aa

，

af(x)dx

＝

A

lim

a

A

f(x)dx

Alim[f(A)f(a)]

因而，

limf(x)

存在，又

a

f(x)dx

收敛，则必有

limf(x)0

。

注、也可以用

Cauchy

收敛准则证明。但本题采用定义证明更简单，因此既

要掌握处理某一类型问题的一般原则，又要学会灵活应用。

注、此例还说明，对数项级数成立的收敛性的必要条件对广义积分并不成立，必须

增加一定的条件才能保证其成立。

例

16

证明：若非负函数

f(x)

在

[1,)

单调减少，则

1

f(x)dx

与数项级数

f(n)

同时敛

散。

n1

分析本题要求在两种不同形式间进行比较，处理这类问题的思想方法是

n1

形式统一法，将积分转化为和式即

f(x)dxf(x)dx

，由此看出，命题

1

n1

n

n1

的证明实际就是比较

f(n)

与

n

f(x)dx

的关系。

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证明：由于

f(x)0

且

f(x)

在

[1,)

单调减少，故

f(n)f(x)f(n1),x[n,n1]

因而

n1n1n1

f(n)f(n)dxf(x)dxf(n1)dxf(n1)

故，

n

n1

n1

f(k)f(x)dxf(k)

，

k1

1

k2

因而，

f(x)dx

与数项级数

f(n)

同时敛散。

1

n1

例

17

设

f(x)

在任意有限区间

[a,A]

上可积且

limf(x)0

，

n

limf(x)dxA

，证明：

f(x)dx

＝

A

。

分析从条件和结论很发现证明的思路。

证明：由

limf(x)0

和

limf(x)dxA

，则对任意

0

，存在

N0

，使得当

时，

n

|f(x)|,

a

f(x)dx

对任意

MN1

，存在n>

N

，使得

n?Mn+1

，故

MMnn

f(x)dxAf(x)dxf(x)dxf(x)dxA

M

n

|

nf(x)dx|

an

f(x)dx

(Mn)2

故，

f(x)dx

＝

A

。

a

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xN

和

nN

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面给出几个广义积分的计算题目

关于广义积分的计算，基本思路和方法是利用

N-L

公式、分部积分、极限运算。技

巧是选择合适的变量代换。

例

18

(

Frullani

积分)证明：若

f(x)C[0,)

且对任意

A0

，广义积分

dx

收敛，则

I

f(ax)f(bx)

dxf(0)ln

b

A

x

0xa

f(x)

分析解题思想是将待计算的未知的积分转化为已知的积分，手段是利用

变量代换。事实上，已知的是积分形式

f(x)

dx

，待计算的量是形式

A

x

f(ax)-f(bx)

dx

，因此，可以利用极限将两种形式，也将已知和未

0

x

知的量联系起来。

证明：对任意的

0

，则

f(bx)

dx

tax

f(ax)f(t)

dt

dx

a

xttbx

f(t)f(t)

dt

。因而，

bt

f(ax)f(bx)

b

f(x)dxlimdx

0

a

xIlim安委会会议纪要

；

同样，

x

0

利用积分中值定理，

b

Ilimf()dx

a

0

x

1

b

f(0)ln

。

a

f(t

2

4ab)dt

，

b

例

19

证明：

f(ax

b)dx

0

x

其中

a0,b0

，积分有意义。

分析从证明的结论中可以发现所应该采取的方法和手段，即应该是选择

一个合适的变换，使得

ax

b

t

2

4ab

，从这一关系式中可以发现，变换不

x

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唯一。

证明：令

ax

b

t

，则

x

1

2

b2

axt

24ab

x1t

t

2

4ab

dt

t

24ab

2

2

，故

且x

2a

(tt

2

4ab),dx

f(ax

b)dxx

2a

1

2

tt4abf(t4ab)dt2a

t

24ab

[

2a

]f(t

2

4ab)t

t24ab

24ab

dt

，

0

2

ttf(t

24ab)

2

4ab

4ab

t

2

4ab

dt

2t24abt

dt

0

f(t4ab)

2

0

，

t

24ab

由此可证明命题。

b

注、也可以取

-ax=t

，此时

x=x

例

20

计算

I

0

1

(t+t

2

+4ab)

。2a

lnx

1x

2

2dx

。

分析这类题目是无法直接计算出来的，常用的技巧是分段，选择适当的

变量代换，在两个积分段之间寻找连续。

x

lnx

1

tx

1lnx

解、由于

1

0

2dx

，而二者都收敛，故，

2dx

1xlnx

2

2

1x1

2

dx

1

＝

0

。

例

21

证明

I

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x

1

1t

31

证明：由于

2

dx

1402

dt

(1x)(1x)

(1t)(1t)

t2

11

因而

111

I

2

dx

2

dx

2

dt

02120

(1x)(1x)(1x)(1x)1t

2

故其与无关。

面讨论广义积分和无穷和的极限的关系。

例

221

设

f(x)

在(

0

，

1］

单调，

x=0

为其奇点，广义积分

f(x)dx

收敛，证

11

n

f(x)dx

＝

k

limf()

。

k1n

0

n

l

n1

分析

与例

16类似，将积分转化为有限和，进而考察相互的关系。

证设

f(x)

在(

0

，

1］单调递增，

明

:

则

kn

1

f(x)dx

n1

f

k1

n

)

k

nfx(dx),

n

因而，利用

f(x)dx

的收敛性，则

1

k

1n

k

0f(x)dx

1

n

n

n1

1k

n1

f(

k

)

1

f(

kk

＝

n

1

)

n

f(1)

k

n

1f(x)dx

n

k1

nk1

nn

n1k1

k

nk1n

lim

n

n!

n

n!

li

lime

ln

n

n!n

n

n

n

e

n

k1ln

n

e

0

lnxd雨的图片 x

e

1n

lim

3

1

1f(x)dxf(1)

1

f(x)dxf(1)

，n

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明：

得

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即：n!~e

nn

例23

设对任意

A>0

，

f(x)

R[0,A]

且

limf(x)a

，证明：

x

limtefx(dx)at00

tx

tx

n

。

题目中所给的定量条件只有

limf(x)a

，为了利用这个条件，仍然

x

分析

价于

可以利用形式统一方法对结论进行变形，从中可以看到要证明结论等

l

t

i

0

mt

0

e

tx

f(x()adx)

，

0为利用条件，只需分段处理即可，即

分别研究

tx

t

0

e

tx

(f(x)ad)x

、

t

A

e

tx

(f(x)a)dx

tA

e

y

(f(

t

y)a)dt

A

的极限行为。

证明：因为

limf(x)a

，故存在

M>0,

使得

x>M

时，

|f(x)a|1

；又

x

f(x)

R[0,M1]

，因而，

f(x)

有界

C

。

注意到

te

tx

dx1

，故只需证明

limte

tx

|f(x)a|dx0

。

0t00

由于对任意

0

，存在

A>0

，使得

x>A

时

|f(x)a|，故

tx

A

tx

t

0

e

tx

|f(x)ad|xt

0

e

tx|

A

(x)ad|x

＋

t

A

e

tx|f(x)a|dx

A

tx

txtxtAx

(Ca)t

edx

0x

e

tA

)

edx0

tA

(Ca)(1e

)

A

te

txdx(Ca)(1

由于

1e

tA

0,(t0)

，故，存在

0,0t时，

tx

|1e

tA

|

Ca

，因而

(x)ad|x2

故，

limte

tx

|f(x)a|dx0。

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面是一些判断题

22

、判断下列命题是否成立。

1

)、设

f(x)

在任意区间

[a,A]

上可积，若对任意的

0

、

B0

，存在

A

0

，

AB

使得对任意的

AA

0

，都成立

AAB

f(x)dx

，

则

a

f(x)dx

收敛。

解：错。正确理解

Cauchy

收敛准则。

反例。如

，则对任意的

B0

都有

AB

AB1

1

B

Axd

n1(

A

)0

，A

但

发散。

2

)、设

f(x)

在任意区间

[a,A]

上可积，若

xf(x)dx

收敛，则aa

收敛。

1

解、正确。利用

f(x)

1

xf(x)

和

Abel

判别法即可。

x

x

n1

3

)、若存在

x

n

使得

x

f(x)dxx

发散，则

a

f(x)dxa

发散。

n1

n

解、正确。事实上，

f(x)dx

收敛充要条件为对任意的

x

n

，

a

1x

f(x)dx

收敛。

证明：若

f(x)dx

收敛，

xn

，则由于

a

n

af(射手座的性格 x)dx

＝

f(x)dx

＋

a

f(x)dx

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f(x)dx

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k1

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故

n1

x

x

n1

x

n

f(x)dx

收敛。

,A

n

，使得

反之，若

a

f(x)dx

发散，则存在

0

0

和

An

A

f(x)dx

0

A,n2kx

取

x

n

n

，则

x

n

A

,n2k1

且

x

f(x)dx

0

，故

x

n1

f(x)dx

发散

xn

n1

4

)、设

a

f(x)dx

收敛，下列条件能否保证

limf(x)0

1

、

f(x)

在

［a,)

连续、恒正。

2

、

limf(x)C

存在。

3

、

f(x)

单调。

4

、

f(x)

在

［a,)

一致连续。

5

、

f(x)

在

［a,)

连续可导。

6

、

f(x)

在

［a,)

上有连续的导数。

7

、

f(x)

在

［a,)

可导且

a

f(x)dx

收敛。a

解、

1

、不能。

0,

x[k

2

,k2

2

k

11

2

k

反例：如

f(x)1,

非负连续且1

x2,3,411

，

x[k

2

,k

2]

kk

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k1

2

k2

k1

f(x)dx

1

k

k

f(x)dx

1

1

2

(k1)

f(x)dx

k2

(k1)

2

(k1)

2

k2

故

f(x)dxn1

收敛，因而

f(x)dx

收敛，但

f(n)1,limf(x)0

。

n1

n1

x

2

、可以。若

C0

，不妨设

C0

，则存在

A

0

000

，使得

xA

0

时，f(x)

2

因而对任意

AA

0

1

，

f(x)dx

C

(AA

0

1)

，

2

与

f(x)dx

收敛矛盾

3

、

4

、

6

、可以。可以转化为

2

5

、不可以。可以通过例

1

的光滑化

x

7

、可以。因为

f(x)dxf(x)f(a)

，故

limf(x)C

存在。ax

A

5

)、若

A

lim

A

|f(x)|dx

存在，则

f(x)dx

收敛。

解、正确。

AA

此时，由于

0

|f(x)|dx

A

|f(x)|dx

故

0

|f(x)|dx

收敛。

0

同样，

|f(x)|dx

收敛

A

6

)、若

f(x)

为偶函数，lim

f(x)dx

存在，则

f(x)dx

收敛。

AA

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C

，

a

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解、正确

A

1A

此时，f(x)dx

A

f(x)dx

。

1

ln(1sin)

所以

x

xlncos

1

解、由于

x

1x

lim

21

xlncos

(1x

2

)1

(1x)dx

(0)

与无

关。

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x