中点的性质

专题

01

圆锥曲线中心弦与中点弦的性质

溯本求源

推广延伸

推广

1

：如图，已知椭圆

(ab0)

，为经过对称中心

O(0,0)

的弦，为椭圆上异于，的点，直线，

斜率存在，则．

【证明】设，

A



x

1

,y

1



，则，

，

k

PA

kPB

b2



2

e

2

1

．

a

推广

2

：如图，已知椭圆

(ab0)

，为经过对称中心

O(0,0)

的弦，为椭圆上异于，的点，直线，

斜率存在，则．

【证明】证明方法同推广

1

，此处不再赘述．

归纳统一

已知二次曲线，为经过对称中心

O(0,0)

的弦，为该曲线上异于，的点，直线，斜率存在，则．

【证明】证明方法同推广

1

，此处不再赘述．

类比联想

中点弦性质：如图，设二次曲线：，，为该曲线上的两点，为弦中点，为坐标原点，则．

【证明】方法

1

：（代数证明）设

A(x

1

,y

1

)

，

B(x

2

,y

2

)

，

则中点．

，，

k

OM

kAB

y

1

y2

yyn



2



12



．

x

1

x

2

x

1

x

2

m2

方法

2

：（几何证明）如下图，由于

OM∥AP

，易知，

∵为中心弦，∴，

∴．

经典赏析

类型

1

：直抒胸臆型

【例

1

】（

2014

江西）过点作斜率为的直线与椭圆：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率

等于

______________

．

【答案】

【解析】由椭圆中点弦性质可得

k

OM

kAB

b2



2

e

2

1

，则，故．

a

x

2

y2

【例

2

】（

2013

新课标

1

）已知椭圆

a

2

＋

b

2

＝

1(a>b>0)

的右焦点为

F(3

，

0)

，过点

F

的直线交椭圆于

A

、

B

两点．若

AB

的中点宝宝认数字 坐标为

(1

，－

1)

，则

E

的方程为

x

2

y2

A

．

45

＋

36

＝

1

＝

1

x

2

y2

C

．

27

＋

18

＝

1

＝

1

【答案】

D

【解析】，得，

∴

=

，又

9==

，解得

=9

，

=18

，

∴椭圆方程罗红霉素缓释胶囊 为，

故选

D

．

类型

2

：共线转化型

【例

3

】

(2018

浙江

)

已知点，椭圆

()

上两点，满足

AP2PB

，则当

=______________

时，点横坐标的

绝对值最大．

x

2

y2

D

．

18

＋9

x

2

y

2

B

．

36

＋27

【答案】

5

【解析】设

B(x

1

,y

1

)

，由

AP2PB

，，得，即，

故中点为，由，得，

所以．

当时，最大值为

4

．故．

类型

3

：参数错误678 范围型

【例

4

】（

2018

全国卷Ⅲ节选）已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为

M(1,m)

．证

明：．

【答案】证明见解析．

【解析】设，，则，，

上述两式相减，则．

由题设知，，故，于是．

由得，故．

【注意】解答题使用中点弦性质必须点差法证明．

类型

4

：几何转化型

【例

5

】已知椭圆：的左右顶点分别为，，，点在上，在轴上的射影为的右焦点，且．

（

1

）求椭圆的方程；

（

2

）若，是上异于的不同两点，满足

BMBN

，直线，交于点，求证：在定直线上．

【答案】（

1

）；（

2

）证明见解析．

【解析】（

1

），，，椭圆：．

（

2

）如图，设

M(x

1

,y

1

)

，直线，，的斜率，，．

，．

由

BMBN

，得．

所以，故设直线：，

设直线：

y4k

1



x2



，则，则两直线的交点横坐标为．

故点在定直线上．

【注意】解答题欲用中心弦性质，切记必须先证明．

【例

6

】已知椭圆：内一点，过点的两条直线分别与椭圆交于，和，两点，且满足

AM



MC，

BM



MD

（其中且），若变化时直线的斜率总是为，则椭圆的离心率为

A

．

C

．

【答案】

D

【解析】如图，分别取，的中点为，，连接，．

B

．

D

．

11

，

PM(MAMB)



(MCMD)



MQ

，

22

故，，三点共线，

由于

AM



MC

，

BM



MD

得

BMAMBA



(MDMC)



CD

，平行于，

由中点弦性质知：

k

OP

k

AB

故选

D

．

【例

7

】已知椭圆：的焦距为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为．

（

1

）求椭圆的方程；

（

2

）设直线

l:ykx2

与椭圆交于，两点，，且，求直线的方程．

【答案】（

1

）；（

2

）．

【解析】（

1

），，，

故椭圆的方程．

（

2

）如图，设

A



x

1

,y

1



，

B



x

2

,y

2



，中点为

M(x

0

,y

0

)

．

则，，又

k

b2



2

e

2

1

，得，所以．

a

y

0

1

1且y

0

kx

0

2

，

x0

，直线的方程为：．

【注意】解答题欲用中点弦性质，切记必须先用点差法证明．

寄语

特别感谢周立政老师、邹书生老师、西瓜老师、兰琦老师以及本门弟子

，范慕杺贡献集体智

慧，在此深表感谢，致以崇高敬意．推动读者对该性质的深刻理解，望后来者继往开来，不忘初心，砥砺

前行．综上所述，送君千里，终须一别．掌握圆锥曲线中心弦与中点弦性质，挥洒自如，需不断总结．只

有与传统方法计算前后对比，方能珍惜其优越．若有不妥之处，敬请谅解，请批评指正．以下为研修经典

巩固练习，望同学们且学且珍惜．

往事如梦

1

．（

2020

年湖北高二期末）如图，已知椭圆，斜率为﹣

1

的直线与椭圆

C

相交于

A

，

B两点，平行四边形

OAMB

（

O

为坐标原点）的对角线

OM

的斜率为，则椭圆的离心率为

A

．

C

．

【答案】

B

【解析】方法

1

：设直线方程为，设

A(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

)

，

22222222

由得：

(ab)x2anxanab0

，

B

．

D

．

∴

，，设，

∴

OAMB

是平行四边形，

∴

OMOAOB

，

∴

xx

1

x

2

,yy

1

y

2

，

∴

，

∴

，

∴

．

故选

B

．

方法

2

：（秒杀解）

k

AB

kO大量掉头发 M

1

2

e1

b

2



2

e

2

1



3

，得．

a





0e1

故选

B

．

【评析】方法

1

与方法

2

对比，繁简立分．

2

．（

2019

年重庆云阳江口中学高二月考）已知椭圆

，点

M

，

N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点

H

，使

，则离心率

e

的取值范围为

A

．

C

．

【答案】

A

D

．

B

．

b

2

22

设

，则

y

2

(ax

0

【解析】由题意

M（a，0），（Na，0）．

)．

a

20

，

c

2

a

2

122

可得：

e1(，，0)e(，．1)

a

2

22

故选

A

．

x

2

y2

3

．（

2014

浙江）设直线与双曲线

2



2

1(a0,b0)

的两条渐近线分别交于点，，若点

P(m,0)满足，

ab

则该双曲线的离心率是

______________

．

【答案】

【解析】方法

1

：联立直线方程与双曲线渐近线方程，

可解得交点为，，而，由

|PA||PB|

，

可得的中点与点

P(m,0)

连线的斜率为

-3

，

可得，多春 所以．

方法

2

：如图，由题意设中点为

Q(x

0

,y

0

)

，

A(x

1

,y

1

)

，

B(x

2

,y

2

)

．

则，且，

得，

所以，故．

4

．（

2019

全国

II21

节选）已知点

A(

−

2

，

0)

，

B(2

，

0)

，动点

M(x

，

y)

满足直线

AM

与

BM的斜率之积为

−．记

M

的轨迹为曲线

C

．求

C

的方程，并说明

C

是什么曲线．

【答案】见解析．

【解析】（

1

）由题设得，化简得，

所以

C

为中心在坐标原点，焦点在

x

轴上的椭圆，不含左右顶点．

【注意】逆用中心弦性质求轨迹，切记恒等变形．

5梅核气的症状

．（

2017

北京）已知椭圆的两个顶点分别为

A(2,0)

，，焦点在轴上，离心率为．

（

1

）求椭圆的方程；

（

2

）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点．求证：

BDE与

BDN

的面积之比为

4:5

．

【答案】（

1

）；（

2

）见解析．

x

2

y2

【解析】方法

1

：（

1

）设椭圆的方程为

2



2

1(a0,b0)

．

ab

由题意得解得，所以

b

2

a

2

c

2

1

．

所以椭圆的方程为．

（

2

）设

M(m,n)

，且，则

D(m,0),N(m,n)

．

直线的斜率，由

AMDE

，则

k

AM

k

DE

1

，

故直线的斜率，所以直线的方程为．

直线的方程为．

n(4m

2)

联立，解得点的纵坐标

y

E



．

22

4mn

由点在椭圆上，得

4m

2

4n

2

，所以．

又

S

△BDE

121

|BD||y

E

||BD||n|

，

S

△BDN

|BD||n|

，

252

所以

△BDE

与

△BDN带礼字的成语

的面积之比为．

x

2

y2

方法

2

：（

1

）设椭圆的方程为

2



2

1(a0,b0)

．

ab

由题意得解得，所以

b小学三年级日记

2

a

2

c

2

1

．

所以椭圆的方程为．

（

2

）设

M(m,n)

，且，则

D(m,0),N(m,n)

．

，得，

由

AMDE

，则

k

AM

k

DE

1

，且，

故直线的斜率为，则，，，

所以直线的方程为，直线的方程为

yk(x2)

．

联立，解得点的纵坐标，，．

，

所以

△BDE

与

△BDN

的面积之比为．

【注意】解答题欲用中心弦性质，切记必须先证明．

6

．

(2016

上海高三）已知椭圆上两个不同的点、关于直线

ymx

（

1

）若已知，为椭圆上动点，证明：；

（

2

）求实数的取值范围．

【答案】（

1

）见解析；（

2

）．

【解析】（

1

）设，则，得，

1



m0



对称．

2

1



1



91



5



于是

MCx

2





y



22y

2





y



y

2

y



y





，

2



2



42



2



因，所以当时，，即．

（

2

）方法

1

：由题意知，可设直线的方程为．

222

2m

2

2

2b

由消去，得

xxb

2

10

．

2

2mm

因为直线与椭圆有两个不同的交点，

所以，，即，

∴

由韦达定理得，

xx

12

，所以，线段的中点

将中点

代入直线方程，解得

∴

，

将

∴

代入

∴

得，化简得．

解得或，因此，实数的取值范围是．

方法

2

：设

A(x

1

,y

1

)

，

B(x

2

,y

2

)

，线段中点为．

得，则．

又，故，直线为．

得，由于在椭圆内．

．

实数的取值范围是．

7

．

(2015

新课标

2

）已知椭圆

C

：

()

，直线不过原点

O

且不平行于坐标轴，

l

与

C

有两个交点

A

，

B，线段

2



b

2

1



m2

m2

2

，

AB

的中点为

M

．

（

1

）证明：直线

OM

的斜率与的斜率的乘积为定值；

（

2

）若

l

过点，延长线段

OM

与

C

交于点

P

，四边形

OAPB

能否为平行四边行？若能，求此时

l

的斜

率；若不能，说明理由．公司章程模板

【答案】（

1

）见解析；（

2

）．

【解析】

(1)

设直线

l:ykxb

，，，．

将代入得，

故，

y

M

kx

M

b

9b

．

k

2

9

于是直线的斜率，即．

所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．

（

2

）四边形

OAPB

能为平行四边形．

因为直线过点，

所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，．

由

(1)

得的方程为．

设点的横坐标为．

由得，即．

将点的坐标代入直线的方程得，因此

x

M

mk(k3)

．

3(k

2

9)

四边牙齿不好 形

OAPB

为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．

于是．解得，．

因为

k

i

0,k

i

3

，，，

所以当的斜率为或时，四边形

OAPB

为平行四边形．