三角函数积分

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3.6有理函数及三角函数有理式的积分

教学目的：使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法，掌握有理

函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。

重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用

难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用

教学过程：

一、问题的提出

前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发（换元积分法与分部积分法）

已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按照求导法则并

利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而马王堆汉墓古尸 求不定积分却没有那样容易。即使一个看起凤卿尘 来

并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出”。例如，

sinxdxdx

x2

dx,,edx,



x



lnx



1x

3

，

被积函数都是初等函数，看起来也并不复杂，但是在初等函数范围内却积不出来，这是因为被

积函数的原函数不是初等函数。本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。

求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套”

“拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。“变”，即代数恒等变形：

加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、提取公因子；三角恒等变形：半角、倍角公式，

平方和公式，积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、分母配完全平方

等；“凑”，即凑微法（第一类换认识实习总结 元法）。“换”，即第二类换元法（三角代换、倒代换、指数代换法

等）。“分”，即分部积分法。“套”，即套基本公式。

求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合运用上

述方法。

二、

有理函数的积分

有理函数

R(x)

是指由两个多项式的商所表函数，即

P(x)

a

0

x

n

a

1

x

n1





a

n1

xan



b

0

x

m

b

1

x

m1





b

m1

xb

m

R(x)

Q(x)

其中

m

和

n

都是非负整数；

a

0

,a

1

,a

2

,



,a

n

及

b

0

,b

1

,b

2

,



,b

m都是实数，通常总假定分子多

项式

P(x)

与分母多项式

Q(x)

之间没有公因式，并且

a

0

0

，

b

0

0.

当

nm

时，称

R(x)

为真分式；而当

nm

时，称

R(x)

为假分式.

一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式.例如

x

4

x

3

x12

xx1

x

2

1x

2

1

.

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多项式的积分容易计算，因此，有理函数的积分主要是解决真分式的积分问题，而真分式的积

分往往是转化为最简分怎样从零基础学英语 式来计算．鉴此，我们先来讨论真分式分解为最简分式问题.

P(x)

在实数范围内，真分式

Q(x)

总可以分解成最简分式之和，且具有这样的对应关系：

k

Q(x)

(xa)

①

如果中有因式，那么分解后相应有下列

k

个最简分式之和

A

k

A

1

A2





(xa)

，

(xa)

k

(xa)

k1

A

其中

A

1

、

A

2

、…、

A

k

都是常数.特别地，如果

k1

，那么分解后只有一项

xa

；

2k2

Q(x)

(xpxq)

p4q0

）②

如果中有因式（，那么分解后相应有下列

k个最简分

式之和

M

k

xN

k

M

1

xN

1

M

2

xN2





(x

2

pxq)

k

(x

2

pxq)

k1

x

2

pxq

，

MxN

2

MN

xpxq

.

k1

ii

其中、都是常数.特别地，如果，那么分解后只有一项

有理真分式总能分解为若干个部分分式之和的形式（部分分式是指这样一种简单分式，其分母

为一次因式或二次质因式）。从而得到，有理真分式的积分总可以归纳为以下四种形式的部分分式

的积分：

（1）

A

A

dx;

（2）



xa



(xa)

n

dx

（2）

MxN



x

2

pxq

dx

MxN



(x

2

pxq)

ndx

(p

2

4q0)

（3）

(p

2

4q0),其中系数A、M、N为常数

综上所述，有理函数分解为多项式及部分分式之和以后，各个部分都能积出，且原函数都是初

等函数，因此，有理函数的原函数都是初等函数。

由上述定理，我们得到求有理真分式不定积分

P

n

(x)



Q

m

(x)

dx

的步骤书为：

第一步将

Q

m

(x)

分解为（2）的形式；

第二步将

P

n

(x)

分解为（3）的形式；

Q

m

(x)

第三步求各部分分式的原函数。

下面通过具体的举例来说明分解的方法和步骤．

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1

2

x(x1)

例1把分解为最简分式之和.

解：根据真分式的性质可设

ABC1



x(x1)

2

=

x(x1)

2

(x1)

上式两端去分母后，得

1A(x1)

2

BxCx(x1)

或

(1)

(2)

1(AC)x

2

(2ABC)xA

因为这是恒等式，等式两端对应项的系数应相等，于是有



AC0



2ABC0



A1

从而解得

A1

，

B1

，

C1

.

1111



22

x(x1)

.

x(x1)(x1)

于是得=

注：此题定

A

、

B

、

C

还有另法：在恒等式⑴中，代入适当的

x

值，即可求出待定的常数.

在式⑴中

令

x1

，得

B1

；

令

x0

，得

A1

；

再令

x2

，得

C1

.

于是得

1111



x(x1)

2

=

x

(x1)

2

(x1)

.

x32

例2把

x5x6

分解为最简分式之和．

2

x5x6(x2)(x3)

解：因为

x3AB

儿童的教育 2

x2x3

，其中

A

、

B

为待定常数．所以，令

x5x6

上式两端去分母后，得

x3A(x3)B(x2)

或

(3)

(4)

x3(AB)x(3A2B)

比较两端系数有

从而解得

A5

，

B6

.所以



AB1





(3AB)3

注：此题也可以采用上例第二种方法确定待定系数．

x356



x

2

5x6

x2x3

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x

22

(x2)(x2x2)

分解为最简分式之和．例3把

2

解：因为分母中

x2x2

为二次质因式，故应分解为

两端去分母得

x

2

ABxC



22

(x2)(x2x2)

x2

x2x2

x

2

A(x

2

2x2)(BxC)(x2)

比较两端对应项的系数不难求得

A2

，

B1

，

C2

所以

x

2

2x2



22

(x2)(x2x2)

x2

x2x2

A

由上可知，有理函数总能分解为多项式及最简分式之和，其积分最终归结为多项式、

xa

、

AMxN

MxN

(xa)

k

、

x

2

pxq

、

(x

2

pxq)

k

(kN,k1,房地产销售技巧和话术 p

2

4q0)等五类函数的积分．显然，

前面四类都比较容易积出，我们将在下面的例子中进行介绍，而对于最后一类积分较繁，其结果可

通过查阅积分表求得，这里不作讨论.

x

3

4x

2

2x9

dx

2



x5x6

例4求.

x

3

4x

2

2x9

x3

x1

x

2

5x6

x

2

5x6

解：因为

x356

2

x2x3

又由前面例2知

x5x6

x

3

4x

2

2x9





x1

5



6

dx



dx





2



x2x3



x5x6

所以,

x

2

x5lnx26lnx3C

2

1



x(x爱珍惜 1)

2dx

例5求.

解：因为

1111



x(x1)

2

=

x

(x1)

2

(x1)

所以



111

1





dx

2





dx



x(x1)2

x(x1)

(x1)



1

1

dx



1

dx



dx



2



x1

(x1)x

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lnx

1

lnx1C

x1.

x2



(x2)(x

2

2x2)dx

例6求.

解：由例3可得

x

2

2x2

dx



2

dx



(x2)(x

2

2x2)

dx





x2

x2x2

1

(2x2)1

x2

dx





2

2

dx

2



x2x2

x2x2

又

12x21





2

dx



2

dx

2

x2x2x2x2

1d(x

2

2x2)



d(x1)





2



(x1)

2

1

2

x2x2

1

lnx

2

2x2arctan(x1)C

2

从而

(x2)

2

x2



(x2)(x

2

2x2)

dx

ln

x

2

2x2

arctan(x1)C

二、三角函数有理式的积分

由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角有理式狂人日记好词好句 。由于各种三角函数都可

cosx

及常数经过有限次用

sinx及cosx

的四则运算来表示，故三角函数有理式也可以说是由

sinx、

cosx)

,其中

R(u,v)

表示两个变量的四则云素所构成的函数，记为

R(sinx，

有理式，积分

R(sinx,cosx)dx

称为三角有理式的积分。

下面通过举例来说明这类函数的积分方法.



1

dx



例7求

1sinxcosx.

解：因为

所以,令

tan

x

u

2

，则

x2arctanu

，于是

1u

2

2u2du

sinx

1u

2

，

cosx

1u

2

，

dx

1u

2.

xxx

2sincos2tan

22



2

sinx

xxx

sin

2

cos

2

1tan2

222

xxx

cos

2

sin

2

1tan2

22



2

cosx

x

xx

1tan

2

sin

2

cos2

2

22

代入原积分得

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2du

1

2u1u

2

1u2



1sinxcosx

dx

1

1u

2



1u2

1





du

ln1uC

1u

x

ln1tanC

2.



一般说来，对于三角函数有理式积分，总可作变量代换

的积分.即有x

1

tan

x

u

2

，将其转化为

u的有理函数



2u1u

2

2

R







1u

2

,

1u

2





1u

2

du

R(sinx,cosx)dx





1sinx

dx



例8求

sinx(1cosx)

x

u

2

解：令，则

x2arctanu

，于是

1sinx

1



1

dx

u2



du



sinx(1cosx)

2





u

注销qq空间

11

lnuu

2

uC

24

1x1xx

lntantan

2

tanC

22422.

tan

最后需要指出的是：上面所谈两类函数的积分方法是常规方法，虽然有效但往往非常麻烦，因

此，在具体解题时，应尽量采用其它简便方法，只有在用其它方法难以积分的情况下才采用上述方

法.如下面的例题

tanu2

x2

dx

3



例9求

x1

解：此题属于有理函数积分，可采用上述常规方法做，但用下列方法计算较简便

x

2

1d(x

3

1)

13

lnx1C

dx



x

3

1

3

3



x

3

1.

x5



(x1)

2dx

例10求.

解：此题也属于有理函数积分，用下列做法计算较简便

x51

(x1)6

1

dxdx6

dx



(x1)

2



(x1)

2



(x1)

2

dx



x1

1

1

6d(x1)





d(x1)



2

(x1)

x1

6

lnx1C

x1

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sinx

dx



1sinx

例11求.

解：此例属于三角函数有理式积分，用下面做法计算较为简便

1cos

2

x

sinxsinx(1sinx)sinx



1sinx

dx



cos

2

x

dx



cos

2

x

dx





cos

2

x

dx

d(cosx)1









cos

2

x

dx





dx

cos

2x

1过春节作文

tanxxC

cosx

csinxdcosx

dx(a

2

b

2

0)

的积分，一般可将被积函数的分子凑成分母与分母的形如

asinxbcosx

导数的线形组合，即令

csinxdcosxA(asinxbcosx)B(asinxbcosx)



，

通过比较等式两端

sinx和cosx

的系数，求出A和B.

对形如

sinmxcosnxdx,sinmxsinnxdx,cosmxcosnxdx

的积分一般是将被积函数积化和

差后再积分。

小结：

本节主要学习了有理函数及三角函数有理式的积分。

习题3.6

求下列积分：



x

2x3

dx

dx



2



(x1)(x2)(x3)

⑴；⑵

x3x4

；

x

x4

dx

dx

2



2



⑶

x3x2

；⑷

(x1)(x1)

；

2x

2

x1

3

dx

dx

3



3



(x1)

⑸

x1

；⑹；

x

2

1

x

5

x

2

1

dx

dx

2



43



xx

⑺；⑻

(x1)(x1)

；

dxdx



⑼

54sinx

；⑽

3cosx

；

tanxdx

dx

2



⑾

12cosx

；⑿

2sinxcosx5

；

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