勒贝格积分

实用标准文案

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

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数学系1302班第五组

07樊萌

12韩鸿林

19兰星

21李鸿燕

45王堃

51武相伶

54许小亭

57杨莉

69赵志阳

实用标准文案

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

1、黎曼积分csgo要钱买吗 定义：设

f



x



在



a,b



上有界,对



a,b



做分割,

T



ax

0

x

1

x

n

b



,

其中令

M

i

sup



f



x



,xx

i



,

m

i

inff



x



,xx

i

,

x

i

x

i1

x

i

,

s



m

i



x

i

x

i1



i1



n

S



M

i



x

i

x

i1



,若有

i1

n

bb



Sdx



sdx

a

a

则称

f



x



在



a,b



上黎曼可积.

2、勒贝格积分定义：,





0

,作

my

0

,y

1

y

n

M

,其中

y

i

y

i1





,

M

,

m

分别为

f



x



在

E

上的上界

和下界,令

E

i





x,y

i1

f



x



y

i



,



i1,2,n



若

lim



y

i1

mE

i

存在,则

f



x



勒贝格可积.



0

i1n

3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E上可测,若记

f





x



max



f



x



,0

，

f





x



min



f



x



,0



,则有

f



x



f





x



f





x



,若



f





x



dx

,

f

E

E

_



x



dx

不同时为



,则

f



x



在

E

上的积分确定且



E

f



x



dx



f





x



dx



f





x



dx.

E

E

4、简单函数的勒贝格积分定义:设

f



x



是可测集

E

上的非负简单函数,于是有对

E

的

划分

E

i

,

i1,2n

,

f



x



在

E

i

上的取值为

c

i

,则

f



x







c

i



E

i

,定义

f



x

的勒贝格积分为

i1n



f



x



dm



cmE

,若



f



x



dm

,则称

f



x



在

E

上勒贝格可积.

i

i

E

i1

n

E

5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取

E

上的非负简单函数列

f

n



x



,对任意的

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xE

,

f

n



x



都收敛于

f



x



,则

f



x



在

E

上勒贝格可积其积分为

lim



f

n



x



dm



f



x



dm.

n

E

E

对一全委会 般的函数由于

f



x



f





x



f





x



,则



E

f





x



dm

f

E





x



dm



f



x



dm.

E

若左端的两个积分值都有限时,称

f



x



在

E

上勒贝格可积.

勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可

积的函数不一定黎曼可积.

黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较

黎曼可积的条件

㈠黎曼可积的条件必要条件

定义在



a,b



上的

f



x



黎曼可积的必要条件是

f



x



在



a,b



上有界.

注任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积.

㈡黎曼可积的充分必要条件

1、设

f



x



是定义在



a,b



上的有界函数,则

f



x



黎曼可积的充分必要条件为

f



x

在



a,b



上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即

设

f



x



在



a,b



上有界,

T



ax

0

x

1

x

n

b



为对



a,b



的任一分割,其中令

M

i

sup



f



x



,xx

i



,

m

i

inff



x



,xx

i

,

x

i

x

i1

x

i

,

s



m

i



x

i

x

i1

,

i1



n

S



M

i



x

i

x

i1



,

i1,2,n

有

i1

n

bb



Sdx



sdx.

a

a

2、设

f



x



是定义在



a,b



上的有界函数,则

f



x



黎曼可积的充分必要条件为





0

,

总存在某一分割

T

,使得

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

wx

i

i1

n

i







w

i

M

i

m

i



.

3、设

f



x



是定义在



a,b



上的有界函数,则

f



x



黎曼可积的充分必要条件为





0

,

总存在某一分割

T

,使得

S



T



s



T







成立.

4、定义在



a,b



上的函数

f



x



黎曼可积的充分必要条件为

f



x



在



a,b



上的一切间断

点构成一个零测度集.

注这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的.

勒贝格可积条件

1、设

f



x



是定义在可测集

E

上的有界函数,则

f



x



在

E上勒贝格可积的充要条件为





0

,总存在

E

的某一分割

D

,使得



wmE



.

i

i

i

2、设

f



x



是定义在可测集

E

上的有界函数,则

f



x



在

E上勒贝格可积的充要条件为

f



x



在

E

上勒贝格可测.

3、设

f



x



在



a,b



上的黎曼反常积分存在,则

f



x



在



a,b



上陶渊明杂诗 勒贝格可积的充要条件

为

f



x



在



a,b



上的黎曼反常积分存在,且有

f



x



dm



f



x



dx

.





a,b

ab

4、设

f

n



x



为

E

上的可测函数列,

f

n



x



在

E

上的极限函数几乎处处存在,且



f



x



dxM

,则

f



x



在

E

上勒贝格可积.

nE

5、设

f



x



是是定义在可测集

E

上的连续函数,则

f



x



在

E

上勒贝格可积的充要条件

为

f



x



在

E

上勒贝格可测.

黎曼积分与勒贝格积分的性质比较

黎曼积分的性质

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1、（线性性）若

f



x



,

g



x



是定义在



a,b



上黎曼可积函数,则

f



x



g



x



,

f



x



g



x



,

f



x



g



x



也在



a,b



上黎曼可积.

注



f



x



g



x



dx



f



x



dx



g



x



dx

,但



g



x



f



x



dx



f



x



dx



g



x



dx

.

a

a

a

a

a

a

bbbbbb

2、（区域可加性）设有界函数

f



x



在



a,c



,



c,b



上都黎曼可积,则

f



x



在



a,b



上也黎

曼可积,且有



f



x



dx



f



x



dx



f



x



dx.

a鸡英语

a

c

bcb

3、（单调性）若

f



x



,

g



x



是定义在



a,b



上黎曼可积,且

f



x



g



x



,则



f



x



dx



g



x



dx

.

a

a

bb

4、（可积必绝对可积）若

f



x



在



a,b



上黎曼可积,则

f



x



在



a,b



上也黎曼可积,且有



f



x



dx



f



x



dx.

a

a

bb

注其逆命题不成立.

5、若

f



x



在



a,b



上黎曼可积,则在



a,b



的任意内闭子区间





,









a,b



上也黎曼可

积.且其积分值不会超过在



a,b



上的积分值.

6、若

f



x



是



a,b



上非负且连续的函数,若有



f



x



dx0

,则

f



x



在



a,b



上恒等于零.

01

7、若

f



x



,

g



x



是



a,b



上的黎曼可积函数,则

Mmax



f



x



,g



x



,

mmin



f



x



,g



x



在



a,b



上也黎曼可积.

8、若

f



x



在



a,b



上黎曼可积,

可积.

勒贝格积分的性质

11

在



a,b



上有定义且有界,则也在



a,b



上黎曼

f



x



f



x

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1、（有限可加性）设

f



x



是有界可测集

E

上的可积函数,

E



E

K

,

E

K等均可测且两

k1

n

两互不相交,则有

f



x



d

x

E



f



x



dx

E

1



f



x



dx

E

2



f



x



dx

.

E

n

2、对于给定的可测函数

f



x



,

f



x



与

f



x



的可积性相同且

f



x



d

x

E



f



x



dx

.

E

3、(单调性)若

f



x



,

g



x



在

E

上勒贝格可积,且

f



x



g



x



几乎处处成立,则

f



x



d

x



g



x



dx

.



EE

4、

f



x



是

E

上的非负可积函数,则

f



x



在

E

上是几乎处处有限的.

5、

f



x



是

E

上的非负可测函数,若

f



x



在

E

上几乎处处等于0,则



f



x



d

x0.

E

6、(零测集上的积分)若

mE0

,则



f



x



dx

0.

E

7、

f



x



是

E

上的勒贝格可积函数,

f



x



0

在

E

上几乎处处成立,则



f



x



d

x0.

E

8、设

f



x



在

E

上可测,若存在非负函数

g



x



在可测集

E

上勒贝格可积,

f



x



g



x



几

乎处处成立,则

f



x



在可测集

E

上勒贝格可积.

9、

f



x



在可测集

E

上勒贝格可积,

A

是

E

的可测子集,则

f



x



在

A

上也勒贝格可积.

且其积分值不会超过在

E

上的积分值.

10、设

f



x



在

E

上可测,则



f



x



d

x0

的充要条件是

f



x



0

在

E

上几乎处处成立.

E

11、设

f



x



,

g



x



均在

E

上勒贝格可积,则

Mmax



f



x



,g



x



,

mmin



f



x



,g



x



也

在

E

上勒贝格可积.

12、若

f



x



与

g



x



在

E

上几乎处处相等,则

g



x



也可积,且

f



x



dx

E



g



x



dx

.

E

13、设

f



x



在可测集

E

上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数

14、设

f



x



为可测集

E

上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数

g



x



,使得

g



x

导

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实用标准文案繁荣的英文

函数在

E

上几乎处处等于

f



x

.

黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较

与黎曼积分相关的定理

⒈若函数列

f

n



x



在区间

I

上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数

f



x



也在

I

上

连续.

⒉（可积性）若函数列

f

n



x



在区间

I

上一致收敛,且每一项都连续,



limf



x



dxlim



f



x



dx.

a

n

n

n

na

bb

⒊（可微性）设

f

n



x



为定义在



a,b



上的函数列,若

x

0





a,b



为

f

n



x



的收敛点,且

f

n



x



的每一项在



a,b



上都有连续的导数,

f

n





x



在



a,b



上一致收敛,则

dd

limf

n



x



limf

n



x



.

nn

dxdx



⒋有界收敛定理设

f

n



x



是定义在



a,b



上的黎曼可积函数.

⑴

f

n



x



M



n1,2,x



a,b



.

⑵

f



x



是定义在



a,b



上的黎曼可积函数.且

limf

n



x



f



x



.则有

n

lim



f

n



x



dx



f



x



dx

.

n

a

a

bb

与勒贝格积分相关的定理

⒈（勒维定理）设可测集

E

上的可测函数列

f

n



x



满足如下条件:

0f

1



x



f

2



x





,

limf

n



x



f



x



,则

f

n



x



的积分序列收敛于

f



x



的积分

n

f



x



d

x

E

lim

n



f

n



x



dx

.

E

⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集

E

上的可测函数列

f

n



x



满足如下条件:

⑴

f

n



x



的极限存在,

limf

n



x



f



x

.

n

⑵存在可积函数

g



x



使得

f

n



x



g



x



,



xE,nN



那么

f



x



可积,有

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实用标准文案

f



x



d

x

E

lim恍然大悟反义词

n



f

n



x



dx

.

E

⒊设

mE

,

E

上的可测函数列

f

n



x



满足如下条件:

⑴

f

n



x



g



x网名2个字



,



xE,nN



,

g



x



可积.

⑵

f

n



x



依测度收敛于

f



x



,那么

f



x



可积,有

f



x



d

x

E

lim



n



f

n



x



dx

.

E

⒋设

f

n



x



是



a,b



上的增函数列,且有



f

n



x



在



a,b



上收敛,则

n1

d







d





f

n



x









f

n



x



.

dx



n1



n1dx

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