等比级数求和公式

级数求和的常用方法

方程式法(3)

原级数转化为子序列求和(3)

数项级数化为函数项级数求和(3)

化数项级数为积分函数求原级数和(4)

三角型数项级数转化为复数系级数(4)

构造函数计算级数和(5)

级数讨论其子序列(5)

裂项法求级数和(6)

裂项+分拆组合法(7)

夹逼法求解级数和(7)

2函数项级数求和(8)

方程式法(8)

积分型级数求和(8)

逐项求导求级数和(9)

逐项积分求级数和(9)

将原级数分解转化为已知级数(10)

利用傅里叶级数求级数和(10)

三角级数对应复数求级数和(11)

利用三角公式化简级数(12)

针对的延伸(12)

添加项处理系数(12)

应用留数定理计算级数和(13)

利用Beta函数求级数和(14)

参考文献(15)

级数求和的常用方法

级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级

数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题.

由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n→∞的极

限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，

而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期

达到较高的事实性.

1数项级数求和

等差级数求和

等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公

式可求和.

11((1)

22nnaannsnad+-=+=

），其中1a为首项，d为公差证明：12=++...+nsaaa①，

21s=+酒席婚宴 ...++naaa②①+②得：()12-112(+++...+(+)nnnsaaaa

aa=+）因为等差级数11...+nnaaaa+==

所以1(2

nnaas+=

）

此证明可导出一个方法“首尾相加法”见.首尾相加法

此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则

运算的结果相同，便化为一简易级数求和.例1:求(21)nnnnncccnc++++幼儿园朗诵 +.

解：(21)nnnnnscccnc=+++++，210(21)...53n

nnnnsncccc=++++，两式相加得：2101

2(22)(...)(1)2nnnnnnsnccccn+=++++=+?，即：(21)(1)2nnnnnncccncn+++++=+.

等比级数求和

等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式

可求和.

当q=1，1sna=；当q≠1，1(1)1naqsq

-=-，其中1a为首项，q为公比.

证明：当q=1，易得1sna=，

当q≠1，11111=++...+nsaaqaq-①，2111=++...+nqs

aqaqaq②，①-②得11(1)nqsaaq-=-.可以导出一种方法“错

位相减”见下错位相减法

此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公

比q，再与原级数四则运算后化为等差或等比级数求和.

例2：计算21

2

nn-∑.

解：2222nns-=

++++①，21352121(222)

nns--=++++②，②-①得：121121************nnnkkk

nkkkkknsss-===---=-=+-=+-=∑∑∑3122212

nnnnnn-----+-=---，

l劳动竞赛总结 imns→∞=3.

蕴含型级数相消法

此类型级数本身各项之间有蕴含关系，通过观察可知多项展开会

相互之间相消部分项，从而化简级数求和.

例3

：计算1n

i=∑.

解：将各项展开可得：

(1...s=-+++++

11==

limns→∞=有理化法求级数和

对于一些级数通项含有分式根式的级数，我们可以仿照数学中经

常使用的方法“有理化”处理，

以期达到能使得级数通项化简，最后整个级数都较容易求和.

例4

：计算1n∞=.

解：可以看出此级数含根式较多，因此尝试运用有理化的方法去

处理，即通项

na=

对其分母有理化得：=?

分母有理化，则原级数可以采用本文中的“蕴含型级数相消法”，

则可以快速求得级数和的极限为1.方程式法

此型级数通过一系列运算能建立级数和的方程式，通过解方程求

解级数和.准确建立方程是关键问题，方程类型不固定，有类似与微分

方程之类的，故要视具体情况建立方程，解方程也要准确，才能求出

级数和.

例5：计算snqqnq+++，其中1q<.解：

记2

qqnsq+++==1

cosn

kkkq∑

两边同时乘以cos2q得

即：+1222coscos

+1cos)(cos)2=nnnnqsqsqqqsq+?++-+-（）

（解此方程得：212

2

coscos(1)cos=12cosnnqnqnqqsqq

++-++-+-2

2limcos12cosnqqsqq

→∞-=+-.原级数转化为子序列求和

若下列条件成立[1]:（1）当n→∞时级数的通项0na→（2）级

数各项没有破坏次序的情况而得新序列n1nb∞

=∑收敛于原级数.

例6：计算1111111111

1++-1+++-+++-+(2345627893)

（）（）（）.

解：lim0nna→∞=Q，应用欧拉公式1111++...ln23ncnen

++=++，其中c为欧拉常数，

0()nen→→∞11111

1+++...+-1--...-2332snn=

3ln3lnnnnnee=-+-，limln3ns→∞=.

数项级数化为函数项级数求和

数项级数化为相应函数项级数，再通过函数项级数求和，并赋予

函数未知数相应未知数后记得相应原级数的和.

例7：求级数和11

=∑

（2-1）.

解：建立函数项级数2111

()sxxn∞

-==

∑

（2-1）由函数敛散性知识可知其收敛域为

(,)-∞+∞，将函数项级数逐项求导可得：'

2211

()sxxn∞

-==+

∑（2-3）=2111

11()xsxn∞

-=+=+

∑

（2-1），由此可知()sx满足微分方程

'()()1sxxsx-=，且易知(0)0s=，解此常微分方程得：

2

2112

2

()x

xtdtsxe

e-=?

，令1x=则可以求出原级数和：2111

2

2

ste

edt=?.

化数项级数为积分函数求原级数和

将原级数通过化简，构造积分极限式，从而转化为积分求原级数

和也不失为一种好方法，构造积分式子是关键，一般原级数中通过四

则运算将n与积分中的分割相联系从而构造分割，建立级数与积分式

子的桥梁.

例8：计算11

knk∞

=+∑

，其中()n→∞.解：记1011

111lim=ln21+1nnnkkdxsknknxn

∞

→∞==→==←++∑∑?分子分母同时除以构造

分割建立级数与积分的桥梁.三角型数项级数转化为复数系级数

将三角型数项级数转化为复数域上的级数，由于复数的实部对应

于数项级数，从而转化为求复数

系级数进而求原级数和.

例9[7]：设s=nsqqnq+++，求s.

解：由于1cos=n

kksqk=∑，令(cossin)izqeqi==+为复数，其中0,k=

(cossin)kkikkzqeqkik==+，其中k=，得：2

...+cos(sinnnqniqq

qn++++而另一方面

1111(cos(+1)sin(+1))11(cossin)nnzqninzqi++--+=--+=2

1

1-2cosqq+｛1221暖洋洋造句 coscos(1)cos(1)cossin(1)sinnnnqq

nqnqn+++??--+++++??+212sincos(1)sin

sin(1)sin(1)cosnnniqqnqnqn+++??-+-+++??gg｝

取实部对应原级数和即得：

1221

1(1coscos(1)cos)1-2cosnnqq

sqqnqn+++=

--+++即：当n→∞，且1q<时2

2limcos12cosnqqsqq

→∞-=+-.

构造函数计算级数和

将级数各项转化为其它函数式子化简级数并求原级数和，关键在

于各项的化简函数是否基本统一，如何选择函数式子才能有效化简，

将级数参数化为函数式子中的未知数，并无一般的通用函数，选择函

数视具体情况而定，下面我们先看一个例子感受这种方法，并从中体

会这种方法.

例10[7]：请计算下面的级数式子：记

2323=1-+......)1111n

nttttsttttt++++++++（）(，其中1t→-.

解：构造函数式子：1()11xxx

efxee--==++,此函数在[0,)+∞单调递减.由于00

0(1)ln(1)|ln211xx

xxxededxdxeee

--+∞

+∞-+∞

---+==-+=++?

，令lnht=-，满足11

limlimlnttht→→==0

ln1111h

t

h

ete

ehh

----=-=-=g，lnln()()1()11ktkhkk

tkhkteefkhtee----===+++.代入题目中的级数式子得：23231lim1-+......)111

nntttttttttt-→+++++++（）(+1=011lim()hhkehf

khh-∞→=-∑=001

1lim()ln21hx

xhkeehfkhdxhe--∞

+∞-→=-==+∑?.

级数讨论其子序列

引理[1]：数列}{ns收敛的充分必要条件是}{ns的任一子序列都收

敛且有相同的极限.特别的：数列

}{ns收敛于s的充分必要条件是两个互补的子列}{2ns,}{12-ns,

收敛于同一极限.推广可得：定理[1]：若

级数∑∞=1

nna通项满足当n→∞时，0→na（收敛判别的必要条件），

∑∞

=1

nna收敛于s的充分必要条件是：

部分和}{ns的一个子序列}{nps收敛于s，其中p满足：p是某

个正整数p=1，2，…

将级数分情况讨论，化为多个子序列之和，利用原级数收敛则级

数任意添加括号得到的级数和收敛于原级数和原理，通过求各个子序

列之和求解原级数和，关键在于如何分解原级数为不同子序列，然而

子序列相对于原级数来说易求些，这样方法才行之有效，这和的“原

级数转化为子序列求和”是不同的.分情况讨论在三角中讨论角的大小

我们已不陌生，下面我们就看一个这样讨论角的幅度的例题.

例11[6]

：计算：1

2cos32n

nn∞

=∑

.解：记1

2cos

32

nnns

∞

==∑

，由级数敛散性知识可知，该级数绝对收敛.按幅度角的讨论将级

数分解为：1{|3,0,}Annkk===，2{|31,0,}Annkk==+=，3{|32,0,}Annkk==+=.

则：1232222cos

coscoscos3333=++2222nnnnnnAnAnAnnnn

∞

∞∞∞

=∈∈∈∑

∑∑∑

1115

(1)148718

=--=-g，所以：1

2cos

23127

nnns

∞

==-=-∑

.裂项法求级数和

针对级数是分数形式，且满足分母为多项乘积形式，且各项之间

相差一个相同的整数，裂项后各项就独立出来，而原来各项之间相差整数则裂项后新级数等价于求解某一个级数，其余新级数照此可求出，

从而原级数和可以求出.裂项一般形式：

1111

()()(+)xmxnnmxmxn

=-+-++，此处mn>.

例12：计算123234(1)(2)snnn=

+++++gggggg.解:记1(1)(2)nannn=

++gg，111[

]2(1)(1)(2)

nannnn=-+++针对11(1)n

kkk=?+∑同理采用裂项法记111

(1)1nbnnnn==-++则11(1)n

kkk=+∑=1

1-1n+，111limlim[1-]1(1)1n

nnkkkn→∞→∞===++∑，所以111111

limlim[](1)(2)2(1)(1)(2)nn

nnkkkkkkkkk→∞→∞===++++++∑∑=11111111lim

lim()2(1)2(1)2nnnnkkkkkk+→∞→∞==--++∑∑=1111(1)2224

--=.裂项+分拆组合法

将裂项与分拆组合法合用在一起，运用裂项法分拆级数，再将分

拆重新组合级数，由新级数返回求原级数和.

例13：计算1(+1)(+2)

nn

nnn∞

=∑（+3）.

解：11235

+1+2+3(+1)(+2)nnnnnnn++-=Q

（+3）

111111251()(+1)(+2)

3+1+2+33(+1)(+2)nnnnn中国传统文化绘画 nnnnnnnn∞

∞∞===∴=+--∑∑∑（+3）（+3）=1125111

()()3233464+--=.夹逼法求解级数和

在数学分析中运用夹逼法则求解极限，在求极限和中我们也可以

借鉴此方法，运用两个级数逼近原级数，最后两逼近级数和等于原级

数和.

例14[8]

：设m为一给定的正整数，求

22

1,1

nmn

mn∞

=≠-∑.解：12222221,11111

mN

mmNmN

nmnnnmsmnmnmn

+-++=≠==+==+---∑∑∑11111111宝宝多大开始长牙 11[(21122121)mN

nmmmmmmmmnmn+=+=++++++++-+-+--+∑]2122+1

mmNmNNNmN+++++++Q

<<且∞→N时，2lim0+1Nm

N→∞=，且

2lim0+2NmNm→∞=，所以23

lim04mNNsm+→∞=-，即2221,134nmnmn

m∞

=≠=--∑2函数项级数求和

函数项级数和依据未知数x的而定，因此在收敛域内寻找一个新

函数去刻画级数和.

方程式法

类似于数项级数，函数项级数建立方程，通过方程求解求函数项

级数和.

例15：计算函数项级数23456

()1(21324135246)xxxxxsxx=+++

++++gggggg解：由函数项级数收敛性知识可知题中函数项

级数收敛半径为+∞，

逐项求导得3

'

2()1(2)

xsxxx=++++即：'()1()sxxsx=+(0)1s=Q

解此微分方程得：2222

()(1)xtxsxeedt-=+?.

积分型级数求和

积分型级数求和显然直接求和会带来困难，通常积分也积不出来，

所以要转化，将积分式子化简是个想法，通过变量替换等积分技术化

简积分式子，再求级数和，所以关键在于处理积分式子，下面我们看

个例题.

例16

：计算级数(21)220xkkke

∞

+-

=∑?.

解：因为(2,(21xkk∈+）），作变量替换

再根据：'2

2

tte

edt--=??C+得：

(42

220

4

t

tt

ke

ee

-+--=-+?

）=

404

tkx+=2得：

2|2e

e

--

=840

4

2|24e

e

e

c

---=.

所以原级数

=82

1

1tkke

e

e

∞

--

--==-∑?

.逐项求导求级数和

根据幂级数逐项求导收敛半径不变原理，对原级数逐项求导后化

为一些易求和的幂级数，再往回求积分，从而求原级数和.易知的级数

往往是通过泰勒展式或者麦克劳林展式获得的。泰勒定理

[1]

：若函数()fx在0x的某领域内存在1n+阶的连续导数，则()fx=

''()'2

0000000()()()()()+()...()()2nnnfxfxfxfxxxxxxxRxn+-

-++-+！！

，这里()nRx是拉格朗日余项即()(1)100()

()()nnnfxRxxxn++=-+1！.设()fx在区间),(00rxrx+-内

等于它的泰勒级数的和的充要条件：对一切

满足不等式0||xxr-<的x，有lim()0nnRx→∞

=，上式右边称为)(xf在0xx=处的泰勒展开式.由泰勒展

开式可知右边是个级数，而在求解级数时我们可以逆向来看，已

知以级数和像求()fx的方向行进，找准各阶对应的导数形式，并按泰

勒级数的样子提炼出()fx.但在实际应用中()fx在00x=处的级数应用

较多，称为麦克劳林级数.而由泰勒级数的定义可以将一些基本初等函

数推导出来，再有基本初等函数推导复合函数的级数和形式，反过来

即是求级数和.这也不失为一种求级数和的选择.这中方式在前面函数项

级数求和的过程中已经有所运用，在此总结是为了形成一种较为普遍

的方法.即使是级数逐项求导积分法也是基于此理论基础之上的.

例17：求解41

(1)()41nnnxsxn+∞

=-=+∑.

解：由莱布尼茨定理可以判断此交错级数收敛，且收敛区间为[-

1,1],将级数逐项求导可得：

'

40()(1)n

n

nsxx

∞

==-∑44

01()1n

nxx∞

==-=+∑(利用易知麦克劳林展式0

1(1)1n

nxx∞

=-=+∑)再积分回去便得到级数和.

逐项积分求级数和

通过级数逐项积分收敛半径不变原理，对原级数逐项积分后化为

一些易求的幂级数，再往回求导，可求出原级数和.

例18：计算0nnnx∞

=∑.

解：记2340

()sxnxxxxx∞

===++++∑，对其逐项积分得：234230

12311()...(1)(1)(23423)x

stdtxxxxx=

+++=-+-+?=234234111(...)(...)234xxxxxxxx++++-++++=ln(1)

1xxx

+--，其中(1,1)x∈-，

所以'1

()(ln(1))1nnxsxnxxx∞

===+--∑=2

(1)xx-.将原级数分解转化为已知级数

分解为已知在数学中是一种基本的技巧，通过转化为我们所知道

的知识解决原复杂问题在很多地方都是个不错的想法，因此在解决级

数和的问题时我们也引入这思想.我们已知在幂级数中已知的麦克劳林

展式有好几个，我们要将这几个基本初等函数的展式牢记于心，还要

学会利用拉格朗日展式的角度逆向思考级数求和的问题.我们简单的引

入一个问题来说明这种方式，主要是引入这种思想.

例19：计算22

1

(1)2n

nn∞

=-∑

.解：记s=221(1)2

nnn∞

=-∑21111)2112nnnn∞=→-←???-+∑分解（，利用ln(1)x

+的麦克劳林展式得：11111ln(1)ln(1)42228s=--+-++=53

ln284-.

利用傅立叶级数求级数和

通过构造函数，并通过延拓的方式求此函数的傅立叶展式，再由

收敛定理求解函数值即可求出原级数和，关键在于准确找出傅立叶函

数.

例20：计算21

1nn∞

=∑

.解：构造傅立叶函数()fx=2x,其中[0,]x∈作偶延拓得:()gx=

2x,x-≤≤由此可知傅立叶系数为：0nb=，其中1,=

2200

2

2

3

axdx

=

=?

，

2

24

224

cos()s胃痛吃什么药效果最好 in()|sin()naxnxdxxnxxnxdxnn

=

=-=

222444

cos()|cos()(1)n

xnxnxdxnnn

-=-?

，（其中1,=）.

由狄利克雷收敛条件可知：2

21(1)()4cos()3n

nfxnxn

∞

=-=+∑，其中0x≤≤现在令x=得：22

21143nn∞

==+∑，进而可得：2

2116nn∞

==∑.

说明：有了以上结果数项级数的关于2

11

nn

∞

=∑

就可以套用公式了，如：利用结果求解级数和，的结果是一个很

常用的级数和公式，因此我们可以直接拿来用.

例21：计算，21

(1(1)nn

nxxnx∞

=--∑）

，其中满足1x→.解：任意x∈（0，1），记

()nux=2(1(1)nnxxnx--）)nnxnxx-=+++22(11(1)nnnnxxxnxnnxn

-≤≤≤-g），由魏尔斯特拉斯定理，因为级数

21

1

nn∞

=∑收敛，所以题目中级数在（0，1）上一致收敛.2212111(11

lim()limlim(1)(1...)2nnnnnnxxxxxxuxanxnxxn

-→→→-====-+++），2221111111(1111limlimlim(1)22n

nnxxxnnnnxxanxnn∞

∞∞∞→→→====-===-∑∑∑∑），因为2

21

16nn∞

==∑，所以带入上面式子可得级数和为2

12

.

三角级数对应复数求级数和

三角函数与复数有天然的对应关系，因此将其化归到复数域上再

利用复数域知识求解，从而获得原级数的和.

例22[7]

：计算1

sinnnx

n∞

=∑

.解：由复数域上幂级数的麦克劳林展式可知：11ln,1n

ixnzzezn

∞

===-∑，及11sinlnln(1cossin)ln(22cos)arctan121cosxxixxizx

=---=-+--1

sinln|2sin|2nxnx

in∞

==-+∑

，由

111cossinnnnnznxnxinnn∞

∞∞====+∑∑∑，对应实部得1

cosln|2sin|2nnxxn∞

==-∑，其中(0,2)x∈，1

sinsinarctanarctan(cot)arctan(tan)1cos222nnxxxxx

nx∞

=--====-∑.利用三角公式化简级数

三角级数还可以利用三角公式化简三角级数，化简后的级数可能

比原级数容易求解些，通常复杂级数求和都是要转化，转化为能求和

的方向.

例23：计算1

sinsinnnanx

n∞

=∑

.解：由三角函数的积化和差公式可知：原级数=

2.7111cos()1cos()11ln|2sin|ln|2sin|222222nnnxanxax

axann∞∞==-+-+→--+←∑∑利用的实部sin

12ln||2sin

2xa

xa+=-，其中未知数x满足：{|02}{|02}xxxaxxa∈<-<?<+<.

针对的延伸

在此对的延伸，并不是意味着是个通用的级数和式子，只是看见

了另外的一个题可以运用，在此列出是为了表明在求级数和的过程中

一些复杂级数可以由另外一些级数求和的，因此遇见复杂级数求和的

时候要多注意平常积累的例子，想想平时有没有遇见类似的级数求和

问题.

例24：计算1sin(21)21nnx

n∞

=--∑.

解：令1sin()nnxfxn∞==∑，由可知1

sin||()sgnnnxfxxn∞==∑=||

sgn2xx-其中未知数满足

(2,2)x∈-，令11sin(21)()21nkxfxk∞

=-=-∑，21

sin2()2nkx

fxk∞

==∑.有211sin(2||)12||()sgnsgn222

kkxxfxxxk∞=-==∑，由12()()()fxfxfx=+，

当(,)x∈-时，有12||2||

sgn()sgn24xxxfxx

--=+，于是

1||2||()sgn()sgn,(,)244

xxfxxxx

--=-=∈-.

添加项处理系数

例25：计算

24248

...111xxxxxx+++---，其中||1x<.解：令1

22,0,1nnnx

knx+=

=-，当1x≠时，

1

1

1

2

2

nnnxxx

x

+++++

--=kkkkr+++++，其中1

22

21nnnxrx

++=

-，

当:|1x<|时，0nr→，于是：lim()11nnnxx

krxx

→∞=-=

--∑.应用留数定理计算级数和

定理[8]：若函数z)（满足以下两个条件：（1）z)（在复平面

具有孤立奇点0z，1z，…tz，且这些孤立奇点不为整数及∞，除去

上述奇点外z)（在其它各处都解析；（2）

(1)()Re(csc()(z),)l

ns

nsnszz+∞=-∞

=-=-∑∑.

证明：研究围道积分

又由函数()fz满足留数定理的条件，则根据定理我们可以得到如

下的等式：

11

csc()(z)Re(csc()(z),)Re(csc()(z),)(1)()+Re(csc()(z),)

2n

nl

nl

jssjnsjn

sczdzszjszzszzi=-==-==+=

-∑∑∑∑?j（1）由引理，csc(z)

在nc上有界，即存在0M>，使得|csc()|zM≤.于是

0|csc()(z)||cs()(z)||||(z)|||n

nn

ccczdzozdzMdz≤≤≤，两边取极限得

即：lim|csc()(z)|0n

nczdz→∞

=?，所以1

limcsc()(z)02n

nczdzi→∞=?，对（1）式取极限得到

0=0

1lim

(1)()limRe(csc()(z),)nl

j

snnjn

sszz

→∞

→∞

=-=-+∑∑j.所以

(1)()Re(csc()(z),)l

ns

sszz∞

=-∞

=-=-∑∑n.证明完毕.

结论的应用：

例26[8]

：求级数22(1)+n

na

∞

=-∞-∑（a不为0）的和.

解：令22

1

()+za=

z，当a不为零时，()z满足定理的两个条件，那么1

Re(csc()(z),)lim(z)limcsc()sin()n

n

n

zjzjjnjn

cszjaiz→→=-=-==∑∑?.即：

22(1)1

+()nnnaasha∞

=-∞

-=-∑，当a趋近于零时，将上式变形可得：22222

11(1)(1)11

++()nnnnnanaaasha∞

-∞==--++=∑∑容易证得等式左边的两个级数是收敛的.故上式两

端取极限可得上述级数和,

利用Beta函数求级数和

定理1[6]设,rq为自然数，a为实数，且||1a≤，则111

1011(1)(1)...(1)(1)!1nrqqnaxx

dxnqnqnqrrax---∞

=-=++---∑?.定理2[6]设r为自然数，k为非负整数，a是实数，

大于k，||1a≤，有

11011

(1)[()1][()+2]...[()+r](1)!1nrrknaxdxnrknrknrkrax-∞

-=-=-+----∑?.定理3[6]

设r为自然数，级数11

(1)nrnnaxx∞

-=-∑在[0,1]上一致收敛于函数1()(1)rfxx-=-,则11

001(1)()(1)(2)...(+-1)()

(1)!nrnaxfxdxnnnrnrr∞

-==-+++-∑?.这三个定理的证明涉及Beta函数，此处证明从略.

只说明这三个定理应用于求解级数和的问题.分析这

三个定理可以看它们用于解决一些自然数连续性相乘且置于分母

的级数和.将级数和中某些数赋予给定理中的相应的a、q、r，再将按

定理套用，可以将定理左边的级数化为右边的积分求解.运用定理的关

键在于准确找出a、q、r，只要这项工作完成，那么剩下的就是积分

的问题.

例27：计算111

(123234345)-+-.

解：对应上述三个定理，此级数根据定理1，将a置为-1，r置为

3，q置为1则可以将级数化为积分式子，求解具体过程从略.

参考文献

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朱时，《数学分析一题多解》，科学教育出版社