闭曲面

时间

---------月---------日课

星期-----------------题

115对坐标的曲面积分

教学目的

教学重点

教学难点

课型

教法选择

对坐标曲面积分的概念、性质、存在条件及其计算；两类曲面积分的关系。

对坐标曲面积分的概念、性质、存在条件及其计算。

对坐标曲面积分的计算。

新授课

讲练结合

教学媒体

教学过程

一、对坐标的曲面积分王若琳新专辑 的概念与性质

有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的例如由方程

z



z

(

x



y

)表示

的曲面分为上侧与下侧设

n

(cos



cos



cos



)为曲面上的法向量在曲面

的上侧cos



0在曲面的下侧cos



0闭曲面有内侧与外侧之分

类似地如果曲面的方程为

y



y

(

z



x

)则曲面分为左侧与右侧在曲面的

右侧cos



0在曲面的左侧cos



0如果曲面的方程为

x



x

(

y



z

)则曲面分

为前侧与后侧在曲面的前侧cos



0在曲面的后侧cos



0

设是有向曲面在上取一小块曲面

S

把

S

投影到

xOy

面上得一投影

区域这投影区域的面积记为(



)

xy

假定

S

上各点处的法向量与

z

轴的夹角



的余弦cos



有相同的符号(即cos



都是正的或都是负的)我们规定

S

在

xOy

面上的投影(

S

)

xy

为

教法运用及

板书要点

cos



0



(



)

xy



(S)

xy





(



)

xy

cos



0





0cos



0

其中cos



0也就是(



)

xy

0的情形类似地可以定义

S

在

yOz

面去油污 及在

zOx

面

上的投影(

S

)

yz

及(

S

)

zx



流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体的速度场由

v

(

x



y



z

)(

P

(

x



y



z

)

Q

(

x



y



z

)

R

(

x



y



z))

给出是速度场中的一片有向曲面函数

P

(

x



y



z

)、

Q

(

x



y



z

)、

R

(

x



y



z

)

都在上连续求在单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量

如果流体流过平面上面积为

A

的一个闭区域且流体在这闭区域上各点处

的流速为(常向量)

v

又设

n

为该平面的单位法向量那么在单位时间内流过这

闭区域的流体组成一个底面积为

A

、斜高为|

v

|的斜柱体

当(

v



n

)





^



时这斜柱体的体积为

A

|

v

|cos





A

v



n



2

1

当(

v



n

)

^



时显然流体通过闭区域

A

的流向

n

所指一侧的流量为零

2

而

Av



n

0,故

Av



n



当(

v



n

)

^



时

Av



n

0这时我们仍把

Av



n

称为流体通过闭区域

A

流向n

2

所指一侧的流量它表示流体通过闭区域

A

实际上流向

n

所指一侧且流向

n

所指一侧的流量为

Av



n

因此不论(

v



n

)为何值流体通过闭区域

A

流向

n

所

指一侧的流量均为

Av



n



把曲面分成

n

小块

S

1



S

2



S

n

(

S

i

同时也代表第

i

小块曲面的

面积)在是光滑的和

v

是连续的前提下只要

S

i

的直径很小我们就可以

用

S

i

上任一点(



i

,



i

,



i

)处的流速

v

i



v

(



i

,



i

,



i

)

P

(



i

,



i

,



i

)

i



Q

(



i

,



i

,



i

)

j



R

(



i

,



i

,



i

)

k

代替

S

i

上其它各点处的流速以该点(



i

,



i

,



i

)处曲面的单位法向量

n

i

cos



i

i

cos



i

j

cos



i

k

代替

S

i

上其它各点处的单位法向量从而得到通过

S

i

流向指定侧的流量的近

似值为

v

i



n

i



S

i

(

i

1,2,,

n

)

于是通过流向指定侧的流量







v

i

n

i

S

i

i1n

^





[P(



i

,



i

,



i

)cos



i

Q(



i

,



i

,



i

)cos



i

R(



i

,



i

,



i

)cos



i

]S

i



i1

n

但cos



i



S

i

(

S

i

)

yz

cos



i



S

i

(

S

i

)

zx

cos



i



S

i

(

S

i

)

xy



因此上式可以写成





[P(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

yz

Q(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

zx

R(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

xy

]



i1n

令



0取上述和的极限就得到流量的精确值这样的极限还会在其它

问题中遇到抽去它们的具体意义就得出下列对坐标的曲面积分的概念

定义设为光滑的有向曲面函数

R

(

x



y



z

)在上有界把任意分

成

n

块小曲面

S

i

(

S

i

同时也代表第

i

小块曲面的面积)在

xOy

面上的投影为

(

S

i

)

xy

(



i

,



i

,



i

)是

S

i

上任意取定的一点如果当各小块曲面的直径的最

大值



0时

lim



R(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

xy

总存在则称此极限为函数

R

(

x



y





0

i1

n

z

)在有向曲面上对坐标

x

、

y

的曲面积分:记作



R(x,y,z)dxdy





2

即

lim



R(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

xy





R(x,y,z)dxdy



0

i1



n

类似地有

lim



P(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

yz





P(x,y,z)dydz



0

i1



n

lim



Q(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

zx





Q(x,y,z)dzdx



0

i1



n

其中

R

(

x



y



z

)叫做被积函数叫做积分曲面

以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分

对坐标的曲面积分的存在性

P,Q,R

在光滑的曲面上连续。

对坐标的曲面积分的简记形式

在应用上出现较多的是





P(x,y,z)dydz



Q(x,y,z)dzdx



R(x,y,z)dxdy









P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy





流向指定侧的流量可表示为





P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy





一个规定如果



是分片光滑的有向曲面我们规定函数在上对坐标

的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和

对坐标的曲面积分的性质

对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质例如

(1)如果把分成

1

和

2

则



PdydzQdzdxRdxdy







PdydzQdzdxRdxdy



PdydzQdzdxRdxdy



1

2

(2)设是有向曲面表示与取相反侧的有向曲面则





PdydzQdzdxRdxdy



PdydzQdzdxRdxdy





这是因为如果

n

(cos



cos



cos



)是的单位法向量则上的单位法

向量是

n

(cos



cos



cos



)

3





PdydzQdzdxRdxdy

{P(x,y,z)cos



Q(x,y,女孩用英语怎么说 z)cos



R(x,y,z)cos



}dS











PdydzQdzdxRdxdy

二、对坐标的曲面积分的计算法

将曲面积分化为二重积分设积分曲面由方程

z



z

(

x



y

)给出的在

xOy

面上的投影区域为

D

xy

函数

z



z

(

x



y

)在

D

xy

上具有一阶连续偏导数被积

函数

R

(

x



y



z

)在上连续则有



R(x,y,z)dxdy



R[x,y,z(x,y)]dxdy





Dxy

其中当取上侧时积分前取“”当取下侧时积分前取“”

这是因为按对坐标的曲面积分的定义有

lim



R(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

xy





R(x,y,z)dxdy





0

i1



n

当取上侧时cos



0所以(

S

i

)

xy

(



i

)

xy



又因(



i

,



i

,



i

)是上的一点故



i



z

(



i

,



i

)从而有



R(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

xy





R[



i

,



i

,z(



i

,



i

)](



i

)

xy



i1

i1

nn

令



0取上式两端的极限就得到



R(x,y,z)dxdy



R[x,y,z(x,y)]dxdy





Dxy

同理当取下侧时有



R(x,y,z)dxdy



R[x,y,z(x,y)]dxdy





Dxy

因为当取上侧时cos



0(

S

i

)

xy

(



i

)

xy

当(



i

,



i

,



i

)时



i



z

(



i,



i

)从而有

lim



R(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

xy



R(x,y,z)dxdy



0

i1



n

lim



0



R[



i

,



i

,z(



i

,



i

)](



i

)

xy





R[x,y,z(x,y)]dxdy



i1

Dxy

n

同理当取下侧时有

4



R(x,y,z)dxdy



R[x,y,z(x,y)]dxdy





Dxy

这是因为

n

(cos



cos



cos



)



1

{z

x

,z

y

,1}



22

1z

x

zy

cos





1



22

1z

x

zy

2

dS1z

x

z

2

y

dxdy





R(x,y,z)dxdy



R(x,y,z)cos



dS



R[x,y,z(x,y)]dxdy







Dxy

类似地如果由

x



x

(

y



z

)给出则厌烦的英文 有



P(x,y,z)dydz



P[x(y,z),y,z]dydz





Dyz

如果由

y



y

(

z



x

)给出则有



Q(x,y,z)dzdx



Q[x,y(z,x),z]dzdx





Dzx

应注意的问题应注意符号的确定

例1、计算对坐标的曲面积分





x

2

y

2

zdxdy

，其中曲面是球面

x

2

y长征精神感悟

2

z

2

R

2

的下半部下侧。

解：下半球面的方程为

zRxy

，因是下半球面下侧，故取

负号，

D

xy

:xyR

,所以

2

2

2

2

2

2

x



2

y

2

zdxdy



x

2

y

2

z(x,y)dxdy



x

2

y

2

(R

2

x

2

y

2

)dxdy

Dxy

Dxy

27



a



00105

例2计算曲面积分



x

2

dydzy

2

dzdxz

2

dxdy

其中是长方体的



2

sin

2



cos

2



d





r

5

a

2

r

2

dr



R

整个表面的外侧((

x



y



z

)|0

x



a

0

y



b

0

z



c

)

解把的上下面分别记为

1

和

2

前后面分别记为

3

和

4

左右面分

别记为

5

和

6





1



z



c

(0

x



a

0

y



b

)的上侧

5



2



z

0(0

x



a

0

y



b

)的下侧



3



x



a

(0

y



b

0

z



c

)的前侧



4



x

0(0

y



b

0

z



c

)的后侧



5



y

0(0

x



a

0

z



c

)的左侧



6



y



b

(0

x



a

0

z



c

)的右侧

除

3

、

4

外其余四片曲面在

yO

z

面上的投影为零因此

2

2222

xdydzydydzxdydadydz0dydz



abc









3



4

D

yz

Dyz

类似地可得



y

2

dzdxb

2

ac





z

2

dxdyc

2

ab







于是所求曲面积分为(

a



b



c

)

abc



练习：（P114。3）计算曲面积分

侧在

x

0

y

0的部分

解把有向曲面分成以下两部分



1



z1x

2

y

2

(

x

0

y

0)的上侧



2



z1x

2

y

2

(

x

0

y

0)的下侧



1

和

2

在

xOy

面上的投影区域都是

D

xy



x



y

1(

x

0

y

0)于是

2

2



xyzdxdy

其中是球面

x



y



z

1外

2

2

2





xyzdxdy



xyzdxdy



xyzdxdy



1

2



Dxy



xy

xy

1x

2

y

2

dxdy



xy(1x

2

y

2

)dxdy

Dxy

2

Dxy

1xydxdy

2

22

1

2

d



r

2

sin



cos



00





1r

2

rdr



2



15

三、两类曲面积分之间的联系

设积分曲面由方程

z



z

(

x



y

)给出的在

xOy

面上的投影区域为

D

xy

函

数

z



z

(

x



y

)在

D

xy

上具有一阶连续偏导数被积函数

R

(

x



y



z

)在上连续

如果取上侧则有



R(x,y,z)dxdy



R[x,y,z(x,y)]dxdy





Dxy

另一方面因上述有向曲面的法向量的方向余弦为

6

cos



zx

2

1z

x

z

2y



cos



zy

2

1z

x

z

2y



cos



1



22

1公主的故事大全 z

x

zy

故由对面积的曲面积分计算公式有



R(x,y,z)cos



dS



R[x,y,z(x,y)]dxdy





Dxy

由此可见有



R(x,y,z)dxdy



R(x,y,z)cos



dS







如果取下侧则有



R(x,y,z)dxdy



R[x,y,z(x,y)]dxdy





Dxy

但这时

cos



1

因此仍有

22

1z

x

zy





R(x,y,z)dxdy



R(x,y,z)cos



dS





类似地可推得



P(x,y,z)dyd任务的英文 z



P(x,y,z)cos



dS









Q(x,y,z)dzdx



P(x,y,z)cos



dS







综合起来有



PdydzQdzdxRdxdy



(Pcos



Qcos



Rcos



)dS







其中cos



、cos



、cos



是有向曲面上点(

x



y



z

)处的法向量的方向余

弦

两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式



AdS



AndS

或



AdS



A

n

dS











其中

A

(

P



Q



R

)

n

(cos



cos



cos



)是有向曲面上点(

x



y



z

)处的

单位法向量

dS



ndS

(

dydz



dzdx



dxdy

)称为有向曲面元

A

n

为向量

A

在向量

n

上的投影

例3计算曲面积分



(z

2

x)dydzzdxdy

其中是



曲面

z(x

2

y

2

)

介于平面

z

0及

z

2之间的部分的下侧

解由两类曲面积分之间的关系可得

12

7

cos



dxdy



222

(zx)dydz(zx)cos



dS(zx)



cos







在曲面上

提示曲面上向下的法向量为(

x



y

1))

cos



x1



cos







dS1x

2

y

2

dxdy



1x

2

y

2

1x

2

y2

故



(z

2

x)dydzzdxdy



[(z

2

x)(x)z]dxdy







2

xy

2

4



{[

1

(x

2

y

2

)

2

x](x)

1

(x

2

y

2

)}dxdy

42

2



2本真友里 1

[x

2



1

(x

2

y

2

)]dxdy





d





(r

2

cos

2



r

2

)rdr

8





00

22



2

xy

2

4



解由两类曲面积分之间的关系可得



(z

2

x)dydzzdxdy



[(z

2

x)cos



zcos



]dS







2

xy

2

4



{[

1

(x

2

y

2

)

2

x]x

1

(x

2

y

2

)(1)}dxdy

42

x

(x

2

y

2

)

2

dxdy4

2



x

2

y

2

4



x

2

y

2

4



[x

2



1

(x

2

y

2

)]dxdy

2



0

2

d





(r

2

cos

2





1

r

2

)rdr

8





02

提示

2

xy

2

4



x

(x

2

y

2

)

2

dxdy0

4

8