集合运算公式大全

《集合》艺术歌曲之王 公式汇总

集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始

的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。

由一个或多个元素所构成的叫做集合。若x是集合A的元素，则记作x∈A。集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确

定的）2.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，则a不能等于1）3.无序性（集合中的元素没有先后之分。）

并交集

并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈

A,或x∈B}。并集越并越多。

交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。

交集越交越少。

若A包含B，则A∩B=B，A∪B=汤圆怎么煮 A

补集

相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B或AB，即A-B={x|x∈A，且x∉B'}

绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作A'或∁u（A）或~A。U'=；‘=U

（一）满腔怒火造句 元素与集合

1、元素与集合的关系：

、

若

a

是集合

A

的元素，就说

a

属于

A

，记作：

aA

，读作“

a

属于

A

”

若

a

不是集合

A

的元素，就说

a

不属于

A

，记作：

aA

，读作“

a

不属于

A

”。

2、集合的表示：

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写复习计划 在大括号内表示集合.形如：{1,2,3,5}

描述法：{

x

|

x

具有的性质}，其中

x

为集合的代表元素.形如：{x|x＋2x－3＞0}}

图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

3、常见数集的符号表示：

自然数集（非负整数集）

N

；

2

正整数集

N



或

N

；

整数集

Z

；

有理数集

Q

；

实数集

R

；

正实数集

R





符号法

N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}

N*或N

+

：正整数集合{1,2,3,…}

Z：整数集合{…,-1,0,1,…}

Q：有理数集合

Q

+

：正有理数集合

Q-

：负有理数集合

R：实数集合(包括有理数和无理数）

R

+

：正实数集合

R

-

：负实数集合

C：复数集合

∅：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集）

（二）集合间的基本关系

概念

写法

含义

相等

AB

A(B)

子集

AB

读作“

A

包含于

B

”或“

B

包含

A

”

（1）

（2）

A

（3）

AB

（1）

真子集

AB

读作“

A

真

包含于

B

”或“

B

真

包含

A

”

（2）

A

非空真子集

AB

且A≠



空集



空集是任何集合的子集

注：

1、任何集合都是它本身的子集、空集是任何集合的子集。

2、集合个数：★★★★★

集合A中有n个元素，则集合A的子集有（

2

）个，真子集有（

21

）个，非空真子集有（

22

）个

元素

n

子集

真子集

非空子集

非空真子集

n

n

n

2

n

2

n

1

2

n

1

2

n

2

（三）集合的基本运算及运算法则

集合

交集

韦恩图数轴表示

在画数轴时，要注意层次感和实心空心！

并集

补集

只要是线下面的部分都要！

U

UA

A

注：

1、集合运算法则：从括号内开始，由内而外

Cu（A∩B）=CuA∩CuB

Cu（A∪B）=CuA∪CuB

2、常见结论：

若A∪B=B，则

AB

若

AIBA

，则

AB

一．知识归纳：

1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素

注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件

2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

4）常用数集：N，Z，Q，R，N*

2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对x∈A都有x∈B，则AB（或AB）；

2）真子集：AB且存在x0∈B但x0A；记为AB（或，且）

3）交集：A∩B={x|汉堡包的英文 x∈A且x∈B}

4）并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}

5）补集：CUA={x|xA但x∈U}

注意：①?A，若A≠?，则?A；

②若，，则；

③若且，则A=B（等集）

3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、?的区别；（2）与的区别；（3）

与的区别。

4．有关子集的几个等价关系

①A∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABCuACuB；

④A∩CuB=空集CuAB；⑤CuA∪B=IAB。

5．交、并集运算的性质

①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A；

③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB；

6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

二．例题讲解：

【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，则M,N,P满足关系

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于集合M：{x|x=,m∈Z}；对于集合N：{x|x=,n∈Z}

对于集合P：{x|x=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P，故选B。

分析二：简单列举集合中的元素。

解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，

=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以选B。

点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：设集合，，则（B）

A．M=NB．MNC．NMD．

解：

当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

【例2】定义集合A*B={x|x∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

A）1B）2C）3D）4

分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

解答：∵A*B={x|x∈A且xB}，∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。

变式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为

A）5个B）6个C）7个D）8个

变式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个.

【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?41+r=0,r=3.

∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A

∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

∴∴

变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.

解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=22=4

∴b=-4,c=4慈母手中线 ,m=-5

【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1]B，而(-∞,-2)∩B=。

综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

变式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=,求a,b。（答案：a=-2，b=0）

点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。

解答：M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM

①当时，ax-1=0无解，∴a=0②

综①②得：所求集合为{-1，0，}

【例5】已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠，求实数a的取值范围。

分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。

解答：（1）若，在内有有解

令当时，

所以a>-4,所以a的取值范围是

变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。

解答：

点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有

的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。