数论是什么意思

7-7-4容斥原理之数论问题

教学目标

1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；

2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

知识要点

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把

两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，

用式子可表示成：

ABABAB

(

其中符号“



”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“



”

读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:

A

表示小圆

部分，

B

表示大圆部分，

C

表示大圆与小圆的公共部分，记为：

AB

，

即阴影面积．图示如下:

A

表示小圆

部分，

B

表示大圆部分，

C

表示大圆与小圆的公共部分，记为：

AB

，即阴影面积．

1．先包含——

AB

重叠部分

AB

计算了

2

次，多加了

1

次；

2．再排除——

ABAB

把多加了

1

次的重叠部分

AB减去．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合

A、B

的并集

AB的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合

A、B

的元素个数，然后加起来，即先求

AB

(意思是把

A、B

的一切元素都“包含”进

来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去

CAB

(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、古风手抄报 三量重叠问题

A

类、

B

类与

C

类元素个数的总和

A

类元素的个数

B

类元素个数

C

类元素个数



既是

A

类又是

B

类

的元素个数



既是

B

类又是

C

类的元素个数



既是

A

类又是

C

类的元素个数



同时是

A

类、

B

类、

C

类的元

素个数．用符号表示为：

ABCABCABBCACABC．图示如下：

图中小圆表示

A

的元素的个数，中圆表示

B

的元素的个数，

大圆表示

C的元素的个数．

1．先包含：

ABC

重叠部分

AB

、

BC

、

CA

重叠了

2

次，多加了

1

次．

2．再排除孕妇能吃白果吗 ：

ABCABBCAC

重叠部分

ABC

重叠了

3

次，但是在进行

ABC

ABBCAC计算时都被减掉了．

3．再包含：

ABCA窗边的小豆豆 BBCACABC．

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

例题精讲

【例1】在

1~100

的全部自然数中，不是

3

的倍数也不是

5的倍数的数有多少个？

【巩固】在自然数

1~100

中，能被

3

或

5中任一个整除的数有多少个？

【巩固】在前

100

个自然数中，能被

2

或

3整除的数有多少个？

【例2】在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?

【巩固】求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．

【例3】以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？

【巩固】分母是385的最简真分数有多少个？并生日快乐蛋糕图片 求这些真分数的和.

【例4】在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．

【例5】求

1

到

100

内有

____

个数不能被

2

、

3

、

7中的任何一个整除。

【例心中有戒 6】在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？

【例7】50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报

数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学

还有多少名?

【例8】体育课上，60班级会议记录 名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，

老师让所报的数是

4

的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是

5

的倍数的同学向后转，最后让

所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有________人。

【例9】有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后

将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？

【巩固】2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，……，2006。将编号为2的

倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯

的拉线各拉一下。拉完后这着的灯数为（）盏。

【巩固】写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次

把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？

【例10】

200

名同学编为

1

至

200

号面向南站成一排．第

1

次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西）；

第

2

次编号为

2

的倍数的同学向右转；第

3

次编号为

3

的倍数的同学向右转；

……

；第

200

次编号

为

200

的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有名．

【例11】下编号是1、2、3、……36号的36名学生按编号顺序面向里站成一圈.第一次，编号是1的同学向

后转，第二次，编号是2、3的同学向后转，第三次，编号是4、5、6的同学向后转，……，第36

次，全体同学向后转.这时，面向里的同学还有________名.

【例12】在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签开玩笑英语 号发放奖品的规则如下：

（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；

（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；

（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；

（4）其他标签号均奖1支铅笔．

那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?

【例13】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；

第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成________段．

【例14】一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个

刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出段．

【巩固】一根

1.8

米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻

度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？



11

【例15】在循环小数中类似于



0.142857

，



0.076923等，循环节是从小数点右边的第一位（即十分

713

位）就开始的小数，叫做纯循环小数，包括

7

和

13

在内，共有个正整数，其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数。